簡述推薦系統中的矩陣分解

1 Linear Network Hypothesis

回顧一下，我們在機器學習基石課程的第一節課就提到過，機器學習的目的就是讓機器從資料data中學習到某種能力skill。我們之前舉過一個典型的推薦系統的例子。就是說，假如我們手上有許多不同使用者對不同電影的排名rank，通過機器學習，訓練一個模型，能夠對使用者沒有看過的某部電影進行排名預測。

一個典型的電影推薦系統的例子是2006年Netflix舉辦的一次比賽。資料包含了480189個使用者和17770部電影，總共1億多個排名資訊。該推薦系統模型中，我們用x˘n=(n)表示第n個使用者，這是一個抽象的特征，常常使用數字編号來代替具體哪個使用者。輸出方面，我們使用ym=rnm表示第n個使用者對第m部電影的排名數值。

下面我們來進一步看看這些抽象的特征，x˘n=(n)是使用者的ID，通常用數字表示。例如1126,5566,6211等。這些編号并沒有數值大小上的意義，隻是一種ID辨別而已。這類特征被稱為類别特征（categorical features）。常見的categorical features包括：IDs，blood type，programming languages等等。而許多機器學習模型中使用的大部分都是數值特征（numerical features）。例如linear models，NNet模型等。但決策樹（decision tree）是個例外，它可以使用categorical features。是以說，如果要建立一個類似推薦系統的機器學習模型，就要把使用者ID這種categorical features轉換為numerical features。這種特征轉換其實就是訓練模型之前一個編碼（encoding）的過程。

一種最簡單的encoding方式就是binary vector encoding。也就是說，如果輸入樣本有N個，就構造一個次元為N的向量。第n個樣本對應向量上第n個元素為1，其它元素都是0。下圖就是一個binary vector encoding的例子。

經過encoding之後，輸入xnxn是N維的binary vector，表示第n個使用者。輸出ynyn是M維的向量，表示該使用者對M部電影的排名數值大小。注意，使用者不一定對所有M部電影都作過評價，未評價的恰恰是我們要預測的（下圖中問号？表示未評價的電影）。

總共有N個使用者，M部電影。對于這樣的資料，我們需要掌握每個使用者對不同電影的喜愛程度及排名。這其實就是一個特征提取（feature extraction）的過程，提取出每個使用者喜愛的電影風格及每部電影屬于哪種風格，進而建立這樣的推薦系統模型。可供選擇使用的方法和模型很多，這裡，我們使用的是NNet模型。NNet模型中的網絡結構是N−d˘−M型，其中N是輸入層樣本個數，d˘是隐藏層神經元個數，M是輸出層電影個數。該NNet為了簡化計算，忽略了常數項。當然可以選擇加上常數項，得到較複雜一些的模型。順便提一下，這個結構跟我們之前介紹的autoencoder非常類似，都是隻有一個隐藏層。

說到這裡，有一個問題，就是上圖NNet中隐藏層的tanh函數是否一定需要呢？答案是不需要。因為輸入向量x是經過encoding得到的，其中大部分元素為0，隻有一個元素為1。那麼，隻有一個元素xn與相應權重的乘積進入到隐藏層。由于xn=1，則相當于隻有一個權重值進入到tanh函數進行運算。從效果上來說，tanh(x)與x是無差别的，隻是單純經過一個函數的計算，并不影響最終的結果，修改權重值即可得到同樣的效果。是以，我們把隐藏層的tanh函數替換成一個線性函數y=x，得到下圖所示的結構。

由于中間隐藏層的轉換函數是線性的，我們把這種結構稱為Linear Network（與linear autoencoder比較相似）。看一下上圖這個網絡結構，輸入層到隐藏層的權重W1次元是Nxd˘，用向量V表示。隐藏層到輸出層的權重W2次元是d˘xM，用矩陣W表示。把權重由矩陣表示之後，Linear Network的hypothesis 可表示為：

如果是單個使用者xn，由于X向量中隻有元素xn為1，其它均為0，則對應矩陣V隻有第n列向量是有效的，其輸出hypothesis為：

2 Basic Matrix Factorization

剛剛我們已經介紹了linear network的模型和hypothesis。其中Vx可以看作是對使用者x的一種特征轉換Φ(x)。對于單部電影，其預測的排名可表示為：

推導完linear network模型之後，對于每組樣本資料（即第n個使用者第m部電影），我們希望預測的排名與實際樣本排名yn盡可能接近。所有樣本綜合起來，我們使用squared error measure的方式來定義Ein，Ein的表達式如下所示：

上式中，灰色的部分是常數，并不影響最小化求解，是以可以忽略。接下來，我們就要求出Ein最小化時對應的V和W解。

上面的表格說明了我們希望将實際排名情況R分解成兩個矩陣（V和W）的乘積形式。V的次元是d˘x N的，N是使用者個數，d˘可以是影片類型，例如（喜劇片，愛情片，懸疑片，動作片，…）。根據使用者喜歡的類型不同，賦予不同的權重。W的次元是d˘x M，M是電影數目，d˘同樣是影片類型，該部電影屬于哪一類型就在那個類型上占比較大的權重。當然，d˘維特征不一定就是影片類型，還可以是其它特征，例如明顯陣容、年代等等。

那麼，Matrix Factorization的目标就是最小化Ein函數。Ein表達式如下所示：

Ein中包含了兩組待優化的參數，分别是vn和wm。我們可以借鑒上節課中k-Means的做法，将其中第一個參數固定，優化第二個參數，然後再固定第二個參數，優化第一個參數，一步一步進行優化。

當vn固定的時候，隻需要對每部電影做linear regression即可，優化得到每部電影的d˘維特征值wm。

當wm固定的時候，因為V和W結構上是對稱的，同樣隻需要對每個使用者做linear regression即可，優化得到每個使用者對d˘維電影特征的喜愛程度vn。

3 Stochastic Gradient Descent

我們剛剛介紹了alternating least squares algorithm來解決Matrix Factorization的問題。這部分我們将讨論使用Stochastic Gradient Descent方法來進行求解。之前的alternating least squares algorithm中，我們考慮了所有使用者、所有電影。現在使用SGD，随機選取一筆資料，然後隻在與這筆資料有關的error function上使用梯度下降算法。使用SGD的好處是每次疊代隻要處理一筆資料，效率很高；而且程式簡單，容易實作；最後，很容易擴充到其它的error function來實作。

在實際應用中，由于SGD算法簡單高效，Matrix Factorization大多采用這種算法。

介紹完SGD for Matrix Factorization之後，我們來看一個實際的應用例子。問題大緻是這樣的：根據現在有的樣本資料，預測未來的趨勢和結果。顯然，這是一個與時間先後有關的預測模型。比如說一個使用者三年前喜歡的電影可能現在就不喜歡了。是以在使用SGD選取樣本點的時候有一個技巧，就是最後T次疊代，盡量選擇時間上靠後的樣本放入到SGD算法中。這樣最後的模型受這些時間上靠後的樣本點影響比較大，也相對來說比較準确，對未來的預測會比較準。

是以，在實際應用中，我們除了使用正常的機器學習算法外，還需要根據樣本資料和問題的實際情況來修改我們的算法，讓模型更加切合實際，更加準确。我們要學會靈活運用各種機器學習算法，而不能隻是照搬。

4 Summary of Extraction Models

從第12節課開始到現在，我們總共用了四節課的時間來介紹Extraction Models。雖然我們沒有給出Extraction Models明确的定義，但是它主要的功能就是特征提取和特征轉換，将原始資料更好地用隐藏層的一些節點表征出來，最後使用線性模型将所有節點aggregation。這種方法使我們能夠更清晰地抓住資料的本質，進而建立最佳的機器學習模型。

下圖所示的就是我們介紹過的所有Extraction Models，除了這四節課講的内容之外，還包括之前介紹的Adaptive/Gradient Boosting模型。因為之前筆記中都詳細介紹過，這裡就不再一一總結了。

最後，總結一下這些Extraction Models有什麼樣的優點和缺點。從優點上來說：

• easy：機器自己完成特征提取，減少人類工作量
• powerful：能夠處理非常複雜的問題和特征提取

另一方面，從缺點上來說：

• hard：通常遇到non-convex的優化問題，求解較困難，容易得到局部最優解而非全局最優解
• overfitting：模型複雜，容易造成過拟合，需要進行正則化處理

是以說，Extraction Models是一個非常強大的機器學習工具，但是使用的時候也要小心處理各種可能存在的問題。

5 Summary

本文主要介紹了Matrix Factorization。從電影推薦系統模型出發，首先，我們介紹了Linear Network。它從使用者ID編碼後的向量中提取出有用的特征，這是典型的feature extraction。然後，我們介紹了基本的Matrix Factorization算法，即alternating least squares，不斷地在使用者和電影之間互動地做linear regression進行優化。為了簡化計算，提高運算速度，也可以使用SGD來實作。事實證明，SGD更加高效和簡單。同時，我們可以根據具體的問題和需求，對固有算法進行一些簡單的調整，來獲得更好的效果。最後，我們對已經介紹的所有Extraction Models做個簡單的總結。Extraction Models在實際應用中是個非常強大的工具，但是也要避免出現過拟合等問題。