1. 背景
某天，我在寫代碼的時候，無意中點開了 String hashCode 方法。然後大緻看了一下 hashCode 的實作，發現并不是很複雜。但是我從源碼中發現了一個奇怪的數字，也就是本文的主角31。
這個數字居然不是用常量聲明的，是以沒法從字面意思上推斷這個數字的用途。後來帶着疑問和好奇心，到網上去找資料查詢一下。在看完資料後，默默的感歎了一句，原來是這樣啊。那麼到底是哪樣呢？
在接下來章節裡，請大家帶着好奇心和我揭開數字31的用途之謎。
2. 選擇數字31的原因
在詳細說明 String hashCode 方法選擇數字31的作為乘子的原因之前，我們先來看看 String hashCode 方法是怎樣實作的，如下：
上面的公式包括公式的推導并不是本文的重點，大家了解了解即可。接下來來說說本文的重點，即選擇31的理由。從網上的資料來看，一般有如下兩個原因：
第一，31是一個不大不小的質數，是作為 hashCode 乘子的優選質數之一。**另外一些相近的質數，比如37、41、43等等，也都是不錯的選擇。那麼為啥偏偏選中了31呢？請看第二個原因。**
第二、31可以被 JVM 優化，31 * i = (i << 5) - i。
上面兩個原因中，第一個需要解釋一下，第二個比較簡單，就不說了。下面我來解釋第一個理由。一般在設計雜湊演算法時，會選擇一個特殊的質數。至于為啥選擇質數，我想應該是可以降低雜湊演算法的沖突率。
至于原因，這個就要問數學家了，我幾乎可以忽略的數學水準解釋不了這個原因。上面說到，31是一個不大不小的質數，是優選乘子。那為啥同是質數的2和101（或者更大的質數）就不是優選乘子呢，分析如下。
這裡先分析質數2。首先，假設 n = 6，然後把質數2和 n 帶入上面的計算公式。并僅計算公式中次數最高的那一項，結果是2^5 = 32，是不是很小。
是以這裡可以斷定，當字元串長度不是很長時，用質數2做為乘子算出的哈希值，數值不會很大。也就是說，哈希值會分布在一個較小的數值區間内，分布性不佳，最終可能會導緻沖突率上升。
上面說了，質數2做為乘子會導緻哈希值分布在一個較小區間内，那麼如果用一個較大的大質數101會産生什麼樣的結果呢？
根據上面的分析，我想大家應該可以猜出結果了。就是不用再擔心哈希值會分布在一個小的區間内了，因為101^5 = 10,510,100,501。
但是要注意的是，這個計算結果太大了。如果用 int 類型表示哈希值，結果會溢出，最終導緻數值資訊丢失。盡管數值資訊丢失并不一定會導緻沖突率上升，但是我們暫且先認為質數101（或者更大的質數）也不是很好的選擇。最後，我們再來看看質數31的計算結果：31^5 = 28629151，結果值相對于32和10,510,100,501來說。是不是很nice，不大不小。
上面用了比較簡陋的數學手段證明了數字31是一個不大不小的質數，是作為 hashCode 乘子的優選質數之一。
接下來我會用詳細的實驗來驗證上面的結論，不過在驗證前，我們先看看 Stack Overflow 上關于這個問題的讨論，Why does Java's hashCode() in String use 31 as a multiplier?。其中排名第一的答案引用了《Effective Java》中的一段話，這裡也引用一下：
The value 31 was chosen because it is an odd prime. If it were even and the multiplication overflowed, information would be lost, as multiplication by 2 is equivalent to shifting. The advantage of using a prime is less clear, but it is traditional. A nice property of 31 is that the multiplication can be replaced by a shift and a subtraction for better performance: 31 * i == (i << 5) - i`. Modern VMs do this sort of optimization automatically.
簡單翻譯一下：
選擇數字31是因為它是一個奇質數，如果選擇一個偶數會在乘法運算中産生溢出，導緻數值資訊丢失，因為乘二相當于移位運算。選擇質數的優勢并不是特别的明顯，但這是一個傳統。同時，數字31有一個很好的特性，即乘法運算可以被移位和減法運算取代，來擷取更好的性能：31 * i == (i << 5) - i，現代的 Java 虛拟機可以自動的完成這個優化。
排名第二的答案設這樣說的：
As Goodrich and Tamassia point out, If you take over 50,000 English words (formed as the union of the word lists provided in two variants of Unix), using the constants 31, 33, 37, 39, and 41 will produce less than 7 collisions in each case. Knowing this, it should come as no surprise that many Java implementations choose one of these constants.
這段話也翻譯一下：
正如 Goodrich 和 Tamassia 指出的那樣，如果你對超過 50,000 個英文單詞（由兩個不同版本的 Unix 字典合并而成）進行 hash code 運算，并使用常數 31, 33, 37, 39 和 41 作為乘子，每個常數算出的哈希值沖突數都小于7個，是以在上面幾個常數中，常數 31 被 Java 實作所選用也就不足為奇了。
上面的兩個答案完美的解釋了 Java 源碼中選用數字 31 的原因。接下來，我将針對第二個答案就行驗證，請大家繼續往下看。
3. 實驗及資料可視化
本節，我将使用不同的數字作為乘子，對超過23萬個英文單詞進行哈希運算，并計算雜湊演算法的沖突率。同時，我也将針對不同乘子算出的哈希值分布情況進行可視化處理，讓大家可以直覺的看到資料分布情況。
本次實驗所使用的資料是 Unix/Linux 平台中的英文字典檔案，檔案路徑為 /usr/share/dict/words。
3.1 哈希值沖突率計算
計算雜湊演算法沖突率并不難，比如可以一次性将所有單詞的 hash code 算出，并放入 Set 中去除重複值。之後拿單詞數減去 set.size() 即可得出沖突數，有了沖突數，沖突率就可以算出來了。當然，如果使用 JDK8 提供的流式計算 API，則可更友善算出，代碼片段如下：
public static Integer hashCode(String str, Integer multiplier) {
int hash = 0;
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
hash = multiplier * hash + str.charAt(i);
}
return hash;
}
/**
* 計算 hash code 沖突率，順便分析一下 hash code 最大值和最小值，并輸出
* @param multiplier
* @param hashs
*/
public static void calculateConflictRate(Integer multiplier, List<Integer> hashs) {
Comparator<Integer> cp = (x, y) -> x > y ? 1 : (x < y ? -1 : 0);
int maxHash = hashs.stream().max(cp).get();
int minHash = hashs.stream().min(cp).get();
// 計算沖突數及沖突率
int uniqueHashNum = (int) hashs.stream().distinct().count();
int conflictNum = hashs.size() - uniqueHashNum;
double conflictRate = (conflictNum * 1.0) / hashs.size();
System.out.println(String.format("multiplier=%4d, minHash=%11d, maxHash=%10d, conflictNum=%6d, conflictRate=%.4f%%",
multiplier, minHash, maxHash, conflictNum, conflictRate * 100));
} 結果如下：
從上圖可以看出，使用較小的質數做為乘子時，沖突率會很高。尤其是質數2，沖突率達到了 55.14%。同時我們注意觀察質數2作為乘子時，哈希值的分布情況。可以看得出來，哈希值分布并不是很廣，僅僅分布在了整個哈希空間的正半軸部分，即 0 ~ 231-1。而負半軸 -231 ~ -1，則無分布。
這也證明了我們上面斷言，即質數2作為乘子時，對于短字元串，生成的哈希值分布性不佳。然後再來看看我們之前所說的 31、37、41 這三個不大不小的質數，表現都不錯，沖突數都低于7個。而質數 101 和 199 表現的也很不錯，沖突率很低，這也說明哈希值溢出并不一定會導緻沖突率上升。但是這兩個家夥一言不合就溢出，我們認為他們不是雜湊演算法的優選乘子。
最後我們再來看看 32 和 36 這兩個偶數的表現，結果并不好，尤其是 32，沖突率超過了了50%。盡管 36 表現的要好一點，不過和 31，37相比，沖突率還是比較高的。當然并非所有的偶數作為乘子時，沖突率都會比較高，大家有興趣可以自己驗證。
3.2 哈希值分布可視化
上一節分析了不同數字作為乘子時的沖突率情況，這一節來分析一下不同數字作為乘子時，哈希值的分布情況。在詳細分析之前，我先說說哈希值可視化的過程。
我原本是打算将所有的哈希值用一維散點圖進行可視化，但是後來找了一圈，也沒找到合适的畫圖工具。加之後來想了想，一維散點圖可能不合适做哈希值可視化，因為這裡有超過23萬個哈希值。也就意味着會在圖上顯示超過23萬個散點，如果不出意外的話，這23萬個散點會聚集的很密，有可能會變成一個大黑塊，就失去了可視化的意義了。
是以這裡選擇了另一種可視化效果更好的圖表，也就是 excel 中的平滑曲線的二維散點圖（下面簡稱散點曲線圖）。當然這裡同樣沒有把23萬散點都顯示在圖表上，太多了。是以在實際繪圖過程中，我将哈希空間等分成了64個子區間，并統計每個區間内的哈希值數量。最後将分區編号做為X軸，哈希值數量為Y軸，就繪制出了我想要的二維散點曲線圖了。
這裡舉個例子說明一下吧，以第0分區為例。第0分區數值區間是[-2147483648, -2080374784)，我們統計落在該數值區間内哈希值的數量，得到 <分區編号, 哈希值數量> 數值對，這樣就可以繪圖了。分區代碼如下：
/**
* 将整個哈希空間等分成64份，統計每個空間内的哈希值數量
* @param hashs
*/
public static Map<Integer, Integer> partition(List<Integer> hashs) {
// step = 2^32 / 64 = 2^26
final int step = 67108864;
List<Integer> nums = new ArrayList<>();
Map<Integer, Integer> statistics = new LinkedHashMap<>();
int start = 0;
for (long i = Integer.MIN_VALUE; i <= Integer.MAX_VALUE; i += step) {
final long min = i;
final long max = min + step;
int num = (int) hashs.parallelStream()
.filter(x -> x >= min && x < max).count();
statistics.put(start++, num);
nums.add(num);
}
// 為了防止計算出錯，這裡驗證一下
int hashNum = nums.stream().reduce((x, y) -> x + y).get();
assert hashNum == hashs.size();
return statistics;
} 本文中的哈希值是用整形表示的，整形的數值區間是 [-2147483648, 2147483647]，區間大小為 2^32。是以這裡可以将區間等分成64個子區間，每個自子區間大小為 2^26。詳細的分區對照表如下：
接下來，讓我們對照上面的分區表，對數字2、3、17、31、101的散點曲線圖進行簡單的分析。先從數字2開始，數字2對于的散點曲線圖如下：
3作為乘子時，算出的哈希值分布情況和2很像，隻不過稍微好了那麼一點點。從圖中可以看出絕大部分的哈希值最終都落在了第32分區裡，哈希值的分布性很差。這個也沒啥用，拖出去槍斃5分鐘吧。在看看數字17的情況怎麼樣：