目錄
一、感覺器
二、感覺器的例子
三、權重和門檻值
四、決策模型
五、矢量化
六、神經網絡的運作過程
七、神經網絡的例子
八、輸出的連續性
眼下最熱門的技術，絕對是人工智能。
人工智能的底層模型是"神經網絡"（neural network）。許多複雜的應用（比如模式識别、自動控制）和進階模型（比如深度學習）都基于它。學習人工智能，一定是從它開始。
什麼是神經網絡呢？網上似乎缺乏通俗的解釋。
前兩天，讀到 Michael Nielsen 的開源教材《神經網絡與深度學習》（Neural Networks and Deep Learning），意外發現裡面的解釋非常好懂。下面，我就按照這本書，介紹什麼是神經網絡。
曆史上，科學家一直希望模拟人的大腦，造出可以思考的機器。人為什麼能夠思考？科學家發現，原因在于人體的神經網絡。
外部刺激通過神經末梢，轉化為電信号，轉導到神經細胞（又叫神經元）。
無數神經元構成神經中樞。
神經中樞綜合各種信号，做出判斷。
人體根據神經中樞的指令，對外部刺激做出反應。
既然思考的基礎是神經元，如果能夠"人造神經元"（artificial neuron），就能組成人工神經網絡，模拟思考。上個世紀六十年代，提出了最早的"人造神經元"模型，叫做"感覺器"（perceptron），直到今天還在用。
上圖的圓圈就代表一個感覺器。它接受多個輸入（x1，x2，x3...），産生一個輸出（output），好比神經末梢感受各種外部環境的變化，最後産生電信号。
為了簡化模型，我們約定每種輸入隻有兩種可能：1 或 0。如果所有輸入都是1，表示各種條件都成立，輸出就是1；如果所有輸入都是0，表示條件都不成立，輸出就是0。
下面來看一個例子。城裡正在舉辦一年一度的遊戲動漫展覽，小明拿不定主意，周末要不要去參觀。
他決定考慮三個因素。
天氣：周末是否晴天？
同伴：能否找到人一起去？
價格：門票是否可承受？
這就構成一個感覺器。上面三個因素就是外部輸入，最後的決定就是感覺器的輸出。如果三個因素都是 Yes（使用1表示），輸出就是1（去參觀）；如果都是 No（使用0表示），輸出就是0（不去參觀）。
看到這裡，你肯定會問：如果某些因素成立，另一些因素不成立，輸出是什麼？比如，周末是好天氣，門票也不貴，但是小明找不到同伴，他還要不要去參觀呢？
現實中，各種因素很少具有同等重要性：某些因素是決定性因素，另一些因素是次要因素。是以，可以給這些因素指定權重（weight），代表它們不同的重要性。
天氣：權重為8
同伴：權重為4
價格：權重為4
上面的權重表示，天氣是決定性因素，同伴和價格都是次要因素。
如果三個因素都為1，它們乘以權重的總和就是 8 + 4 + 4 = 16。如果天氣和價格因素為1，同伴因素為0，總和就變為 8 + 0 + 4 = 12。
這時，還需要指定一個門檻值（threshold）。如果總和大于門檻值，感覺器輸出1，否則輸出0。假定門檻值為8，那麼 12 > 8，小明決定去參觀。門檻值的高低代表了意願的強烈，門檻值越低就表示越想去，越高就越不想去。
上面的決策過程，使用數學表達如下。
上面公式中，x表示各種外部因素，w表示對應的權重。
單個的感覺器構成了一個簡單的決策模型，已經可以拿來用了。真實世界中，實際的決策模型則要複雜得多，是由多個感覺器組成的多層網絡。
上圖中，底層感覺器接收外部輸入，做出判斷以後，再發出信号，作為上層感覺器的輸入，直至得到最後的結果。（注意：感覺器的輸出依然隻有一個，但是可以發送給多個目标。）
這張圖裡，信号都是單向的，即下層感覺器的輸出總是上層感覺器的輸入。現實中，有可能發生循環傳遞，即 A 傳給 B，B 傳給 C，C 又傳給 A，這稱為"遞歸神經網絡"（recurrent neural network），本文不涉及。
為了友善後面的讨論，需要對上面的模型進行一些數學處理。
外部因素 x1、x2、x3 寫成矢量 <x1, x2, x3>，簡寫為 x
權重 w1、w2、w3 也寫成矢量 (w1, w2, w3)，簡寫為 w
定義運算 w⋅x = ∑ wx，即 w 和 x 的點運算，等于因素與權重的乘積之和
定義 b 等于負的門檻值 b = -threshold
感覺器模型就變成了下面這樣。
一個神經網絡的搭建，需要滿足三個條件。
輸入和輸出
權重（w）和門檻值（b）
多層感覺器的結構
也就是說，需要事先畫出上面出現的那張圖。
其中，最困難的部分就是确定權重（w）和門檻值（b）。目前為止，這兩個值都是主觀給出的，但現實中很難估計它們的值，必需有一種方法，可以找出答案。
這種方法就是試錯法。其他參數都不變，w（或b）的微小變動，記作Δw（或Δb），然後觀察輸出有什麼變化。不斷重複這個過程，直至得到對應最精确輸出的那組w和b，就是我們要的值。這個過程稱為模型的訓練。
是以，神經網絡的運作過程如下。
确定輸入和輸出
找到一種或多種算法，可以從輸入得到輸出
找到一組已知答案的資料集，用來訓練模型，估算w和b
一旦新的資料産生，輸入模型，就可以得到結果，同時對w和b進行校正
可以看到，整個過程需要海量計算。是以，神經網絡直到最近這幾年才有實用價值，而且一般的 CPU 還不行，要使用專門為機器學習定制的 GPU 來計算。
這個例子裡面，車牌照片就是輸入，車牌号碼就是輸出，照片的清晰度可以設定權重（w）。然後，找到一種或多種圖像比對算法，作為感覺器。算法的得到結果是一個機率，比如75%的機率可以确定是數字1。這就需要設定一個門檻值（b）（比如85%的可信度），低于這個門檻結果就無效。
一組已經識别好的車牌照片，作為訓練集資料，輸入模型。不斷調整各種參數，直至找到正确率最高的參數組合。以後拿到新照片，就可以直接給出結果了。
上面的模型有一個問題沒有解決，按照假設，輸出隻有兩種結果：0和1。但是，模型要求w或b的微小變化，會引發輸出的變化。如果隻輸出0和1，未免也太不敏感了，無法保證訓練的正确性，是以必須将"輸出"改造成一個連續性函數。
這就需要進行一點簡單的數學改造。
首先，将感覺器的計算結果wx + b記為z。
z = wx + b 然後，計算下面的式子，将結果記為σ(z)。
σ(z) = 1 / (1 + e^(-z)) 這是因為如果z趨向正無窮z → +∞（表示感覺器強烈比對），那麼σ(z) → 1；如果z趨向負無窮z → -∞（表示感覺器強烈不比對），那麼σ(z) → 0。也就是說，隻要使用σ(z)當作輸出結果，那麼輸出就會變成一個連續性函數。
原來的輸出曲線是下面這樣。
現在變成了這樣。
實際上，還可以證明Δσ滿足下面的公式。
即Δσ和Δw和Δb之間是線性關系，變化率是偏導數。這就有利于精确推算出w和b的值了。