線性代數的本質
文章目錄
1、向量究竟是什麼 2、線性組合、張成的空間、基 3、矩陣與線性變換 4、矩陣乘法與線性變換複合 5、三維空間中的線性變換 6、行列式 7、逆矩陣、列空間與零空間 8、非方陣 9、點積和對偶性 10、叉積 11、基變換 13、抽象向量空間 克萊姆法則視訊：
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E實體解釋：向量是空間中的箭頭（長度、方向）
計算機解釋：向量是有序的數字清單
點point (2, 3)
線性代數圍繞兩種基本的運算：
向量加法與向量數乘
加法：位移結果
數軸Number line 加法
向量加法
縮放：标量scalar * 向量
機關向量（基向量）
縮放向量并且相加
當使用數字描述向量時，都依賴于我們正在使用的基
線性組合：兩個數乘向量的和被稱為這兩個向量的線性組合
全部線性組合構成的向量合稱為“張成的空間”
單個向量看做箭頭，多個向量看做點
線性相關 Linearly dependent：多個向量，移除其中一個不減小張成的空間
線性無關 Linearly independent：如果所有的向量都給張成的空間增加了新的次元
嚴格定義：
向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關向量集
變換 <=> 函數
矩陣看做是空間的變換
線性的條件：
- 直線在變換後仍然保持為直線，不能有所彎曲
- 原點必須保持固定
兩個點 (a, c)、(b, d)，矩陣的乘法
2、剪切基向量對角線剪開
i=(1, 0), j=(0, 1) => (0, 1), (1, 1)
A (2, 2) => (2, 4)
複合變換
旋轉矩陣 + 剪切矩陣 => 複合矩陣
矩陣乘法
三維空間中坐标x,y,z 對應基向量
縮放比例，線性變換改變面積的比例被稱為這個變換的行列式
行列式為正
行列式為0 變換減少了空間的次元
行列式為負 變換改變了空間的定向
右手定則
右手食指指向i-hat方向
右手中指指向j-hat方向
大拇指豎起來，指向k-hat方向
計算行列式
三階行列式 （體積）
性質
逆矩陣Inverse matrices 存在時，可以用來求解方程組
秩 Rank ：變換後空間的維數
列空間 Column space：所有可能的變換結果集合
變換後基向量張成的空間，就是所有可能的結果
換句話說，列空間就是矩陣的列所張成的空間
秩是列空間的維數
滿秩Full rank：秩與列數相等
列空間與方程組解的個數有關
矩陣的零空間 null space 變換後落在原點的向量的集合
兩個向量點積（數量積/投影）
平行邊行的面積
##12、特征向量與特征值
能夠被A拉伸且保持方向不變的向量就是A的特征向量，拉伸的倍數就是特征值
特征值：每個特征向量都有一個所屬的值，衡量特征向量在變換中拉伸或壓縮比例的因子
對角矩陣
一組基向量（同樣是特征向量）構成的集合被稱為一組“特征基”
示例：求矩陣特征值,特征向量
| 線性代數 | 函數 |
| 線性變換 | 線性算子 |
| 點積 | 内積 |
| 特征向量 | 特征函數 |
向量加法和數乘