怎樣才能挑戰數學權威——也談《統一無窮理論》

怎樣才能挑戰數學權威——也談《統一無窮理論》

已有 9775 次閱讀 2013-3-8 06:58 |個人分類:科普|系統分類:科普集錦| 數學, 無窮, 集合論

前些天寫了篇《無窮大能比大小嗎》，原是解答網友“為什麼無理數比有理數多”的問題，給關心無窮集合問題的人，普及一下最基本的概念和邏輯，好用自己腦子想通這些不算難的問題，不再會被網上廣征博引的公理語錄吓住了。

這兩天到網上一搜，發現還真有人對這些基本的問題不明白，也有提出挑戰的，其中最新鮮熱辣，整出點動靜來的是《統一無窮理論》。這是一本書，看了簡介和目錄後，我就明白為什麼玩數學的人都不啃聲。這主題是個簡單的數學問題，但要評論就得看這一厚本，你要賠不起這時間，除了這标題就不知道該說什麼。我原來也不想湊這熱鬧，隻是剛寫了篇無窮集合的普及文，不好意思不說兩句。幸好陳綏陽教授花了一個月看完這書，寫了篇博文《千慮一失，一慮百得》是壓縮過的注記。再看了幾篇作者的介紹和辯駁【1】，本着數學抽象的原則，略過故事、哲理、聯想、展望、感歎、形容詞、副詞，直接抓住有關數學的核心命題，作者何教授說：

康托爾理論不對，無窮集合隻有一種勢 2ℵ0=ℵ0

他的證明是“無限倍增法生成的實無窮層滿二叉樹可與自然數集一一對應”，網上查到這個方法的介紹，原來他用一種構造方法，生成（0，1）區間的實數，樹的每個節點對應着有限小數，無窮分支處的葉片對應着無限循環的有理數和無限不循環的無理數，這樣這區間内的所有實數都可以用樹的節點和葉片來表示。現在從樹根處起對應1，第1層2個節點，對應2和3，第2層4個節點，對應……，逐層逐個點過，直至無窮，豈不是将這所表示的實數與自然數一一對應起來？作者說：這證明實數的勢也是ℵ0。

這裡的問題是：這個對應的過程中，始終隻把一個自然數對應到一個有限的小數，還沒有一個無理數被一個自然數對應到，更談不上全體。就是說，沒有證明一個無理數被這樣的規則對應到。是以這證明隻能說實數的勢大或等于ℵ0。他可能抗議，有理數可數不也是這樣三角形曲折法逐個對應過來證明的？有理數的确也是這麼走，兩個可數集的笛卡爾積可數也是用類似的手法證明，但是它們構造的對應規則都保證這個映射是滿的，也就是說，給出任何一個具體的有理數，或者笛卡爾積裡的一個元素，都在這規則下有一個自然數和它對應，你都能确切的知道是有這個自然數。這才是雙向的一一映射，而他的這個對應規則做不到。

“如果允許無窮序列，實數可以用0和1序清單示”，這說法比較靠譜，應該是他的核心思想。這個數學模型是：每個實數對應着一個整數的一個子集，這在我那普及博文裡提到：

實數可以用0和1來表示，每一個實數中的數字為1的位數集合，比如說10.101，一一對應着整數的一個子集，例如這個是{2，-1，-3}，也就是實數與可數集上所有子集集合的勢相等，c=2ℵ0。

然後用康托爾定理可以推出c=2ℵ0>ℵ0。是以何教授這個理想模型的構造方法，隻不過說實數與自然數子集的集合等勢，并沒有證明康托爾理論不對，他不承認康托爾說的2ℵ0>ℵ0，這就繞回來了。

要證明康托爾說的不對，就要挑出康托爾證明錯在哪裡。其實康托爾定理的證明也很簡單，不需要什麼預備知識就能讀懂，這定理是General Topology【2】，第一章裡的一道習題，我把這作業再做一遍寫在下面：

康托爾定理(Cantor’s theorem)：集合A上所有子集的集合P(A)的勢要比A的勢大，即|P(A)|>|A|。換成幂集的符号便是2|A|>|A|。

證明：設a∈A，令F(a)={a}，{a}∈P(A)，則F是A到P(A)的一一映射，是以有|P(A)|⩾|A|。假如|P(A)|=|A|，這就存在着一個一一滿映射G:A→P(A)，對于每個x∈A，記Ax=G(x)，則有P(A)={Ax|x∈A}，定義A上的子集B={x∈A|x∉Ax}，則B∈P(A)，按照假設，有一個y∈A，使得B=Ay，這時候問：y是不是屬于B？如果答是， y∈B，按照B的定義則有y∉Ay，由B=Ay，是以y∉B，反過來通過等式和B的定義也推出沖突。這兩者皆不對，按照排中律這是不允許的。按沖突律，這假設不成立。是以|P(A)|>|A|。

這裡隻需要集合和勢的定義以及邏輯。在集合A是可數集時，便有2ℵ0>ℵ0。如果你對這抽象的邏輯有點吃力，那建議看我的普及博文《無窮大能比大小嗎》，用對角線法來證明實數的勢是不可數的，那裡解說得不厭其煩，隻要有中學程度懂得邏輯，心思澄明就能了解。這是康托爾定理的一個特例，但也夠了。

要說康托爾錯了，如果反例不給力，就要指出康托爾證明錯在哪裡。據說那文章也“對康托爾對解線法進行了細緻的分析”，我沒看到作者在這簡單證明裡挑出什麼毛病來。好像是不喜歡這樣的證明方法，不直覺。要是這樣子，他隻要說“不接受反證法的證明”這句話，玩數學的都知道是什麼意思，也不用寫一本書了。

早在1908年數學直覺主義的創始人布勞威爾，就以反證法不直覺，反對在無窮集合使用邏輯中的排中律，他主張無窮集合隻有一種勢，就是可數的無窮，同何教授說的一個樣，在一百多年前。不過他是數學家，明白反對一種證明方法的理由，也必須一視同仁地對數學的所有證明，他反對在無窮問題上使用邏輯中的排中律。

提倡直覺，誰都喜歡，但要否定了邏輯中的排中律，你能想象現代數學還剩下什麼嗎？連布勞威爾賴以成名的不動點定理，自己也是依賴于反證法來證明！一百多年過去了，主流數學沒有接受這個觀點，也有一些數學家沿着直覺主義和比較溫和的構造主義做探索，都成績寥寥。但他們還是講邏輯的，他們的直覺是要求構造性的數學證明。

連續統假設，幾個公理的數學界讨論，和這實數是可數的問題根本是兩回事。連續統問題争論的是：自然數和實數之間還有沒有其他無窮集的勢。把這樣的事混為一談，能受玩數學的人待見嗎？數學證明不需要旁征博引，追求的是抽象簡化，隻用邏輯推理來分是非。

有人反對這樣的抽象和推理，認為這是書呆子，形式邏輯，舉出一些悖論的推理來，說明是荒謬絕倫。抽象地略去這話的貶義和情緒詞，這說到了點子。數學就是用形式邏輯把給定的假設推到極緻，這裡不能參雜任何個人的想象和情緒。悖論的意義是在磨砺和檢驗你的智力，感到荒謬是因為推理的結果和直覺的常識相沖突，這裡的錯不在于邏輯的規則，而在假設、推理和常識三者之間，如果前兩者沒有錯，需要修正的是常識。不接受形式邏輯的證明，那就不是數學，是浮想。

網上又查一下，現在何教授也不反對康托爾證明的邏輯，隻反對他的概念，說這概念不符合客觀實際。他的實數是理想計數器裡的概念，他認為“現在的數學家習慣于不管基本概念是否符合客觀實際，隻管邏輯推理是否正确，這是十分片面的。”（他在跟帖裡的原話）

這是把數學家當作實體學家和工程師了，純數學确實隻管邏輯推理，而不在乎前提是不是客觀實際。那個是搞應用人的事。你最多隻能抱怨自己所會的那些數學不好用，不會用。何教授的理想電腦模型裡，如果不是數學裡面抽象的實數，談的就不是那個數學問題了。

要真正挑戰數學難題或者已有結果，最好的辦法是盡可能簡練地把數學問題表述出來，提出證明或者反證。其他無關的一慨不用說。如果有幾個問題，一個一個地談，盡量明确，對就是對，錯就是錯，不要打包混為一談。這樣或許會讓數學界的人關注，或得評點，或者接受，或者拒絕，這樣都比在外邊叫嚷更有意思。數學玩的是邏輯，除此之外别無原則，如果你的邏輯不能讓人讀懂，或者你讀不懂有關基礎知識的邏輯，那就無法交流了。

認為數學公理必須是真理的，那是幾百年前的事了。自從出了羅巴切夫斯基的非歐幾何後，數學界都明白，公理都隻不過是一種假設，現代數學家毫無敬意地審視原來的公理，将它們切碎重組，以便具有最大的功利。現在的數學公理都是非常一般和廣泛，直達人類理性可以分辨的最基本概念和命題單元。稱為科學的一切邏輯推理的成果都建造在這個數學基礎上。

那數學家對公理的争吵，數學的悖論，哥德爾定理是怎麼回事？

數學也像其他科學一樣不斷地發展上層和修補基礎。基礎的公理如同實體中的原子，現在又用基本粒子來解釋了。所不同的，實體用實驗來判别正誤，數學所憑的隻有邏輯，尋求基本假設的自洽和效益。

經過幾千年的發展，我們現在住在一座豪華的數學系統大廈裡，地基有點疵瑕和裂紋，這隻有最犀利的邏輯和極緻的思辨才能覺察，數學家正在讨論怎麼修補它，這是個細緻活，必須考慮到方方面面，和對已有系統的影響。這事幾千年來都不斷有，對邏輯粗放些的上層科學研究和日常活動影響不大，隻不過現在資訊發達了，嚷得大家都知道，你不會是以跑出去住帳篷，或者提個大榔頭來幫忙吧？

【參考資料】

【1】《統一無窮理論》評論園地

http://wenqinghui163.blog.163.com/

【2】Stephen Willard，General Topology， Addison-Wesley（1970）

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