GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）是被工業界廣泛使用的機器學習算法之一，它既可以解決回歸問題，又可以應用在分類場景中，該算法由斯坦福統計學教授 Jerome H. Friedman 在 1999 年發表。本文中，我們主要學習 GBDT 的回歸部分。
在學習 GBDT 之前，你需要對
CART 、 AdaBoost決策樹有所了解，和 AdaBoost 類似，GBDT 也是一種 Boosting 類型的決策樹，即在算法産生的衆多樹中，前一棵樹的錯誤決定了後一棵樹的生成。
我們先從最為簡單的例子開始，一起來學習 GBDT 是如何構造的，然後結合理論知識，對算法的每個細節進行剖析，力求由淺入深的掌握該算法。
我們的極簡資料集由以下 3 條資料構成，使用它們來介紹 GBDT 的原理是再好不過了，假設我們用這些資料來構造一個 GBDT 模型，該模型的功能是：通過身高、顔色喜好、性别這 3 個特征來預測體重，很明顯這是一個回歸問題。
| 身高（米） | 顔色喜好 | 性别 | 體重（kg） |
|---|---|---|---|
| 1.6 | Blue | Male | 88 |
| Green | Female | 76 | |
| 1.5 | 56 |
構造 GBDT 決策樹
GBDT 的第一棵樹隻有 1 個葉子節點，該節點為所有樣本的初始預測值，且該值到所有樣本間的 MSE（Mean Squared Error）是最小的。實際上，初始值就是所有樣本的平均值，即 (88+76+56)/3 = 73.3，原因我們在下文會詳細介紹。
接下來，根據預測值，我們算出每個樣本的殘差（Residual），如第一個樣本的殘差為：88 - 73.3 = 14.7，所有樣本的殘差如下：
| 殘差 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 14.7 | ||||
| 2.7 | ||||
| -17.3 |
接着，我們以殘差為目标值來建構一棵決策樹，構造方式同 CART 決策樹，這裡你可能會問到為什麼要預測殘差？原因我們馬上就會知道，産生的樹如下：
因為我們隻有 3 個樣本，且為了保留算法的細節，這裡隻用了 2 個葉子節點，但實際工作中，GBDT 的葉子節點通常在 8-32 個之間。
然後我們要處理有多個預測值的葉子節點，取它們的平均值作為該節點的輸出，如下：
上面這棵樹便是第 2 棵樹，聰明的你一定發現了，第 2 棵樹實際上是第 1 棵樹和樣本之間的誤差，我們拿第 3 個樣本作為例子，第一棵樹對該樣本的預測值為 73.3，此時它和目标值 56 之間的誤差為 -17.3，把該樣本輸入到第 2 棵樹，由于她的身高值為 1.5，小于 1.55，她将被預測為 -17.3。
既然後一棵樹的輸出是前一棵樹的誤差，那隻要把所有的樹都加起來，是不是就可以對前面樹的錯誤做出補償，進而達到逼近真實值的目的呢。這就是我們為什麼以殘差建樹的原因。
當然樹之間不會直接相加，而是在求和之前，乘上一個學習率，如 0.1，這樣我們每次都可以在正确的方向上，把誤差縮小一點點。Jerome Friedman 也說過這麼做有助于提升模型的泛化能力（low variance）。
整個過程有點像梯度下降，這應該也是 GBDT 中 Gradient 的來曆。GBDT 的預測過程如下圖所示：
按此方法更新上述 3 個樣本的預測值和殘差，如下：
| 樣本 | 目标值 | 預測值 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 73.3 + 0.1 × 8.7 = 74.17 | 13.83 | |
| 2 | 1.83 | ||
| 3 | 73.3 + 0.1 × (-17.3) = 71.57 | -15.57 |
比較這兩棵樹的殘差：
| 樹1的殘差 | 樹2的殘差 | |
|---|---|---|
可見，通過 2 棵樹預測的樣本比隻用 1 棵樹更接近目标值。接下來，我們再使用第 2 棵樹的殘差來建構第 3 棵樹，用第 3 棵樹的殘差來建構第 4 棵樹，如此循環下去，直到樹的棵數滿足預設條件，或總殘差小于一定門檻值為止。以上，就是 GBDT 回歸樹的原理。
深入 GBDT 算法細節
GBDT 從名字上給人一種不明覺厲的印象，但從上文可以看出，它的思想還是非常直覺的。對于隻想了解其原理的同學，至此已經足夠了，想學習更多細節的同學，可以繼續往下閱讀。
初始化模型
該算法主要分為兩個步驟，第一步為初始化模型：
$$
F_0(x) = \arg\min_{\gamma} \sum_{i=1}^n L(y_i, \gamma)
上式中，$F$ 表示模型，$F_0$ 即模型初始狀态；L 為 Loss Function，n 為訓練樣本的個數，$y_i$ 為樣本 i 的目标值，gamma 為初始化的預測值，意為找一個 gamma，能使所有樣本的 Loss 最小。
前文提過，GBDT 回歸算法使用 MSE 作為其 Loss，即：
L(y_i,\hat{y_i}) = \frac{1}{2}(y_i-\hat{y_i})^2
公式中 $\hat{y_i}$ 表示第 i 個樣本的預測值，我們把例子中的 3 個樣本帶入 $F_0$ 中，得：
F_0(x) = \frac{1}{2}(88-\gamma)^2 + \frac{1}{2}(76-\gamma)^2+\frac{1}{2}(56-\gamma)^2
要找到一個 gamma，使上式最小，因為上式是一個抛物線，那麼 $d(F_0)/d\gamma=0$ 時，上式有最小值，于是：
\frac{d(F_0)}{d\gamma}=(\gamma-88)+(\gamma-76)+(\gamma-56)=0
上式化簡後，你一眼就可以看出 gamma = (88+76+56)/3 = 73.3，即初始值就是所有樣本的平均值，
模型疊代
算法的第二個步驟是一個循環，僞代碼如下：
for m = 1 to M:
(A)
(B)
(C)
(D) 其中，m 表示樹的序号，M 為樹的總個數（通常該值設為 100 或更多），(A) (B) (C) (D) 代表每次循環中的 4 個子步驟，我們先來看 (A)
(A) 計算
r_{im} = -\left[ \frac{\partial L(y_i,F(x_i))}{\partial F(x_i)} \right]_{F(x)=F_{m-1}(x)}
我們把 $F(x_i)$ 換成 $\hat{y_i}$，該式子其實是對 Loss 求 $\hat{y_i}$ 的偏微分，該偏微分為：
\frac{\partial{L(y_i, \hat{y_i})}}{\partial \hat{y_i}} = \frac{\partial \frac{1}{2}(y_i-\hat{y_i})^2}{\partial \hat{y_i}} = -(y_i-\hat{y_i})
而 $F(x)=F_{m-1}(x)$ 意為使用上一個模型來計算 $\hat{y_i}$，即用 m-1 棵已生成的樹來預測每一個樣本，那麼 $r_{im} = y_i-\hat{y_i}$ 就是上面說的計算殘差這一步。
(B) 使用回歸決策樹來拟合殘差 $r_{im}$，樹的葉子節點标記為 $R_{jm}$，其中 j 表示第 j 個葉子節點，m 表示第 m 棵樹。該步驟的細節如果不清楚可以檢視
CART 回歸樹一文。
(C) 對每個葉子節點，計算
\gamma_{jm} = \arg\min_{\gamma} \sum_{x_i \in R_{ij}} L(y_i,F_{m-1}(x_i)+\gamma)
上面式子雖然較為複雜，但它和初始化步驟中的式子的目的是一樣的，即在每個葉子節點中，找到一個輸出值 gamma，使得整個葉子節點的 Loss 最小。
$\gamma_{jm}$ 為第 m 棵樹中，第 j 個葉子節點的輸出，$\sum_{x_i \in R_{ij}}L$ 表示在第 j 個葉子節點中所有樣本的 Loss，如下面的樹中，左邊葉子節點上有 1 個樣本，而右邊葉子節點内有 2 個樣本，我們希望根據這些樣本來求得對應葉子的唯一輸出，而 Loss 最小化就是解決之道。
在 Loss 函數中，第 2 個參數 $F_{m-1}(x_i) + \gamma$ 是模型對樣本 i 的預測，再加上 $\gamma$，對于隻有 1 個樣本的葉子節點來說，$\gamma$ 就是該樣本殘差，而對于有多個樣本的節點來說，$\gamma$ 為能使 Loss 最小的那個值，下面就這兩種情況分别說明：
以上面這棵樹為例，左邊葉子節點隻有 1 個樣本，即樣本 3，将它帶入到公式中：
\begin{aligned}
\gamma_{11} &= \arg\min_{\gamma}L(y_3, F_0(x_3)+\gamma)\\
&=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(56-(73.3+\gamma))^2)\\
&=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(-17.3-\gamma)^2)
\end{aligned}
要求右邊的式子最小，和上面一樣，我們令其導數為 0：
\frac{d}{d\gamma}\left[\frac{1}{2}(-17.3-\gamma)^2\right] = 17.3+\gamma = 0
算得 $\gamma_{11} = -17.3$，是以當葉子中隻有 1 個樣本時，該葉子的輸出就是其殘差。
再來看下右邊這個節點，其中包含 2 個樣本，同樣把樣本 1 和樣本 2 帶入到公式中，得：
\gamma_{21} &=\arg\min_{\gamma}(L(y_1, F_0(x_1)+\gamma)+L(y_2, F_0(x_2)+\gamma))\\
&=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(88-(73.3+\gamma))^2+\frac{1}{2}(76-(73.3+\gamma))^2)\\
&=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(14.7-\gamma)^2+\frac{1}{2}(2.7-\gamma)^2)
對右邊求導：
\frac{d}{d\gamma}\left[ \frac{1}{2}(14.7-\gamma)^2+\frac{1}{2}(2.7-\gamma)^2) \right] = \gamma-14.7+\gamma-2.7
上式為 0 時，Loss 最小，即
\gamma-14.7+\gamma-2.7 = 0
于是
\gamma = \frac{14.7+2.7}{2} = 8.7
可見，當葉子中有多個樣本時，該葉子的輸出值就是所有樣本殘差的平均值。
(D) 更新模型，下次疊代中使用 m 棵樹來做預測：
F_m(x) = F_{m-1}(x) + \nu \sum_{j=1}^{J_m}\gamma_{jm}
上式中，$\nu$ 表示學習率。之後，訓練将重新來到 (A) 步驟，進入下一棵樹建構的循環中。
總結
本文我們一起學習了 GBDT 的回歸算法，一開始，通過一個簡單的例子描述了 GBDT 的原理，之後，我們對 GBDT 的每個步驟進行了逐一剖析，希望本文能給你帶來收獲。
參考：