低密度校驗碼（LDPC）
2.5 LDPC 在 5G-NR 中的标準進展
2.5.3 基本圖
在設計的過程中，5G LDPC 碼基本圖矩陣遵循了以下基本原則：
① Kernel 矩陣的行重接近于系統列數目，如 BG1 的前 4 行的行重都等于 kb−3，BG2 的前 4 行的行重都等于 kb−2；
② Kernel 矩陣的校驗部分類似于 IEEE 802.16 和 IEEE 802.11 協定中矩陣的校驗部分；
③ 前兩列的列重明顯大于其他列的列重；
④ 從總體上看，随着行索引的增加，矩陣行重逐漸增加，并且，随着列索 引的增加，矩陣列重逐漸增加；
⑤ 從 Kb+5 列到最後一列，矩陣的列重都是 1。
文獻 [41-43] 給出具有上述特征的 LDPC 的設計，具有這些特征的矩陣就 是Raptor-like矩陣結構的雛形。BG矩陣的設計可以采用比特填充法[41]。另外，可以用性能估計工具或者參數來選擇填充位置。性能估計工具可以是機率密度演進 算法和 EXIT 圖分析工具 [44]；性能參數可以是最小的漢明距離。另外，BG 矩陣的 設計還可以考慮規避短圈和減少陷阱集合。
LDPC 基礎矩陣的設計需要考慮性能和吞吐量。較小的基礎矩陣可以支援 更大的譯碼并行度，進而提高鍊路的吞吐量，達到峰值速率的要求。但是，較小矩陣中的元素數目有限，設計的自由度受到一定的限制，在性能方面的提高 和優化難度較大。相反地，較大的基礎矩陣有更多的元素，設計上的自由度更大，性能優化的潛力較大。但是，其譯碼并行度降低。在硬體複雜度一定的條件下，吞吐量不如較小的基礎矩陣，達到峰值速率要求的挑戰性較大。
基礎矩陣設計的第二個考量因素是矩陣的數目。較多的矩陣對性能的優化 有好處，但使得硬體成本增高，标準協定的複雜度提高；較少的矩陣可以降低 硬體成本、簡化标準協定，但性能上的優化難度較大。
第 3 個設計因素是，對于較長的碼塊，不需要過低的母碼碼率。首先，在系統對資源進行排程時，較長碼塊所對應的使用者的信道條件較好，适合高的速率傳輸，此時的碼率也較高；其次，較長碼塊如果采用很低的母碼碼率，其所需的硬體存儲量很大，譯碼實作的難度較大；最後，過低碼率的設計會使得基礎矩陣較大和譯碼算法的複雜度增加。
在綜合考慮以上的各個因素之後，3GPP 達成如下的共識 [32]。基礎矩陣 以緊湊型基本圖為設計基礎，支援兩個基本圖矩陣。第一個基本圖（BG1）矩陣較大，系統列數目 Kb 最大為 22，最低母碼碼率為 1/3， 核矩陣的碼率在 22/24 左右，支援的最大碼塊長度為 8448 bit；第二個基本圖（BG2）矩陣稍小， 系統列數目 Kb 最大為 10，最低母碼碼率為 1/5，核矩陣的碼率為 5/6，支援的最大碼塊長度為 3840 bit。盡管基本圖矩陣 1 的 Kb 值明顯大于基本圖矩陣 2 的 Kb 值，但由于基本圖矩陣 1 支援的最低母碼碼率明顯高于基本圖矩陣 2 的，是以兩個矩陣總的大小差别不大，相比許多其他候選基本圖矩陣，矩陣 1 和矩 陣 2 的緊湊特性還是十分明顯的。基本圖矩陣 1 和基本圖矩陣 2 的适用範圍如 圖2-42所示。其中，采用BG2進行LDPC編碼需要至少滿足以下3個條件之一：
① 傳輸塊不大于 292 bit；
② 傳輸塊的大小在 292 bit 到 3824 bit 之間，且首次傳輸的碼率不高于 2/3；
③ 傳輸塊首次傳輸的碼率不大于 1/4。
其他情況下都采用 BG1 編碼。
1. BG1
圖 2-43 表示了 BG1 的基本結構，一共有 46 行 68 列。頂部的 4 行 22 列 被稱為核心矩陣（Kernel Matrix），具有較高的行重（非 0 元素較多），對高 碼率時的性能影響較大。中間的 16 行為準正交的設計，即行與行之間存在一定的正交關系，但不很嚴格。下面的 26 行遵守嚴格的行正交設計。 這種設計綜合了性能和複雜度的雙重考慮：核心矩陣采用較高的行重，可 以保證高碼率時的性能。雖然 Kernel 矩陣中非零元素的密度較高，但由于 Kernel 矩陣的行數和列數都較少，其中，非零元素的數量也不多，是以整體的譯碼時延并不高。同時，因為 LDPC 矩陣的低碼率的擴充性，任何碼率的 LDPC 矩陣都會包含 Kernel 矩陣，是以 Kernel 矩陣對低碼率的性能影響也較大。
準正交的設計是指除了矩陣的最前面兩列的元素之外，其他元素都是分組 行正交的。所謂分組行正交是指矩陣中一部分的行是互相正交的。例如，BG1 的第 5 行至第 8 行為一組，該組内的三行是準正交，即該組内的三行除了前兩列的元素不正交外，各行的其他元素都是行正交的。再比如，BG1 的第 9 行至 第 11 行也是準正交的，但是任意兩組之間并不是準正交的。
準正交是一種兼顧了性能和吞吐量的設計。一個分組内的各行，隻有前兩列因為不正交的緣故， CNU 從存儲中讀寫資料時會發生位址沖突，因而不能并行譯碼，需要增加額外 的等待時間。各行的其他元素都不存在位址沖突的問題，可以并行譯碼。這樣可以大大地提高譯碼的速度，增大譯碼器的吞吐量。同時由于前兩列的非正交性，在矩陣設計上提供了一定的自由度，可以獲得相比于正交設計更好的性能。是以，準正交設計适用于 LDPC 中等碼率的矩陣。
正交設計是指矩陣的行是分組正交的。例如，從BG1 的第 21 行至最後一行，任意相 鄰的兩行之間都是行正交的。行正交可以提升 譯碼的速度，因為正交的兩行可以使得各自的 CNU 在讀寫存儲器分片的資料時都不會産生 位址沖突，不管采用行并行（Row Parallel） 或是塊并行（Block Parallel）的譯碼器結構， 都可以提高并行度。基本矩陣的低碼率部分采 用行正交的設計可以提高低碼率時的吞吐量。
行正交的意義是，降低行并行譯碼的複雜度，增加資料吞吐量。當然，行正交的特性也增加了基礎矩陣的設計限制，例如非零元素的數目、分布等。
基于圖 2-43 中的結構，經過大量的仿真和搜尋，以及對各個碼長和碼率 進行性能優化，3GPP 最終确定 BG1 的非零元素的具體位置（如圖 2-44 所示）。 其中的非零元素一共有 316 個，相對于整個矩陣（46×68 = 3128），BG 本身 就具有稀疏特性。
BG隻給出了基礎矩陣中非“-1”元素的位置，但并沒有給出具體的數值， 每一個具體的數值代表了用于對機關矩陣進行循環移位的提升值(LiftingSize) ， 具有這樣具體數字的矩陣被稱為基礎矩陣或基礎校驗矩陣。BG不能直接用于LDPC編譯碼， 而需要用基礎矩陣進行編譯碼。基礎矩陣設計可以通過計算機搜尋産生， 也可以從計算機随機産生的大量矩陣中篩選出短圈(ShortGirth) 數量較少和誘捕集(Trapping Set) 數量較少的矩陣， 并進行進一步的仿真驗證， 從仿真結果中盡量選擇差錯平層(Error Floor) 較低以及碼長和碼率的一緻性較好的矩陣作為确定的基礎矩陣。參與3GPP5G-NR标準制定的各家公司，經過激烈的商讨，最終确定了BG1和BG2分别對應的8個不同的基礎矩陣。表2-7給出了BG1及其對應的8個基礎校驗矩陣。
2.BG 2
圖2-45表示了BG2的基本結構，一共有42行52列。頂部的4行10列被稱為核心矩陣(Kernel Matrix) ， 具有較高的行重(非0元素較多)，對高碼率時的性能影響較大。最下面的22行是正交設計。與BG1不同的是，BG2的中間16行沒有采用類似BG1的準正交設計，即BG2的中間16行除了最前面兩列的元素外，剩餘的部分也不是分組行正交的。這樣的設計能夠使得中、低碼率的矩陣具有更好的性能。這對于擴充BG2的應用場景有較大的好處，比如未來可能将BG2應用于某些對可靠性要求較高的場景。
基于BG2的基本結構，經過大量的仿真和搜尋，對各個碼長和碼率進行性能優化，最終确定BG2非零元素的具體位置，如圖2-46所示。
表 2-8 給出了 BG2 及其對應的 8 個基礎校驗矩陣。