低密度校驗碼（LDPC）
2.2 LDPC 碼的基本原理
2.2.4 實用的解碼方法
機率域BP算法涉及大量乘法運算，運算量大，并且動态範圍大、數值穩定性不好。在實際應用中，通常使用對數域BP算法。對數域BP算法将使用下面對數似然比(LLR， Log-Likelihood Ratio) ：
對數域BP算法步驟：
（1）按照下面公式初始化LLR（qmn）
（2）檢驗節點更新，按照下面公式更新LLR（rmn）
其中：
（3）變量節點更新，按照下面公式更新LLR（qmn）
（4）按照下面公式更新LLR（qn）
在以上介紹的對數域BP譯碼算法中，φ（x）的計算對于整個譯碼過程比較關鍵，其具有如下性質：
2.2.5 性能的理論分析
LDPC碼的性能可以用理論分析。如果采用最大似然(Maximum-Likelihood) 的譯碼方法， LDPC碼的性能界能夠通過對碼字距離的分布進行分析和計算得出。但是LDPC碼的最大似然譯碼複雜度極高， 實際當中難以使用，一般是用機率方法譯碼，例如前幾節叙述的BP算法，是以性能的分析應該考慮BP譯碼的條件。機率方法譯碼的分析還能反映置信度随疊代次數的增加而發生的變化，對譯碼收斂情況提供了理論方面的指導。
需要指出的是，這裡的性能并不針對某一個給定的校驗矩陣，而是在d，和d， 給定下的全體碼字(Ensemble) 的平均性能。分析的方法是基于資訊傳送(Message Passing Algorithm) 的解碼算法。為了友善和簡化分析， 假設在所考慮的疊代次數内，因子圖展成的樹狀結構中不會出現“環”的結構。
Gallager在其論文中已經對規則(Regular) 的LDPC碼在二進制對稱信道(BSC， Binary Symmetric Channel) 的容量給出了解析表達式11-1.用pf”和p?表示在第1次疊代資訊比特為1和-1的機率，用qf”)和q?表示在第l次疊代時從校驗節點傳給變量節點關于資訊比特為1和-1的機率。用y，和P。分别表示變量節點和校驗節點的映射圖，可以得到1-2]
是以，
非規則 LDPC 性能分析的方法原理與規則 LDPC 的類似，但推導較為煩瑣， 這裡就不贅述。表 2-2 列舉了一些 1/2 碼率的非規則 LDPC 的比較好的（λ, ρ） 和高斯白噪聲的最大允許标準差。
根據香農容量定理，二進制 AWGN 信道在 1/2 碼率（QPSK 下達到 1 bit/ （s·Hz））條件下，信噪比（Eb/No）的極限值是 0.187 dB。而非規則的 LDPC 碼可以達到 Eb/No = 0.2485 dB 的水準，離極限值僅有 0.06 dB。根據表 2-2 中的自由度分布設計相應的 LDPC 碼，其碼長為 106 bit。仿真結果表明，在誤 碼率為 10−6 的水準，Eb/No 可低達 0.31 dB，離香農極限隻有 0.13 dB。這也證 明了以上性能的分析方法是有效和準确的。