華章數學譯叢 點選檢視第一章 點選檢視第二章 點選檢視第三章
實 分 析（原書第4版）
Real Analysis，Fourth Edition
[美] H. L. 羅伊登（H. L. Royden）
P. M. 菲茨帕特裡克（P. M. Fitzpatrick） 著
葉培新 李雪華 譯
機械工業出版社China Machine Press
第0章 集合、映射與關系的預備知識
在預備知識中，我們描述一些本書始終會用到的集合、映射與關系的概念，給出的論據傾向于合理與易了解，而非基于集合論公理的嚴格證明.在稱為關于集合的Zermelo-Frankel公理系統之上，可以正式地建立集合、關系以及函數的性質.有興趣的讀者可以查閱John Kelley的書《General Topology》［Kel75］、Paul Halmos的書《Nave Set Theory》［Hal98］以及Thomas Jech的書《Set Theory》［Jec06］的引言與附錄.
0.1 集合的并與交
對于集合A，元素x是A的成員關系記為x∈A，而x不是A的成員關系記為x∉A.我們常說A的一個成員屬于A且稱A的成員是A中的一個點.通常集合用花括号表示，是以{x關于x的陳述}是使得關于x的陳述成立的所有元素x的集合.
若兩個集合有相同的成員，我們說它們相同.令A和B為集合.若A的每個成員也是B的成員，我們稱A為B的子集，記之為A
B，也說A包含于B或B包含A.B的子集A稱為B的真子集，若A≠B.A和B的并，記為A∪B，是所有或者屬于A或者屬于B的點的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.這裡“或”這個詞在非互斥的意義下使用，是以同時屬于A和B的點屬于A∪B.A和B的交，記為A∩B，是所有同時屬于A和B的點的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.A在B中的補，記為B~A，是B中那些不在A中的點的集合，即B~A={x∈B且x∉A}.若在特别的讨論中所有的集合是參考集X的子集，我們常簡單地稱X~A為A的補.
沒有任何成員的集合稱為空集，記為∅.不等于空集的集合稱為非空的.我們稱隻有一個成員的集合為單點集.給定集合X，X的所有子集的集合記為P（X）或2^X，稱之為X的幂集.
為了避免考慮集合的集合時可能産生混淆,我們常用詞“族”或“簇”作為“集”的同義詞.令F為集族.F的并，記為
，定義為屬于F中的至少一個集合的點的集合.F的交，記為
，定義為屬于F中的每個集合的點的集合.若集族F中的任何兩個集合的交是空的，集族F稱為是不交的.對于集族F，通過檢驗集合的包含關系可得到以下等式.
De Morgan等式
即并的補是補的交，且交的補是補的并.
對于集合Λ，假定對每個λ∈Λ，存在已定義的Eλ.令F為集族{Eλ|λ∈Λ}.我們寫作F={Eλ}λ∈Λ且稱之為F的用名額集（或參數集）Λ标記的名額（或參數化）.
0.2 集合間的映射
給定兩個集合A和B，從A到B的映射或函數意味着對A的每個成員指派B的一個成員給它.在B是實數集的情形下，我們總是用“函數”這個詞.一般我們記這樣的映射為f：A→B，而對A的每個成員x，我們記f（x）為B中指派給x的成員.對于A的子集A′，我們定義f（A′）={b|b=f（a），a為A′的某個成員}：f（A′）稱為A′在f下的象.我們稱集合A為函數f的定義域，而稱f（A）為f的象或值域.若f（A）=B，函數f稱為是映上的.若對f（A）的每個成員b恰有A的一個成員a使得b=f（a），函數f稱為是一對一的.既是一對一又是映上的映射f：A→B稱為是可逆的，我們說該映射建立了集合A與B之間的一一對應.給定一個可逆映射f：A→B，對B中的每個點b，恰好存在A中的一個成員a使得f（a）=b，它被記為f-1（b）.這個指派定義了映射f^-1：B→A，稱之為f的逆.兩個集合A和B稱為是對等的，若存在從A映到B的可逆映射.從集合論的觀點看，對等的兩個集合是不可區分的.
給定兩個映射f：A→B和g：C→D使得f（A）
C，則複合gºf：A→D定義為對每個x∈A，［gºf］(x)=g（f（x））.不難看出可逆映射的複合是可逆的.對于集合D，定義恒等映射idD：D→D為對所有x∈D，idD（x）=x.映射f：A→B是可逆的，當且僅當存在映射g：B→A使得
即便映射f：A→B不是可逆的，對于集合E，我們定義f^-1（E）為集合{a∈A|f(a)∈E}，稱之為E在f下的原象.我們有下面有用的性質：對于任何兩個集合E1和E2，
與
最後，對于映射f：A→B和它的定義域A的一個子集A′，f在A′上的限制，記為f|A′，是從A′到B的映射，它将f（x）指派給每個x∈A′.
0.3 等價關系、選擇公理以及Zorn引理
給定兩個非空集A和B，A和B的笛卡兒積，記為A×B，定義為所有有序對（a，b）的族，其中a∈A而b∈B，且我們考慮（a，b）=（a′，b′）當且僅當a=a′且b=b′.對于非空集合X，我們稱X×X的子集R為X上的一個關系，且寫作xRx′，若（x，x′）屬于R.關系R稱為自反的，若對所有x∈X有xRx；關系R稱為對稱的，若x′Rx則xRx′；關系R稱為傳遞的，若xRx′且x′Rx″則xRx″.
定義 集合X上的關系R稱為等價關系，若它是自反的、對稱的和傳遞的.給定集合X上的等價關系R，對每個x∈X，集合Rx={x′x′∈X，xRx′}稱為x（關于R）的等價類.等價類族記為X/R.例如，給定集合X，對等關系是X的所有子集組成的族2X上的等價關系.一個集合關于對等關系的等價類稱為該集合的勢.
令R為集合X上的等價關系.由于R是對稱的和傳遞的，Rx=Rx′當且僅當xRx′，是以等價類族是不交的.由于關系R是自反的，X是等價類的并.是以X/R是X的非空子集的不交族，其并是X.反過來，給定X的非空子集的不交族F，其并是X，屬于F中的同一個集的關系是X上使得F=X/R的等價關系R.
給定集合X上的等價關系，常常有必要選取X的子集C，它恰好由每個等價類的一個成員組成.這樣的集合的存在是否顯而易見？Ernst Zermelo喚起了人們對從集族中選取元素這一問題的注意.比方說，我們定義兩個實數為有理等價，若它們的差是一個有理數.容易檢驗這是實數集上的一個等價關系，但不易确認一個實數集恰好由每個有理等價類的一個成員組成.
定義 令F為非空集的非空簇.F上的一個選擇函數f是從F到
的函數，它具有以下性質：對F中的每個集合F，f（F）是F的一個成員.
Zermelo選擇公理 令F為非空集的非空族，則F上存在選擇函數.非常粗略地說，非空簇上的選擇函數從該簇的每個集合“選取”一個成員.我們已采用非正式的、描述性的方法引入集合論，相應地我們将自由地、毫不費力地應用選擇公理.
定義 非空集合X上的關系R稱為偏序,若它是自反的、傳遞的，且對X中的x，x′若xRx′且x′Rx， 則x=x′
X的子集E稱為是全序的，若對E中的x，x′，或者xRx′或者x′Rx.X的成員x稱為是X的子集E的一個上界，若對所有x′∈E，x′Rx；而稱之為最大的，若X中使得x′Rx的唯一成員是x′=x.
對于集簇F和A，B∈F，定義ARB，若A
B.集合的被包含關系是F的偏序.觀察到F中的集合F是F的子簇F′的一個上界，若F′中的每個集合是F的子集；而F中的集合F是最大的,若它不是F中任何集合的真子集.類似地，給定集簇F和A，B∈F，定義ARB，若B
A.集合的包含關系是F的偏序.觀察到F中的集合F是F的子簇F′的一個上界,若F′的每個集合包含F；而F中的集合F是最大的,若它不真包含F中的任何集合.
Zorn引理 令X為偏序集.它的每個全序子集有一個上界.則X有一個最大元.
我們将用Zorn引理證明一些重要的結果，包括Hahn-Banach定理、Tychonoff乘積定理、Krein-Milman定理.Zorn引理等價于Zermelo選擇公理.該等價性和相關等價關系的證明，見Kelley［Kel75］，pp.31-36.
我們已定義了兩個集合的笛卡兒積.對一般的參數化集族定義笛卡兒積是有用的.對于由集合Λ參數化的集族{Eλ}λ∈Λ的笛卡兒積，記為
，定義為從Λ到
使得對每個λ∈Λ，f（λ）屬于Eλ的函數f的集合.顯然選擇公理等價于非空集的非空簇的笛卡兒積是非空的這一斷言.注意到笛卡兒積是對參數化的集簇定義的，而相同的簇的兩個不同的參數化将有不同的笛卡兒積.笛卡兒積的這個一般定義與對兩個集合給出的定義一緻.事實上，考慮兩個非空集A和B.定義Λ={λ1，λ2}，其中λ1≠λ2，接着定義Eλ1=A與Eλ2=B.該映射将有序對（f（λ1），f（λ2））指派給函數f∈
是一個将笛卡兒積
映到有序對族A×B的可逆映射，是以這兩個集合是對等的.對于兩個集合E和Λ，對所有λ∈Λ定義Eλ=E，則笛卡兒積∏λ∈ΛEλ等于由所有從Λ到E的映射組成的集合且記為E^Λ.