第2章
元件互連
本章主要内容
●元件互連簡介
●元件互連中的阻抗比對
●阻抗比對的方法
●最大功率傳輸
●最高效率的功率傳輸
●信号傳輸中的反射預防
●負載效應的降低
●機械系統中的阻抗比對
2.1 引言
工程系統通常由各種互連的元件構成以實作預期的功能。當兩個元件互連時，信号（和能量）将在它們之間流動，并且當兩個元件互相作用（即動态耦合）時，它們之間的信号（響應）将随着時間而變化，這取決于兩個元件的動态特性。當兩個裝置互連時，必須保證由改變系統動态條件所引起的變化不會産生不可接受的性能。很顯然，對于工程系統的儀器儀表來說，考慮連接配接元件之間的元件互連和接口設計是十分重要的。
2.1.1 元件互連概述
工程系統通常是多域（混合）系統，由多種類型的元件互連組成。機電一體化系統尤其如此，該系統在設計和開發過程中采用了內建的并行最優化設計方法。通常，将機械（包括流體和熱）、電氣、電子和計算機硬體內建起來構成實際應用。當元件互連時，由于內建系統中各個元件的運作狀态可能與每個元件獨立運作時的狀态有顯著的不同，是以，元件互連是工程系統的設計和儀表化（和整體開發）過程中需要重點考慮的因素。
互連元件接口處的信号性質和類型取決于元件的性質和類型。比如，當電動機通過齒輪（變速器）單元與負載耦合時，機械能在這些元件的接口處流動。在這種情況下，傳輸的能量是相同形式的（機械的），并且我們會特别關注角速度和轉矩的相關信号。類似地，當電動機連接配接到其電子驅動系統（例如，電子驅動電路根據電動機的類型不同連接配接到定子、轉子或兩者都有的直流電動機上）時，将驅動電路的電能轉換成轉子的機械能。它們的接口可以由機電變壓器表示，如圖2-1所示。一方面，我們将電壓和電流轉化為功率信号，另一方面，我們将角速度和轉矩轉化為功率信号。注意：在這兩個例子中，雙方都會有能量損失（浪費），是以能量轉換的效率不會是100%。
通常，當兩個元件互連時，它們之間将發生動态互動（動态耦合）。是以，目前任意元件的狀态将與連接配接之前不同。很明顯，為了使系統可以以期望的方式運作，互相連接配接的元件應該合理比對。例如，由于在電動機及其電子驅動系統這個例子中，效率最大化是其追求的主要目标，是以，兩個元件之間的動态互動将是非常重要的。相比之下，對于傳感器和被測對象，重要的是傳感器不會改變被測對象的動态條件（即傳感器對被測對象的負載可以忽略不計。例如，對于運動傳感器，電力負載和機械負載均應忽略不計）。換句話說，在保證傳感器準确測量所需量時，傳感器和被測對象之間的動态互動應該是可忽略不計的。
元件接口在互連系統的正常運作中起着很重要的作用。特别是接口必須根據互連系統的具體功能進行設計、開發或選擇。在多元件系統中為了提高系統的性能和準确性，應仔細進行元件比對。在這種情況下，基于系統的功能目标，對阻抗的考慮是十分重要的，因為為了實作互連系統的最佳性能，對阻抗進行比對是很有必要的。
以下是與元件互連有關的注意事項：
1.互連元件的特征，例如，元件領域（機械、電氣/電子、熱），元件類型（執行器、傳感器、驅動電路、控制器、安裝或外殼）。
2.互連系統的目的（例如，驅動負載、測量信号、傳遞資訊、最小化噪聲和幹擾——特别是機械沖擊和振動）。
3.系統運作時信号/功率的電平/能級。
2.1.2 本章内容
本章介紹工程系統中如傳感器、資料采集（DAQ）硬體、信号調理電路、執行器、能量轉換裝置和安裝機械結構等元件互連，研究阻抗群組件比對的基本概念。基于某些目的和應用，讨論互連元件的期望阻抗特性，提出阻抗比對的幾種方法，并給出其應用。最後解決電氣和機械裝置中的阻抗比對問題。附錄D概述了多組分系統的可靠性和相關的機率模型。
在某些情況下，這裡提出的讨論和研究可能還很籠統。然而，這裡介紹的概念适用于工程系統（多域）中許多類型的元件。
2.2 阻抗
2.2.1 阻抗的定義
在傳統電學意義上阻抗可以被解釋為“廣義電阻”。阻抗也可以在機械或者其他領域（例如，流體、熱）進行解釋，這取決于所涉及信号的類型。例如，電壓表可以改變電路中的電流（和電壓），并且考慮交流電路時，這涉及更一般的電阻抗。考慮直流電路時，它表示電阻。再舉另一個例子，較重的加速度計将引入額外的動力學（機械）負載，其将改變監測位置處的實際加速度，這涉及機械阻抗。第三個例子是，熱電偶的結點可以改變熱傳遞到結點中的被測量的溫度，這涉及熱阻抗。類似地，我們可以定義流體系統、磁系統（磁阻）的阻抗等。一般來說，阻抗定義為：
跨接變量在元件兩端（端口）之間進行測量，通過變量是通過元件而不發生改變的量。跨接變量有電壓、速度、溫度和壓力。通過變量有電流、力、熱傳遞速率和流體流速。電阻抗定義為電壓/電流，這與式（2-1）一緻。機械阻抗曆來都定義為力/速度，這是式（2-1）的倒數。在我們的分析中，定義為速度/力的導納是一般意義上的阻抗（即廣義阻抗）。
2.2.2 在元件互連中阻抗比對的重要性
當兩個電氣元件互連時，電流（和能量）在兩個元件之間流動并改變初始（未連接配接時的）條件。這稱為（電）負載效應，這種效應必須最小化。在實際情況下，信号通信、調理、顯示等需要足夠的能量和電流才能進行。儀器的這種要求可以通過元件阻抗的适當比對來實作。一般來說，當傳感器、換能器、電源、控制硬體、資料采集（DAQ）闆、過程（即裝置）裝備、信号調理硬體和電纜等元件互連時，必須在每個接口處正确地比對阻抗以實作它們的額定性能水準。這種比對應該根據互連系統的目标進行。以下給出了幾類阻抗比對：
1.用于最大功率傳輸的電源和負載比對：在驅動系統中，最重要的目标是使從電源傳遞到執行器或負載的功率最大化。在這種情況下，互連元件之間的動态互動将變得十分重要。合适的阻抗比對可以實作最大功率傳輸要求。
2.用于效率最高的功率傳輸：在功率傳輸中實作最高效率不同于實作最大功率，因為在最大功率傳輸中不能實作最高效率。可以适當選擇負載阻抗以實作高效率。
3.信号傳輸中的反射預防：當兩個元件通過具有特性阻抗（例如，50Ω或75Ω的同軸電纜）的電纜（如同軸電纜）進行連接配接時，由于電纜兩端的阻抗差異（來源于所連接配接元件的阻抗），将會有信号反射（類似于由兩個媒體的密度差異而形成的彈性波反射）。反射信号（回波）将會有額外的功率消耗，導緻信号強度下降和信号失真，所有這些都是不希望出現的。必須比對電纜的端部阻抗和特性阻抗才能避免信号反射。
4.負載效應的降低：在某些應用中，當兩個元件互連時，要求輸出元件不加載輸入元件。例如，在傳感過程中，傳感器不應該改變被測對象的狀态。換句話說，測量儀器不應扭曲被測量的信号。很簡單，即傳感器不應該“加載”被測對象。另一示例是，在傳感器的信号采集系統中，信号采集硬體不應該扭曲從傳感器處獲得的信号（即可能具有濾波和放大功能的信号采集系統不應該加載這個傳感器）。第三個例子是，在穩壓電源中連接配接到電源的負載不應該顯著改變電源的輸出電壓。可以通過選擇阻抗來減小負載效應。在這種情況下，阻抗比對稱為阻抗橋或電壓橋。需要阻抗變換器才能實作适當的阻抗比對以減小負載效應。
不合适阻抗的一個不利影響是輸出信号電平不足，這将會使信号處理和傳輸、元件驅動群組件或裝置的最終控制驅動等功能變差。在傳感器換能器技術中，應該注意的是，許多類型的換能器（例如，壓電加速度計、阻抗探頭和傳聲器）具有高達1000MΩ（兆歐姆，1MΩ=1×106Ω）的輸出阻抗。這些裝置産生較低的輸出信号，它們需要調理才能提高信号電平。使用具有高輸入阻抗和低輸出阻抗（幾歐姆）的阻抗比對放大器（或阻抗變換器）或阻抗橋裝置就是為了這個目的（例如，電荷放大器與壓電傳感器結合使用）。具有高輸入阻抗的裝置還有一個優點是，對于給定的輸入電壓，特别是和與其連接配接的輸入裝置相比，消耗更少的功率（即v2/R比較低），此外，功率傳輸也将以更高的效率進行。具有低輸入阻抗的輸出裝置從輸入裝置擷取高電平的現象也可以解釋為輸入裝置出現了負載誤差。在這種情況下，兩個互連裝置（輸入裝置和輸出裝置）之間将存在顯著的動态互動。
2.3 阻抗比對的方法
在儀表化的過程中，元件互連是為了達到某些特定目的而進行的。連接配接元件的阻抗應該比對，以提高系統在這些功能目标（目标）方面的性能。我們現在考慮一下阻抗比對的目标：
●從電源到負載實作最大功率傳輸
●在效率最高時實作功率傳輸
●減小負載效應
2.3.1 最大功率傳輸
一些應用的目的是從電源處擷取最大功率。電源内部阻抗Zs必須與負載阻抗Zl相比對，以便最大化負載功率。如果互連系統中有除了電源和負載之外的其他元件，那麼我們可以簡單地使用相同的方法将其作為電源阻抗，即不包括負載的戴維南電路等效阻抗。首先可以通過使用純電阻（DC）示例來展現該方法。
例2.1
假設直流電源電壓為vs，内部（輸出）阻抗（電阻）為Rs。它為負載或電阻Rl供電，如圖2-2所示。如果這個電路的目标是最大化負載所吸收的功率，那麼Rs和Rl之間的關系應該是什麼？
解：通過電路的電流為
是以，負載上的電壓是：
負載吸收的功率為：
為了獲得最大功率，需要
将式（i）的右邊表達式對Rl求導，并使結果等于0，以滿足式（ii）。這就得出了對最大功率的要求：Rl=Rs是以，最大功率傳輸要求是負載電阻必須等于電源端電阻。
從例2.1中獲得的結果可以容易地擴充到一般情況，既有電阻又有電抗（電抗由電感和電容引起）的交流電路。這種情況如圖2-3所示，其中vs是電源電壓，Zs是電源阻抗，Zl是負載阻抗。如果有電源和負載之外的元件，那麼它們可以內建到電源中。是以Zl代表那些元件（不包括負載）的等效戴維南阻抗。如果這些元件也有源，則vs表示戴維南等效電路的等效電源電壓。
在交流電路中，實體量具有幅值和相位角，在數學上它們用複數（實部和虛部）表示。使用它們的幅值可知，流過電路的電流大小為
。
負載吸收的功率是電阻功率，由下式給出:
其中，“rms”表示有效值（對于正弦信号，它是振幅的
）；R是阻抗的實部；X是阻抗的虛部。
從這個式子的最後一項中可以看出，功率最大化的一個要求是分母中電抗的貢獻應最小（即為零，因為這裡是平方）。是以，我們需要Xl=－Xs（2-2a）一旦滿足這個條件，先前給出的負載功率表達式就與純電阻表達式相同，然後可參見例2.1的解決方法。是以，對于負載功率最大化，我們也需要Rl=Rs(2-2b）通過組合式（2-2a）和式（2-2b），可以看出，最大化負載功率的總體要求是負載阻抗必須是電源阻抗的複共轭：Z1=Z*s(2-2）這稱為“共轭比對”。通過将式（2-2）的阻抗比對要求代入負載功率表達式，将得到最大功率：
2.3.2 效率最高的功率傳輸
由負載吸收的功率效率由總功率的吸收功率的分數形式給出：
可以看出，當負載電阻為最大值（或負載阻抗為最大值）時，效率最高。為提高負載功率吸收效率，必須提高負載效率。理論上，當負載阻抗為無限大時，我們可以獲得100％的效率。
顯然，最高效率完全不同于最大功率［見式(2-2)］。事實上，通過将式（2-2b）代入式（2-3），我們看到在最大功率時效率為50％。這确實是效率相當差的一個條件。
2.3.3 信号傳輸中的反射預防
當阻抗突然變化時，信号的一部分将會反射回來。反射系數Γ由反射信号電壓vr與入射信号電壓vi的比值給出：
如果通過阻抗Zc傳輸的信号突然遇到終端阻抗Zl，那麼相應的反射系數為
反射信号會導緻信号惡化（幅值、相位角）和耗散（功率損耗），兩者都是不期望的。是以，在理想情況下，我們希望Γ=0。
考慮将一個内部阻抗為Zs的電源通過特征阻抗為Zc（如50Ω）的電纜與阻抗為Zl的負載相連，如圖2-4所示。
為了避免終端（負載和電源）信号反射，我們必須具有阻抗比對條件：Zs=Zc=Zl（2-7）如果未進行阻抗比對，則可以通過接地阻抗（或阻抗比對墊）來實作。如圖2-5所示。在這個例子中，假設Zs≠Zc，則必須放置接地阻抗Zg來滿足以下條件：
這樣，在電源端提供了Zc的等效比對阻抗。
在短電纜中，反射信号非常快速地傳播到終端并快速衰減。是以，在短電纜中信号反射不重要。信号反射原理可以用于實際應用中。例如，由于電纜損壞會導緻阻抗突然變化，是以在損壞位置處将出現信号反射。通過确定電壓脈沖被反射回電源所需的時間，就可以确定電源到損壞位置的距離。這是反射計的原理，它用于檢測電纜的損壞。
信号反射不限于金屬電纜（銅、鋁等）。例如，信号反射會出現在光纖和傳輸媒體中遇到聲阻抗變化的聲信号中。
2.3.4 負載效應的降低
不合适阻抗的不利影響是負載效應，它可使信号失真。其所産生的誤差可能遠遠超過其他類型的誤差，如測量誤差、傳感器誤差、噪聲和輸入幹擾。負載在任何實體域中都存在，如電氣和機械。測量裝置等輸出單元或具有低輸入阻抗的信号采集硬體将會導緻電負載誤差，其中硬體的輸入裝置（如信号源或具有低到中等阻抗的傳感器）具有低輸入阻抗。機械負載誤差由輸入裝置（例如，執行器）導緻，這是由于慣性、摩擦力和其連接配接的輸出元件（例如，齒輪傳動裝置、機械負載）而産生的其他阻力引起的。
在工程系統中，負載誤差也可能表現為相位失真。數字硬體也可能産生負載誤差。例如，資料采集（DAQ）闆中的模數轉換器從應變片電橋電路加載放大器的輸出，進而影響資料數字化（參見第4章）。
2.3.4.1 裝置的級聯連接配接
為了獲得負載失真的模型和減小負載效應的方法，我們現在考慮二端口電氣裝置的級聯連接配接。二端口電氣裝置如圖2-6a所示。圖中特别顯示了裝置的輸入阻抗Zi和輸出阻抗Zo。它們會在下文中定義。
輸入阻抗：輸入阻抗Zi定義為當輸出端保持開路時，額定輸入電壓與流過輸入端電流的比值。
輸出阻抗：輸出阻抗Zo定義為輸出端處的開路電壓（無負載）與輸出端的短路電流的比值。當輸出端沒有電流流過時，輸出端的開路電壓為輸出電壓。如果輸出端沒有連接配接負載（阻抗），那麼就是這種情況。一旦在輸出端接了負載，電流就會流過該負載，那麼輸出電壓将下降并小于開路電壓。為了測量開路電壓，在輸入端施加額定輸入電壓并保持恒定，并且輸出電壓使用具有高（輸入）阻抗的電壓表進行測量。為了測量短路電流，輸出端連接配接了阻抗非常低的電流表。
這些定義是根據電氣裝置給出的。然而，如前所述，若将電壓和速度解釋為“跨接變量”，電流和力解釋為“通過變量”，可以将上述概念推廣到機械裝置中。然後在相關分析中，應使用機械導納代替電阻抗。對于其他實體域也可以進行類似的泛化。
可以看出，圖2-6a所示的輸入阻抗Zi和輸出阻抗Zo與前面給出的定義一緻。請注意，vo是開路輸出電壓。當負載連接配接至輸出端時，負載兩端的電壓不同于vo。這是由于流過Zo的電流而引起的。在頻域中，vi和vo由它們各自的傅裡葉譜（具有實部和虛部或幅值和相位的複數形式）表示。相應的傳遞關系可以用開路（無負載）條件下的複頻率響應（轉移）函數G(jω)表示：vo=Gvi（2-9）接下來，考慮兩個級聯在一起的裝置，如圖2-6b所示。可以很容易證明以下關系：
這些關系可以結合起來，給出總體的輸入輸出關系：
從這個結果我們觀察到，整體頻率傳遞函數與理想預期乘積(G2G1)的因子不同：
從該式可以看出，級聯已經使兩個裝置的頻率響應特性失真，這意味着有負載誤差。當Zo1/Zi2<<1時，負載誤差會變得無關緊要。可以得出結論，當兩個元件互連（級聯）時，為了減小負載誤差，二級裝置（輸出裝置）的輸入阻抗應該遠大于一級裝置（輸入裝置）的輸出阻抗。
例2.2
用作補償控制系統的滞後網絡如圖2-7a所示。證明其傳遞函數由vo/vi=Z2/(R1+Z2)給出，其中Z2=R2+(1/Cs)，那麼該電路的輸入和輸出阻抗是多少？
此外，如果兩個這樣的滞後電路組成圖2-7b所示的級聯電路，那麼總的傳遞函數是什麼？你如何将這個傳遞函數逼近理想結果［Z2/(R1+Z2)］^2？
解：為了解決這個問題，首先要注意的是，在圖2-7a中，R2+(1/Cs)的壓降是：
是以，
現在，通過使用輸入電流i=vi/(R1+Z2)導出輸入阻抗Zi，進而有
通過使用短路電流isc=vi/R1導出輸出阻抗Zo，進而有
接下來，考慮圖2-7c所示的等效電路。由于Z是通過Z2和(R1+Z2)并聯而形成的，進而有
Z兩端的壓降為
現在，将單電路子產品得到的結果式（i）應用到圖2-7b所示的第二個電路部分。我們得到vo=［Z2/(R1+Z2)］v′o。将其代入式（v）中，得到vo=［Z2/(R1+Z2)］［Z/(R1+Z)］vi。則級聯電路的整體傳遞函數為
現在，将式（iv）中的1/Z代入，我們得到：
我們觀察得到，通過使R1Z2/(R1+Z2)2盡可能小于1就會接近理想傳遞函數。
2.3.4.2 通過阻抗比對降低負載效應
從前面的分析可以看出，為了減少負載誤差，與傳感器換能器單元的輸出阻抗相比，信号調理電路應該具有相當大的輸入阻抗。該問題在具有非常高輸出阻抗的壓電傳感器等裝置中是非常關鍵的。在這種情況下，信号調理單元的輸入阻抗可能不足以降低負載效應。此外，這些高阻抗傳感器的輸出信号電平對于信号傳輸、處理、驅動和控制來說也相當低。該問題的解決方案是在第一級硬體輸出單元（例如，傳感器）和第二級硬體輸入單元（例如，DAQ單元）之間引入幾級放大器電路。這種接口裝置的第一級通常是具有高輸入阻抗、低輸出阻抗和機關增益的阻抗比對放大器（或阻抗變換器）。這稱為“阻抗電橋”。最後一級通常是穩定的高增益放大器級，以提高信号電平。實際上，阻抗比對放大器是具有回報功能的運算放大器。
綜上所述，我們得出如下結論：
1.當将裝置連接配接到信号源時，可以通過確定裝置具有高輸入阻抗來減少負載問題。不幸的是，這也将降低裝置從信号源處接收到的信号電平（幅值、功率）。這就需要對信号進行放大，同時應在輸出端保持所需的阻抗大小。
2.如我們在介紹信号反射處所指出的那樣，高阻抗裝置會反射源信号的一些諧波。如上所述，終端電阻（阻抗墊）可以與裝置并聯以減少信号反射。在許多資料采集（DAQ）系統中，輸出放大器的輸出阻抗等于傳輸線阻抗（特性阻抗）。
3.當最大功率需要放大時，推薦使用共轭比對。在這種情況下，比對放大器的輸入和輸出阻抗分别等于源和負載阻抗的複共轭。
2.3.5 機械系統中的阻抗比對
阻抗比對的概念可以直接擴充到機械系統和混合系統（例如，機電系統或機電一體化系統）中。這個過程可以與我們熟悉的機電系統進行類比。兩個具體應用是：沖擊和振動隔離，傳動系統（齒輪）。下面将對這兩個應用進行讨論。
振動隔離
在機械系統中元件互連的一個很好例子是振動隔離。工程系統（如精密儀器、計算機硬體、機床和車輛）的正常運作都會受到沖擊和振動的阻礙。振動隔離的目的是将裝置從不良振動和沖擊擾動的環境（包括支撐結構或道路）中“隔離”開來。這是通過在它們之間連接配接隔振器或減振器來實作的。
力隔離和運動隔離
外部擾動可以以力或運動輸入的形式到達系統，根據這一點，隔離器的設計将适用于力隔離（與力傳遞性相關）或運動隔離（與運動傳遞性相關）。幸運的是，在這兩種情況下，隔離器的設計非常相似。
在力隔離情況下，通常隔離器通過其柔性部分（彈簧）和耗散部分（阻尼）将從振動源直接傳遞到支撐結構（隔離系統）的振動力過濾掉，這使得部分力通過慣性路徑傳遞。在運動隔離中，通過移動平台施加到系統（如車輛）的振動運動可由隔離器通過其柔性部分和耗散部分吸收，使得傳遞到系統的運動被削弱。在這兩種情況下，設計問題都是為隔離器選擇适當的參數，以使進入感興趣系統的振動低于感興趣頻段（工作頻率範圍）的規定值。這種設計問題在本質上是“機械阻抗比對”問題，因為隔離器的阻抗參數（機械）是根據隔離器的阻抗參數來選擇的。
注意：如前所述，廣義阻抗（跨接變量/通過變量）對應于機械移動性，一般稱之為機械阻抗的倒數。
力隔離和運動隔離如圖2-8所示。在圖2-8a中，振源的振動力為f(t)。鑒于隔離器的存在，是以振源（機械阻抗為Zm）與隔離器（機械阻抗為Zs）以相同的速度移動。由于它們以并聯方式連接配接，是以，力f(t)被分散，這使得其一部分由Zm的慣性路徑（虛線）吸收，餘下的部分(fs)通過Zs傳遞到作為隔離系統的支撐結構。力的傳遞關系是
在圖2-8b中，振源的振動運動v(t)通過隔離器（機械阻抗為Zs，導納為Ms）加載到隔離系統（機械阻抗為Zm，導納為Mm）。假設所産生的力直接從隔離器傳輸到隔離系統，那麼這兩個單元串聯連接配接。是以，運動傳遞性為
值得注意的是，根據這兩個模型，我們有Tf=Tm=T（2-13）結論是，通常這兩種類型的隔離器可以使用共同的傳遞函數T并以相同的方式進行設計。
力隔離和運動隔離的簡單示例如圖2-8c、d所示。首先，我們從圖2-8c中獲得了系統的傳遞（力傳遞）函數。然後，根據式（2-13）可知，圖2-8d中系統的運動傳遞性等于相同的表達式。首先，考慮圖2-8c中的力傳遞問題，這在圖2-8e中再次表現出來。它可以代表機床及其支撐結構的簡化模型。
顯然，m、b和f是并聯的，因為它們之間具有共同的速度v，是以，其機械阻抗電路如圖2-8f所示。在這個電路中，基本的阻抗分别為：品質（m）的阻抗為Zm=mjω，彈簧（k）的阻抗為Zk=k/jω，黏性阻尼器（b）的阻抗為Zb=b（見表2-1）。将各阻抗代入力傳遞表達式（其通過使用圖2-9所示的互連定律和圖2-8f中的電路獲得）：
我們可以得到
這個表達式是通過将分子和分母同時除以m得到的。現在，使用k/m=ω2n和b/m=2ζωn（或系統的無阻尼固有頻率
和系統的阻尼比
），然後同除ω2n［見式（2-14a）］。我們得到
其中無量綱激勵頻率定義為r=ω/ωn。
傳遞函數具有相位角和幅值。在振動隔離的實際應用中，相比于振動激勵與響應之間的相位差，振動激勵的衰減水準是最重要的。是以，我們使用傳遞率幅值
要确定|Tf|的峰值點，應對式（2-15a）中平方根裡面的表達式求微分并且令其等于零：
是以，4r{［(1－r2)2+2ζ2r2］2ζ2+(1+4ζ2r2)［(1－r2)2－2ζ2］}=0。将該式化簡為r(2ζ2r4+r2-1)=0，其根是r=0和
根r=0對應于初始穩定點（零頻率）。這并不代表一個峰值。隻取r2的正根，然後取其正平方根，傳遞函數的峰值點由下式給出：
對于ζ，由泰勒公式展開可得
。式（ii）近似等于1。是以對于小阻尼，傳遞率幅值将在r=1處有峰值，并且從式（2-15a）可得，其值為|Tf|≈
或
圖2-10a所示為ζ=0、0.3、0.7、1.0和2.0時，Tf對應于r的5條曲線。這些曲線是使用精确式（2-15a）得到的，可以使用以下MATLAB程式生成：
從圖2-10a的傳遞率曲線可以看出：
1.總有一個非零的頻率值使傳遞率幅值達到峰值。這就是諧振點。
2.對于較小的ζ，大約在r=1處達到傳遞率幅值的峰值。随着ζ增加，峰值點向左移動（即峰值頻率的較低值）。
3.峰值随ζ的增加而減小。
4.所有傳遞率曲線通過幅值1.0時，頻率都是r=
5.隔離區域（即Tf<1）由r>
給出。在這個區域，Tf随ζ的增加而增加。
6.在隔離區域中，随着r增加，傳遞率幅值會減小。
在兩種特殊情況下，從傳遞率曲線中可以看出以下特點：
對于所有ζ，當r>
時，Tf<1.05。
對于r>(1.73,1.964,2.871,3.77,7.075)，當Tf<0.5時，分别有ζ=0.0,0.3,0.7,1.0,2.0。
接下來，假設圖2-8e所示的裝置具有的主要無阻尼固有頻率為6Hz，阻尼比為0.2。假設為了正常運作，要求系統在大于12Hz的工作頻率值實作小于0.5的傳遞率幅值。我們需要
對于ζ=0.2和r=12/6=2，該表達式為24－2×22－12×0.22×22－3=3.08>0。
是以，可知滿足要求。實際上，對于r=2，表達式為24-2×22-12×22ζ2-3=5-48ζ2，是以滿足要求需要。如果不滿足要求（如ζ=0.4），則應選擇減少阻尼。
在隔振器的設計問題中，通正常定隔離百分比由下式給出：I=(1－|T|)×100%(2-17）
式（2-15）的結果對應于
式（2-18）的隔離曲線如圖2-10b所示。這些曲線在隔振器的設計中是很有用的。
注意：圖2-8中的模型不限于正弦振動。任何一般的振動激勵都可以由傅裡葉頻譜來表示，傅裡葉頻譜是頻率ω的函數。然後，通過将激勵譜乘以傳輸函數T獲得響應振動頻譜。相關的設計問題涉及隔離器阻抗參數k和b的選擇，進而使其滿足隔離設計。
例2.3
如圖2-11a所示，一個機床的品質為1000kg，通常在300～1200r/min的轉速範圍内工作。必須将一組彈簧座放置在機器底部的下方，以減少至少70％的隔振。市售的彈簧座具有圖2-11b所示的負載撓度特性。如果需要，建議使用适當數量的安裝座以及慣性塊。每個安裝座的阻尼常數為1.56×103N·s/m。設計該機床的隔振系統。具體來說，确定所需彈簧座的數量和應該添加的慣性塊品質。
解：首先，我們假設零阻尼（在實際中，這種系統中的阻尼較小），在此基礎上設計隔離器（彈簧安裝座和慣性塊），并使其隔離度大于所要求的70％。然後，我們将檢查阻尼隔離器的情況，以檢視是否實作了所需70％的隔離。
對于無阻尼的情況，式（2-15a）變為
注意：因為隔離區域對應于r>
，是以我們使用r>1。
假設保守的隔離百分比I=80%→T=0.2。使用式（2-15b），可得
最低運作速度（頻率）是最重要（關鍵）的（因為它對應于最低隔離度，如圖2-10a所示）。是以，
從彈簧座的負載撓度曲線（見圖2-11b）可以得出：
要想使基底穩定，我們将使用4個安裝座。是以，k=4×50×103N/m。
于是，
注意，根據該結果，必須添加品質為216kg的慣性塊。
現在，我們必須檢查在有阻尼情況下是否可以達到所要求的振動水準：
代入式（2-15a）的有阻尼隔離器式中得到：
我們有
這對應于73％的隔離度，比所要求的70％要好。
機械傳動
在機械系統中元件互連和阻抗比對的另一個應用涉及速度傳輸（齒輪、諧波驅動、絲杆螺母裝置、皮帶傳動、齒條齒輪裝置等）。對于具體應用，請考慮由電動機驅動的機械負載。由于可用電動機有轉速轉矩特性的限制，是以通常直接驅動是不實際的。在電動機和負載之間加入合适的齒輪傳動裝置，可以根據負載來修正驅動系統的轉速轉矩特性。這是機械系統的元件互連、接口設計和阻抗比對的過程。我們将用一個例子說明這些概念的應用。
例2.4 由電動機驅動的慣性負載考慮使用轉矩為T的轉矩源（電動機）和轉動慣量Jm來驅動慣性矩為JL的純慣性負載，如圖2-12a所示。系統産生的角加速度θ是多少？忽略連接配接軸的靈活性。
現在，假設負載通過電動機負載轉速比為r∶1的理想（無損耗）齒輪連接配接到相同的轉矩源，如圖2-12b所示。則負載産生的角加速度θg是多少？
根據r和p=JL/Jm獲得标準化負載加速度a=θg/θ的表達式。在p=0.1、1.0和10.0的條件下，繪制a-r圖。根據p确定r的值使得負載加速度a最大。
解釋這個問題的結論。
解：對于沒有齒輪傳動的單元，由牛頓第二定律可知(Jm+JL)θ=T。
對于具有齒輪的傳動裝置，請參見圖2-13所示的自由體受力圖，在無損（即效率為100％）齒輪傳動的情況下。由牛頓第二定律可知
并且JLθg=Tg（iii）其中Tg是負載慣量上的齒輪轉矩。通過消去式（ii）和式（iii）中的Tg，我們得到
用式（iv）除以式（i）可得：
我們得到傳輸加速比：
其中p=JL/Jm。
由此可以看出，對于r=0，我們有a=0；對于r→∝，我們有a→0。a的峰值可以通過微分獲得：
取其正根可得
其中rp是對應于a達到峰值時r的值。通過用式（v）代替式（vi）來獲得a的峰值。是以，
此外，從式（v）中注意到，當r=1時，對于任何p的值，都有a=r=1。是以，式（v）中的所有曲線将通過相同的點（1，1）。
當p=0.1、1.0和10.0時，關系式如圖2-14所示。峰值列在表2-2中。
從圖2-14可以看出，根據慣性比可以選擇傳動速度比來最大化負載加速度。是以，相關的阻抗比對（設計）問題如下：對于規定的（需要的）峰值加速比ap，使用ap=（1+p）/（2
）和rp=
選擇r和p。
特别說明如下：
1.當JL=Jm時，選擇直接驅動系統（無齒輪傳動，即r=1）。
2.當JL的峰值選擇加速齒輪。
3.當JL>Jm時，選擇峰值為r的減速齒輪。
關鍵術語
元件互連：由于動态互動（耦合），是以元件之間的狀态在互連後會發生變化。它會影響信号、負載等。
負載：當連接配接輸出元件時，不希望輸入元件的信号變化。電氣負載示例：産生電信号（輸入裝置）的傳感器和信号采集硬體（輸出裝置）。機械負載示例：感測對象（輸入裝置）和安裝在其上的重型傳感器（輸出裝置）。
元件互連的注意事項：阻抗比對、信号轉換和信号調理。
阻抗：跨接變量除以通過變量，适用于多個領域（電氣、機械、熱、流體等）。注意：電阻抗類似于機械導納（機械阻抗的倒數）。
阻抗比對：比對互連裝置的阻抗，并在必要時增加補償阻抗。
阻抗比對的類别：（1）最大功率傳輸時電源和負載的比對；（2）效率最高時的功率傳輸；（3）信号傳輸中的反射預防；（4）負載效應的降低。
最大功率傳輸：使用共轭比對
效率最高時功率傳輸：效率η=Rl/(Rl+Rs)。增加負載阻抗可以提高效率。
反射系數：反射信号的電壓/入射信号電壓；
，其中Zi和Zc是元件阻抗。
反射預防：補償阻抗的變化（例如，使用阻抗墊），使得(1/Zi)+(1/Zg)=1/Zc。
輸入阻抗Zi：輸出端處于開路狀态時，輸入端額定輸入電壓/流過輸入端的相應電流。
輸出阻抗Zo：在輸出端，開路（即無負載）電壓/短路電流。
級聯：vo=1/(Zo1/Zi2+1)G2G1vi。
負載誤差的減小：使Zo1/Zi2<<1。
機械系統中的阻抗比對：比如振動隔離和速度轉換（齒輪等）。
力傳遞率Tf：傳遞的力/施加的力。
運動傳遞率Tm：傳遞的運動/施加的運動。
傳遞率：T=Tf=Tm=Zs/(Zs+Zm)=Mm/(Mm+Ms)
簡單的振蕩模型：
其中，r=ω/ωn；
為無阻尼固有頻率；
為阻尼比。
傳遞率幅值：對于ζ較小的情況，有
振動隔離：I=(1－|T|)×100%
隔離器設計：指定I，并使其增加10％；在最低工作頻率（速度）下，使用I的近似（低阻尼）公式确定r；是以
。選擇k（振動安裝剛度）和m（慣性塊）。使用I的完整公式來檢查有阻尼的情況。
機械傳動：傳動加速比a=r(1+p)/(r2+p)；電動機負載轉速為r∶1；慣性比p=JL/Jm；峰值ap=（1+p）/2
出現在rp=
設計問題：為特定的（需要的）ap選擇r和p。
思考題
2.1 （a） 定義電阻抗和機械阻抗。（b） 在這一命名中确定與力電流類比有關的漏洞。（c） 你會提出什麼改進？（d） 輸入阻抗和輸出阻抗在與測量裝置精度的關系中發揮了什麼重要作用？
2.2 列出阻抗比對在元件互連中很重要的4個原因。
2.3 信号測量中負載誤差是什麼意思？另外，如圖P2-1所示，假設輸出阻抗為Zs的壓電傳感器連接配接到輸入阻抗為Zi的電壓跟随放大器中。傳感器信号為vi，放大器輸出為vo。放大器輸出端連接配接到具有非常高輸入阻抗的裝置上。繪制信号比vo/vi與阻抗比Zi/Zs的關系圖，阻抗比值範圍為0.1～1.0。
2.4 戴維南定理表明，根據輸出端的特性，由線性無源器件和理想源器件組成的未知子系統可以由單個跨接變量（電壓）源veq串聯單個阻抗Zeq來表示。如圖P2-2a、b所示。注意，在圖P2-2b中，由于通過Zeq的電流為零，是以veq等于開路時輸出端上的跨接變量voc。考慮圖P2-2c所示的電路，确定該電路頻域中的等效電壓源veq和等效串聯阻抗Zeq。
2.5 對于具有源電阻和負載電路的電路，如圖2-2所示，繪制負載功率效率曲線以及負載功率/最大負載功率與負載電阻/源電阻的曲線，并分析結果。
2.6 說明為什麼電壓表應該有很高的電阻，電流表應該有很低的電阻。兩種測量儀器的一般要求的設計意義是什麼，特别是在儀器靈敏度、響應速度和魯棒性方面？使用經典的動圈式電流計作為讨論模型。注意：電流計目前不用于測量電信号。相反，它們可用于定位和運動控制。
2.7 在以下兩個應用中，為連接配接的元件選擇合适的阻抗：
（a） 輸出阻抗為10MΩ的pH傳感器連接配接到調理放大器。
（b） 輸出阻抗為0.1Ω的功率放大器連接配接到無源揚聲器。
在每種情況下，估計在傳輸信号中可能的百分比誤差。
2.8 二端口非線性裝置如圖P2-3所示。在靜态平衡（即穩态）條件下的轉移關系由下式給出：vo=F1(fo,fi)
vi=F2(fo,fi)其中，v表示跨接變量；f表示通過變量；o、i分别表示輸出端和輸入端的下标。
根據函數F1和F2的偏導數，在靜态條件下，在工作點附近擷取輸入阻抗和輸出阻抗的表達式。解釋這些阻抗是如何通過實驗确定的。
2.9 信号通過阻抗為Zc的電纜進行傳輸，然後通過阻抗為Zl的天線傳輸（見圖P2-4）。
（a） 顯示vt=［2Zl/(Zl+Zc)］vi，其中v是電纜天線接口處的入射信号電壓，vi是從電纜到天線的發送信号的電壓。
（b） 在這個例子中，若對Zl和Zc之間進行适當的阻抗比對，則所需滿足的關系是什麼？
（c） 在本例中阻抗比對的一種方法是在天線連接配接處使用阻抗墊。再給出另一種方法。
2.10 品質為m的機器是一個旋轉裝置，其在垂直方向上産生諧振受迫激勵f(t)。在工廠工廠中的房間為該機器安裝剛度為k和阻尼常數為b的隔振器。由于受迫激勵而傳遞到地面的力的諧波分量為fs(t)。系統的簡化模型如圖P2-5所示。相應地從f到fs的力的傳遞率幅值|Tf|由下式給出：
其中，r=ω/ωn；ζ為阻尼比；ω為激勵頻率f(t)；ωn為系統的無阻尼固有頻率。
假設m=100kg，k=1.0×106N/m。另外，在機器操作範圍内的激勵力f(t)的頻率為200rad/s或以上。确定振動隔離器的阻尼常數b，使力傳遞率幅值不超過0.5。
使用MATLAB繪制所得到的傳遞函數，并驗證設計要求是否滿足。