第3章
射頻二端口網絡
本章将回顧一些射頻設計的基本概念，包括有效功率增益、比對電路、S參數。同時，還将詳細讨論無損、低損耗傳輸線及其史密斯圓圖。本章給出的絕大部分素材将在第４章和第６章讨論噪聲和低噪聲放大器（LNA，又稱“低噪放”）時用到，并且本章的大部分内容和第1章緊密相關。
本章涵蓋以下主題：
●有效功率和比對。
●寬帶和窄帶變換器。
●串并轉換。
●無損和低損耗傳輸線。
●史密斯圓圖。
●S參數。
為了教學目的，可以把重點放在32和33節，讨論低噪放的設計。傳輸線、史密斯圓圖和S參數這些内容在射頻設計中同樣很重要，但在本章中将被弱化。本章所涉及的内容相對基礎，有興趣的同學或工程技術人員可以獨立學習。
3.1二端口網絡
二端口網絡簡單地說就是一個黑匣子裡的網絡，有兩對可見的端口，一端為輸入，另一端為輸出，首先考慮圖3.1中的單端口網絡。
給出一個線性網絡和一對端口，得到一個一端口網絡，右邊為該網絡的戴維南等效，N0為所有獨立源不工作時（電壓源短路，電流源開路）的同一個網絡，eOC為一端口的戴維南等效開路電壓。
二端口網絡是一端口網絡的簡單拓展，如圖32所示，這實際上是一個帶有2對可接入端口的四端口網絡。
根據基本電路理論［1］，二端口上有4個未知元素（i1,v1，i2和v2），二端口隻能在4個變量上施加2個線性限制條件。由于從4個元素中選出2個隻有6種方法，是以描述一個線性、時不變的二端口網絡有6種方式：阻抗、導納、2個複參數和2個傳輸矩陣。已知一種描述方式，其他5種中的任何一種都可以得到。例如，導納矩陣是阻抗矩陣的倒數。後面将會看到，二端口網絡也可以用S參數表示，這在微波頻段更為友善。S參數矩陣也可以轉換為前面提到的6種方式的矩陣。
3.2有效功率
圖3.3中的放大器可以用前面提到的任意一種矩陣表示，但假設大多數設計良好的開環放大器都具有單向性，一般用放大器的輸入阻抗、跨導和輸出阻抗表示。一個電壓放大器可以簡單地在輸出端用戴維南等效電路實作。
根據基本的電路理論，從電源抽取到放大器輸入端的複數功率為：
式中VIN和IIN表示放大器輸入端的峰值電壓和電流分量。定義ZIN=RIN+jXIN和Zs=Rs+jXs，則平均功率為：
當RIN=Rs且XIN=-Xs，即ZIN=Z*s時，上式可求得最大值，這種情況稱為功率比對或電源共轭比對，此時有效功率為：
上式僅僅是電源的函數，與放大器無關。電源産生的總功率為：
是以，在電源共轭比對的情況下，電源平均功率的一半傳遞到了放大器，電源效率為50%。
對于雷達接收機這類裝置，輸入是共轭比對的，如果接收的電磁能沒有被輸入端完全吸收，能量就會丢失。此外，在某些特定應用中，電源效率更為重要，由于共轭比對會損失一半能量，是以不宜采用這種方式；在第9章将會看到，在設計功率放大器時，這一點尤為重要。
簡而言之，在輸出端利用戴維南等效，有效輸出功率定義為：
放大器有效功率增益定義為輸出和輸入有效功率的比值：
對于一個阻性源，假設放大器的輸入端和輸出端是比對的，即
，有：
3.3阻抗變換
在射頻電路，尤其是射頻放大器中，通常有必要把輸入阻抗變換為某些期望的值，主要原因是放大器的輸入阻抗通常受到增益或功耗等性能參數的限制，可能與期望值不比對，因而不能滿足最大功率轉換或最小噪聲系數等設計考慮，如圖3.4所示，通常需要一個稱為比對網絡的中間網絡将輸入阻抗轉換為最優值。
另一種常見的情況是，在接收機之前外接一個高Q值的濾波器，該濾波器的輸入阻抗與輸出阻抗都需比對到50Ω（如圖3.5所示）。這種濾波器的典型例子為SAW（聲表面波）濾波器，這是一種機電器件，電信号在這種由壓電晶體或陶瓷構成的器件中轉換為機械波；這種機械波在器件中傳播，經過延時後由緊接着的電極轉換回電信号。實際上，這種濾波器與前面讨論的二端口LC濾波器非常相似。非50Ω的終端通常會降低濾波器的通帶損耗，減小阻帶衰減。在第6章将會讨論，由于噪聲和功耗的折中，設計濾波器時通常将輸入阻抗設定為高于濾波器所需的50Ω，是以，在不産生很大開銷的情況下，比對網絡很友善。
比對網絡不僅适用于接收機，同樣也應用在發射機中，尤其是在功率放大器中，原因與前面提到的相同。
由于比對網絡直接接在放大器的輸入端，并且是全射頻的，其性能非常關鍵，是以，比對網絡通常由高性能的無源元件構成，比如高Q值的電容和電感。如果內建元件的品質因數不夠高，使用片外的、更高Q值的元件實作比對網絡或比對網絡的一部分也并不罕見。鑒于其重要性，下面将介紹一些常見的結構。
3.3.1寬帶變壓器
變壓器可用于提供寬帶阻抗變換。理想變壓器用纏繞在磁芯上并且匝數分别為n1和n2的線圈實作，如圖3.6所示。
如果磁芯的磁導率足夠大（或者為理想值無窮大），磁通量包含線上圈内，每個線圈的關系為φ1=n1φ和φ2=n2φ，根據法拉第定律，有v1=dφ1/dt, v2=dφ2/dt，則有：
為了找出兩個電流之間的關系，可以注意到，類似于歐姆定律和電場中電阻的概念，可以定義磁阻m反映磁通量和電流的關系（進一步的分析可以參見文獻［2］）：
對于理想的磁芯，有m=0，是以：
是以對于理想的變壓器，沒有能量損耗，且不能存儲能量（與電容、電感不同），對于任意時間，有
。而且，能量守恒表明，在理想變換器中，兩線圈的自感為無窮大，互耦系數為1。
I-V關系可以解釋理想變壓器的阻抗轉換，如圖3.7所示，很明顯有
。
由于高磁導率的磁芯在內建電路中無法實作，如在第1章中讨論的，實際的變壓器更像耦合的電感，合理的設計可以獲得相對較高的耦合系數。圖3.8是一個內建變壓器的模型，包含兩個等效π模型的電感，但二者也互相耦合。
為了友善分析，暫時忽略轉換損耗和寄生電容，考慮如圖3.9所示的電路。
對于左邊的耦合電感，有：
也可以表示為
，為電感矩陣［1］。耦合系數定義為
，注意，M可以為正也可以為負，但是k始終是正的。而且，從能量的角度來看，可以得到k≤1，否則耦合電感的總能量會變成負的。同樣，可以從右邊兩個電路中推導出L矩陣，3個電路的電感矩陣是相同的，是以是等效的（見本章習題部分題目1）。如果耦合電感的耦合系數接近于1，則L1-M2L2≈0，那麼這個變壓器（準确地說是耦合電感）可以用圖3.10左邊的等效模型替代。
是以，實際的變壓器可以将阻抗變大或者變小，這依賴于主線圈與副線圈的匝數比，但是也存線上圈的自感。變壓器損耗也可以用與副線圈并聯的電阻等效，圖3.10右邊為其模型。如果需要，變壓器可以用圖3.10所示的電路表示，但這降低了帶寬，忽略的電容會産生額外的電抗元件。
出于實用考慮，我們考慮圖3.11所示的雙諧振電路，該電路由兩個互相耦合的相同的RLC電路組成。
通過簡單的節點分析，可以得到
式中
是耦合因子。是以，該電路實際上由兩個并聯的RLC電路串聯構成，一個諧振頻率高，一個諧振頻率低，取決于k值。ZIN的幅頻曲線如圖3.11所示，進一步的說明見本章習題2。
3.3.2并串轉換電路
盡管理想情況下變壓器提供了一種寬帶阻抗變換，但實際的內建變壓器由于有限的自感和寄生電容影響，帶寬較窄，另外，內建變壓器的性能比內建電感更差，這是因為要獲得到較高的耦合系數是很有挑戰的。
對于窄帶應用，如同衆多射頻标準的情況，可以用集總電感和電容去近似某一個單一頻率點或覆寫該頻率點的諧振帶寬内的阻抗變換；更友善的方法是采用并串轉換，如圖3.12所示。
圖3.12中右邊并聯電路的輸入阻抗可以表示為：
這是一個電阻與電抗串聯的形式，由于Xp是與頻率有關的，可以認為串聯的電阻和電抗也是與頻率相關的。但是，如果隻看某一個固定頻率或者一個很窄的頻率範圍，則可以把并聯電路等效為一個串聯電路，如左邊的電路所示。為了滿足這種等效，必須約定：
或者，可以用串聯電路的形式來描述并聯電路：
也可以發現下面的等式一定成立：
RsRp=XsXp
在第1章已經讨論過的串聯RL電路是一個特殊的情況，有Rs=r，Xs=Lω。由于Q=Lωr，則有：
這在第1章已經讨論過。
可以利用上面介紹的并串轉換電路的特性改變放大器輸入阻抗的實部。例如，如果放大器阻抗的實部比所需要的大，那麼接一個分流的電抗會将阻抗降低至所需的值，反之也成立。剩餘的電抗部分可以通過接入相反極性的電抗元件來抵消，隻要電路工作在一個特定的頻率或者一個很窄的帶寬範圍。
如圖3.13所示的例子中，希望将一個輸入阻抗為RIN>Rs的放大器在一個給定的頻率ω0上比對到信号源電阻Rs。
由于是需要降低電阻，故插入一個并聯的電抗，既可以是電感也可以是電容。選擇一個電感量為L的電感與RIN并聯，由于等效串聯網絡是感性的，很自然地選擇一個電容C來吸收電感量。是以比對網絡包括一個并聯的L和一個串聯的C，如圖313所示。由RIN和L組成的并聯網絡可以轉換為串聯形式，轉換後的新電阻必須和信号源電阻Rs相同，串聯電感Ls由電容C來抵消。是以有：
由此可以得到
，此處，RIN顯然必須大于Rs。如果RIN小于Rs，就應該選擇一個串聯電感L和一個分流電容C。新的串聯電感也容易計算，有：
該電感與電容C在ω0處諧振。是以：
該比對網絡元件顯然是ω0的函數，是以是與頻率相關的。為了了解頻率會在何種程度上偏離ω0，計算串聯RLC電路的品質因數，可得：
如第2章所介紹的，Q值反映了RLC電路的3dB帶寬，即有：
依據經驗，可以認為隻要頻率在上述帶寬範圍内，該電路就提供了合理的比對。一個重要的結論：由上式可以直接得到實際可以比對的輸入阻抗的上限。RIN越大、Q越大，則比對網絡越狹窄。而且較大的RIN就意味着較大的電感，這在頻率增大時會産生問題。另外，前面假設電感是無損耗的，而實際上并不是，對于給定的電感品質因數，更大的RIN将導緻更大的損耗。
例如，如果RIN=250Ω，可以計算得到，在2GHz頻率上将阻抗比對到50Ω所需的L=10nH，C=0.8pF，相應的品質因數為2；同樣的比對網絡工作在2.5GHz（3dB帶寬的邊緣），得到的阻抗是70+j33Ω，這在很多應用中勉強可以接受。
如果放大器的輸入阻抗除了電阻RIN之外還含有電抗，則需要修改分流電感L來吸收電抗，其餘的步驟是相同的。
圖3.13中的比對網絡除阻抗變換外還具有其他特性，首先，即使這裡讨論的無損耗網絡不會影響功率，但實際上也會提供電壓或電流增益，先計算放大器輸入端RIN上的電壓：
這是一個高通函數，在比對網絡中心頻率處，即ω=ω0時幅值取得最大值
。是以在RIN>Rs的情況下，從信号源到放大器輸入端的有效電壓增益為
，Q值越大，響應越窄，電壓增益越大，這一點很重要，因為這有助于在允許給定輸入參考噪聲的情況下降低放大器的功耗。然而，從信号源到輸入端的電壓增益的存在表明不想要的信号也和所需要放大的信号一起放大了，這使得設計對非線性和失真更為敏感。
圖3.14展示了在RIN=250Ω，f0=2GHz的情況下，從信号源端到輸入端電壓增益和頻率的關系，其中元件參數和上面計算的一樣。對低于f0和網絡帶寬外的頻率，比對電路像一個濾波器，是以抑制了處在帶寬外的無效信号。串聯電容和分流電感使比對網絡呈現高通特性，是以，在高于中心頻率處的電壓增益的衰減不如傳遞函數變緩到接近于
時快（額外的系數2是由有效電壓增益導緻的）。然而，如果需要，通常選擇其他帶有低通和帶通特性的比對元件。
3.3.3窄帶變換器
第三種常見的阻抗變換方法是窄帶變換器，這種方法隻用電容和電感逼近理想的變換器。如同前面的電路，該方法本身就是窄帶的，如圖3.15所示，暫時忽略電感，計算左邊電路的阻抗。
可以得到：
假設在所關注的頻率下由并聯電阻R導緻的電容損耗很小，即
，則可以得到：
可以簡化為：
定義
，忽略最後一項，并假設損耗适中或很小（R很大），則有：
是以，電路簡化成如圖3.15中右圖所示的形式，即由一個線圈匝數比為n的理想變壓器和一個分流電容C組成，可以用電感來抵消等效電容，提供一個電阻元件。
通過兩個串聯電感L1、L2以及一個用來調諧的分流電容可以實作該變換器［3］，但是由于需要兩個電感，該方案沒有之前提到的方案常見。圖3.15中的方案常用在考畢茲振蕩器中（第8章）。
3.4傳輸線
除了集總的LC元件之外，傳輸線也可以用來做比對。第1章中展示的無損傳輸線中說明了這一點，一般的方法表現為如下形式：
式中f1和f2為任意函數，分别表示前向與後向的傳播。現在假設隻關心正弦穩态解，即隻關心頻率為f=ω/2π的信号，則其解也是正弦的，可以表示為：
式中β=ω/vp，為相位常數（機關為rad/m），vp為相位速度（機關為m/s）。如之前所讨論的，+表示信号後向傳播，-為信号前向傳播，分别用下标b和f表示。現在選擇φ=0，并将時間固定于t=0時，信号變為：
顯然β表示空間頻率。定義波長λ=2π/β=vp/f，注意，以上函數的周期為λ。實際上，對于前向傳播的波形，設定如下條件：
該波形在給定的時間是一個常數，随着時間增加，z必須也在正方向上以vp的速率增加。後向傳播的波形與此類似，但是z需要随時間減小而減小。
根據歐拉公式
，對于正弦穩态情況，可以用一個相量來描述前向傳播和後向傳播的信号，即可以将V(z,t)表示為：
式中，
表示複幅度。對于無損耗傳輸線，初始的波方程在第1章中已推導出：
進而得到：
這是正弦穩态情況下的向量形式，VS表示複向量電壓，可以表示為如下形式：
和之前的結論一緻，略去了時間項，因為波形始終是頻率ω的餘弦函數形式。要注意的是傳輸線假設是無損耗的，如果不是無損耗，則jβ必須替換成γ=α+jβ，α表征傳輸線的損耗［2，4］。類似地有：
在處理傳輸線問題時一般用上面的等式來表示電壓和電流。根據波形差分方程的特點，也常用下面的兩個等式：
式中，Z0是傳輸線的特征阻抗。
3.4.1終端傳輸線
任何傳輸線不可避免地都在終端接有負載，由于需要在非連續狀态下（例如一個負載）滿足所有電壓、電流邊界條件，進而導緻了反射波。基本的反射問題如圖3.16所示。
為了友善起見，假設負載處于z=0的位置處，是以剩下的傳輸線處于z<0的區域。假設有一個向量形式的入射電壓為：
當波到達負載時，産生一個反向傳播的反射波：
在z=0處，有：
式中VL為負載電壓，負載電流為：
可以求出V+0和V-0，更重要的是二者的比值，稱為反射系數，即：
反射系數通常是複數。已知入射和反射的電壓、電流，也可以估算出互相間的功率關系，可以簡單顯示反射和入射功率的比值：
3.4.2電壓駐波比
在終端傳輸線的不同點檢測信号是很有指導意義的。實際上，可以通過在開槽傳輸線上插入一個電壓探頭測量所關心的點的電壓幅度來實作。前面已經将傳輸線上的電壓表示為一般的形式：
是之前用負載阻抗函數得到的反射系數，通過一些代數運算，上式可以展開為如下形式：
将上式從向量形式轉化為時域信号為：
第一項有cos(ωt-βz)的形式，它是沿前向z方向傳播的，也稱行波，幅度為
；第二項稱為駐波，幅度為2V0|Г|。這兩項在z方向上相加或者相減，導緻了不同的探測結果。事實上，當行波和駐波相加時，傳輸線上的最大電壓幅度為
，計算最小值就沒那麼容易了。首先要注意到，由于
，當兩項存在180°的相移時，即當
時，取得最小值，在這種情況下，最小幅度為
盡管已經計算了最大值，但通過同樣的推理可以知道，最大值是在
處得到的，如圖3.17所示。
兩個相鄰峰值之間的間距為λ/2，而相鄰的波峰和波谷之間的間距為λ/4。傳輸線上最大電壓值和最小電壓值的比值稱為電壓駐波比（VSWR），可以表示為：
如果負載比對，則沒有反射，VSWR為1，表明傳輸線上沒有駐波。另一個極限情況為，負載短路或開路時，|Г|=1，則VSWR為無窮大。
3.4.3傳輸線輸入阻抗
考慮圖3.18中長為l的傳輸線，該傳輸線在z=0處為終端，并且接有一個複阻抗ZL，求解傳輸線上給定點的阻抗。
這可以通過求出傳輸線上的電壓和電流而簡單得到，即有：
考慮
，可以得到任意點的阻抗為：
可以通過在z=0處，Z(0)=ZL簡單驗證。在傳輸線的源端，即z=-1處的傳輸線阻抗為：
上面的等式有一些有趣的特性。例如，如果傳輸線的長度等于波長的一半或者半波長的整數倍，輸入阻抗總是等于負載阻抗；如果長度為四分之一波長，就有
，是以，一端的短路在另一端可表現為開路；同理，一端的開路在另一端可表現為短路。
3.5史密斯圓圖
解決傳輸線問題常常需要引入複數，通過圖解法，所涉及的工作可得到很大的簡化且不影響精度。最基本的圖解法是史密斯圓圖［5］。史密斯圓圖的基本概念是建立在反射系數方程上的：
由于Г為複數，通常用
來表示，由于對任意ZL，|Г|≤1，在用複數描述Г時，所有的資訊就落在了一個機關圓裡。通常是将負載阻抗對傳輸線特征阻抗進行歸一化，表示為如下所示的一個複數：
相應地有：
或者，如果定義特征導納yL=YL/Y0=Z0YL，其中YL=1/ZL，則反射系數可以表示為：
這表明用歸一化導納表示反射系數的幅度相同，相位相差180°，利用這個結果，可以友善地在圖上動态選擇導納或電阻。很明顯，yL=1/zL。
從歸一化阻抗開始，有：
通過簡單幾步的代數運算，得到了兩組用r和x表示Г的實部和虛部的方程：
每個方程代表一族與特定參數r（或x）相關的圓，如圖3.19所示。
阻抗的實部為正，是以r始終大于0，而x可以是正的（感性阻抗）也可以是負的（容性阻抗）。r=0對應的圓為機關圓，對應Г=1。兩族圓一起畫在史密斯圓圖上，就可以從中得到一個給定負載阻抗的Г的幅度和相位。例如，如果ZL=100+j25Ω，r=2，x=0.5，則對應于圖3.20中史密斯圓圖上的點。
相應地，憑借在史密斯圓圖中的測量，可以得到Г≌0.37∠23°。甚至在這個非常簡單的例子中，采用Г方程的原始形式，必須進行arctan和幅度計算等幾個步驟才能得到同樣的結果。在計算從負載沿傳輸線移開後的阻抗時，史密斯圓圖被證明更加有效。之前給出傳輸線上給定點z的阻抗為：
是以，在z=-1點，即距離負載l處的歸一化輸入阻抗為：
上式表明，一旦計算出在負載處，即l=0處的Г，相應地距離負載-l處的阻抗可以通過保持Г幅值不變，但是相位順時針旋轉
來計算得到。距離負載四分之一波長時旋轉一個半圓，即相位旋轉180°。在實際的史密斯圓圖中顯示的并不是旋轉角度，而是朝着源頭移動的以半波長（或360°）歸一化的距離（順時針旋轉），如圖3.20中的虛線所示。如果史密斯圓圖中的阻抗已知，相應的導納可以通過阻抗鏡像得到，如之前已得到的：
上式表明Г幅值必須保持不變，但是相位相差180°（或四分之一波長）。
例如，考慮一個如圖3.21所示的50Ω傳輸線，終端接一個阻抗ZL=250Ω的負載，代表一個放大器的輸入。已經讨論過如何用LC組合網絡将該阻抗比對到50Ω（如圖3.13所示）；現在的目标是用傳輸線将之比對到50Ω，一般的方法是在距離負載d處插入一段長度為dS的短路短截線。
首先注意到，這段短路短截線長度無論多少，其阻抗總是電抗，并與z=-d處的阻抗相并聯，由于增加導納更加容易，可以采用導納的形式進行計算。如圖3.21所示的史密斯圓圖中，歸一化負載阻抗為5+j0，為了轉化為導納，當阻抗轉換為Z20/ZL，或者zL轉換為yL時，直接增加四分之一波長。很明顯，yL對應r=0.2的圓，在圖中用點yL表示，現在在0λ處。接着，為了比對到50Ω，需要考慮r=1的圓，由于在傳輸線上的移動隻需要改變反射系數的相角，需要計算的點就是r=1的圓和點yL所在的半徑為Г的圓的交點，如圖3.21中的P3點，圖上顯示讀數為0.182λ，是以，将負載移動1.182λ的距離，或者設定d=0.182λ即可；點P3實部為1，但是是容性的（注意現在處理的是導納）。從x族圓上，可以得到歸一化虛部為1.74。如果短路線虛部為-1.74，若加到傳輸線上，則傳輸線的導納就隻有實部，歸一化為1（或者50Ω）。短路短截線的近似長度可以通過取x=-1.74的圓和|Г|=1的圓的交點得到，該點記為P4，其讀數為0.37λ。由于短路短截線在0.25λ，則長度dS=0.12λ。很明顯，如果不用史密斯圓圖，計算将很複雜。如果負載帶有電抗，計算步驟也類似。
為了展示史密斯圓圖在傳輸線和離散元件上的應用，用集總LC網絡（如圖3.13所示）重做上面的比對例子，即将放大器的輸入阻抗比對到50Ω，但這次用史密斯圓圖來做。由于RIN大于50Ω，将落在圓的右半邊（如圖3.22所示）；同時假設有一個電容分量與之相連，這是更為接近實際的放大器輸入阻抗模型，歸一化阻抗為圖中的P1點。
由于首先要接入一個并聯電感，通過增加四分之一波長到達P2的方式将zin轉換為yin。為了最終得到50Ω的實部，需要一個比對電感把點P2移到r=1的圓的鏡像上（帶陰影的圓）。如果這樣，在轉換回阻抗時（為了友善接下來接入串聯電容），就必須落在r=1的圓上，這可以通過取P2所在的半徑為常數r的圓和r=1的鏡像圓的交點獲得，交點有兩個，但隻有P3是正解。這是因為另一個點在轉換回阻抗時将落在圓的下半邊，即表現為容性，這個點隻能通過一個串聯電感比對到50Ω，然而比對網絡包含一個串聯電容，所需的電感值可以通過考慮初始的電納得到，新的電納對應于點P3；P3轉換回阻抗為點P4，落在r=1的圓上，其電抗為x4，該點是感性的，需要加一個串聯電容C使得x4=1Cω0/50。顯然如果RIN小于50Ω，或者對陰影圓内的任意點，該比對網絡是無解的。如果用并串計算的方式這一結果就不明顯了。
回到剛才的例子中，如果RIN=250Ω，則yin=0.2+j0。在與r=1的鏡像圓相交後，由圖3.22可以讀出x3為-0.4。由于在這一點處理的是歸一化導納，0.4=50Lω0，或者Lω0=125Ω，是以在2GHz處的電感L=10nH。點P4在圖上讀出為1+j2，現在是阻抗，是以2=1Cω0/50，在2GHz處的電容C=0.8pF。史密斯圓圖的另一個優越的特性是得到的電抗和電納與頻率無關，隻有轉換為電容和電感時才變為頻率的函數。
3.6 S參數
用阻抗（或導納）矩陣描述微波電路是不實際的，因為電壓、電流和阻抗在微波頻率時不能直接測量。可以用測量相對場強的小探頭直接測量的量是駐波比和功耗，這兩個參數可以直接導出反射系數。另外，相比于入射信号的情況（例如通過直接耦合器），可以直接測量的是傳輸信号的幅度和相位的相對關系；換句話說，直接測量的量是反射波或散射波的幅度與相位的相對關系(相對于入射波)。描述這種關系的矩陣稱為散射矩陣，或S矩陣。與微波電路類似，在射頻電路中采用散射參數的方法也是很常見的，尤其是解決射頻電路與外界的關系時，例如，接收機輸入端或者發射機的輸出端，是以在本節進行簡單介紹。有關S參數的詳細讨論見文獻［4］和［6］。
考慮圖3.23中的N端口網絡。如果等效電壓為V+1的電波從端口1入射，反射波為V-1=S11V+1，S11為反射系數；另外，很自然地可以假設，電波也可以從其他端口散射，表示為V-n=Sn1V+1，n=2,3，…，N。
當電磁波從所有端口入射，通常可以寫為：
或者［V-］=［S］［V+］，其中［S］為散射矩陣。
假設所有端口具有相同的特征阻抗Z0，是以對于所有給定的端口有：
以及
綜合以上方程，可以發現，S矩陣可以用阻抗或導納的矩陣表示。例如，用矩陣形式表示為：
為N端口網絡的歸一化阻抗矩陣，則有：
為機關矩陣。根據S矩陣的定義有：
可以觀察到兩個重要的結論。
1）首先，即使已經讨論過包含了入射和反射的電磁波，S參數并不僅限于散射參數。任意N端口網絡，集總的或是分立的，都可以用一個S矩陣表示。然而，在微波頻率證明了必須用S參數，這是由于前面提到的測量限制，在本章結尾将進一步說明。
2）對于任意可逆的N端口網絡，已知阻抗矩陣的對稱性，就可以知道S矩陣的對稱性。即［S］T=［S］，其中下标T表示轉置，這可以用基本定義簡單地證明。
除了可逆N端口網絡的S矩陣的對稱性，如果電路是無損耗的，根據能量守恒可以進一步簡化。由于輸出無損耗N端口網絡的總能量必須等于入射的總能量，則有：
由于
，能量守恒可以表示為：
V+n為互不相關的入射電壓，如果選擇除了V+i之外的其他所有電壓都為0，則有：
進一步可得到：
下标i為任意值。類似地，可以選擇除了V+s和V+r（s≠r）之外的其他V+n都為0，可以得到（證明見本章習題15）：
以上兩種情況足以将散射矩陣大小限制為N(N+1)/2，而不是N2，這樣的一個矩陣稱為機關矩陣。
由于大多常見的射頻電路是二端口網絡，現主要讨論如圖3.24所示的二端口網絡的散射矩陣。
入射和散射的電磁波可以表示為：
如果輸出接一個比對的阻抗，則V+2=0，是以S11表示反射系數。但是，如果輸出接一任意負載ZL，比值V+2/V-2必須等于負載的反射系數（V-2為入射負載），是以：
另外，可以求解出V+1和V-1，有：
這是修正後的輸入反射系數。
對于一個可逆的二端口網絡，S12=S21。如果二端口網絡是無損耗的，根據能量守恒可以得到：
上式表明輸入端和輸出端的反射系數幅度相同，并且有：
舉一個簡單的例子，考慮一個分流電納jB接在特征阻抗為Z0=1/Y0的傳輸線上，如圖3.25所示。
S11是一個比對負載的輸入反射系數，是以有：
由于對稱性，上式必然等于S22。為了計算S21，以輸出為端口，強制V+2等于0，對于一個分流元件，則必須有V+1+V-1=V-2，據此可以推導出：
可以發現，圖3.25所示的例子中得到的S參數實際上滿足了能量守恒所決定的兩個限制條件。
如果傳輸線的右邊有一個不同的特征阻抗，即Z′0，可以很容易得到：
S22和S21可以類似地得到。
第二個例子，考慮如圖3.26所示的集總放大器，進一步假設信号源和負載很靠近放大器，是以不包含散射元件。由于放大器是集總的，入射和反射電磁波将沒有意義，但是，這還是展示了電路特性的内在本質，尤其是在考慮有效功率概念時。
設定散射矩陣的參考阻抗等于信号源阻抗，也就是RS，由于電路是單向的，大多數工作良好的射頻放大器都是如此，是以S12=0。則有：
上式等于反射系數，與輸出端無關。盡管電路是集總的，但仍然可以根據之前的基本定義計算V+1和V-1。由于：
則有：
現在定義與V+1和V-1相關的功率，即P+1和P-1：
注意到P+1實際上是前面定義的電路有效功率（Pa），而且傳輸到放大器輸入端的總功率PIN可以表示為：
上式表明P+1和P-1具有與入射、反射波相似的概念，傳送到電路的總功率是二者之差，如同P+1為入射功率，P-1為反射回信号源的功率。對于一個比對的輸入，S11=0，是以反射功率為0，意味着信号源有效功率全部傳送到了放大器。
如果設定輸出端的參考阻抗為ROUT，則有：
而且可以将有效功率增益簡單表示為：
如果系統設計成輸入/輸出比對，則有效功率增益簡化為S212。
3.7低損傳輸線
雖然在分析時假設傳輸線是無損耗的，但提到過一般情況下電壓相可表示為：
式中γ=α+jβ，參數α表示傳輸線的損耗［2，4，6］。這個結果可以通過修改傳輸線的集總等效電路得到，如圖3.27所示，圖中R與G同L與C一樣，表示每機關長度的傳輸線損耗。描述傳輸線的新的微分方程為：
如果R=G=0，則方程可簡化為初始的微分方程形式。而且在穩态情況下，相量的解具有之前提到的VS(z)=
的形式，γ可以寫成［2］：
對于低損耗傳播，α和β由以下兩個式子得到：
為特征阻抗。上式進一步表明，當電磁波在這樣的低損耗傳輸線上傳播時，傳輸線上給定點的功率衰減為
，這與第1章分析的RLC電路非常相似。
作為一個非常有建設性的例子，考慮如圖3.28所示的同軸傳輸線。
在第1章的分析中，已得到
，推導出
。另外，有
，可以表示為電壓項，
。可以進一步求出同軸低損耗傳輸線的G值和R值；媒體洩漏G和電容很像，對此，要做的工作就是觀察電流密度J=σE，其中σ為介電常數；是以可以得到一個非常相似的表達式（證明見第1章習題）：
假設空氣同軸線中媒體洩漏如同電導率一樣小是合理的，是以G≈0。為了計算導體的損耗R，假設頻率足夠高以至于電流隻集中在距離導體表面深度δ處；另外，假設電流均勻分布，導體的電導率為σc，是以，對于内層導體而言，給定電流傳導的面積為2πδα，則有：
式中将内層和外層導體的電阻相加，因為它們等效為串聯連接配接。對于空氣傳輸線，忽略G，則損耗因子為：
通過對α和b/a求導，可求得當b/a=3.6時損耗因子最小，由此得到特征阻抗為77Ω（對于空氣，Er=1）。
另外，由于：
在r=a處電場最強，其值為
。由于傳導到負載的功率為：
對于給定的可接受的最大場強Emax，當
時功率最大，此時Z0=30Ω。在最大功率傳輸（對于某個最大的場強）和最小損耗間直接有一個折中，通常應用時設定特征阻抗為50Ω。
顯然在現代基于晶片尺寸和頻率的無線電中沒必要考慮50Ω的接口，但是大部分傳統的外部元件，例如射頻SAW濾波器或者天線都設定為50Ω接口。如在剛開始時所介紹的，為了連接配接這些元件，通常需要在射頻IC和外圍元件間有一個準确的或者接近于50Ω的阻抗的接口。另一方面，理想情況下，在全定制設計平台上不需要設定50Ω的特征阻抗，這個數字是任意的，隻是簡單地作為一個待定的設計參數。
3.8差分二端口網絡
衆所周知，差分二端口網絡（尤其是差分放大器）得以廣泛應用在射頻設計中，最主要的原因包括高電源抑制、低二階非線性和大擺幅。另一方面，大部分用于測量電路的信号源和網絡分析儀都是單端的，通常用外部的單轉雙混合器測量這些電路。
考慮圖3.29中差分輸入阻抗2RIN=2RS，有效電壓增益為g的差分放大器。
一個在輸入端的
的理想變換器對信号源提供了單端輸入阻抗RS。由于變壓器是理想的，功率分為兩半，分布在副線圈的兩端，每端電壓為主線圈電壓的
倍，且有180°的相位差。每個電壓經放大器放大g倍到輸出端。後面同樣接一個線圈比為
∶1的理想變換器，則測量到的總的有效電壓增益為g，與單端的情況相同。大部分接收機輸入端都是比對的，通常有一個高阻抗輸出，這是由于信号處于低頻。如果負載是高阻抗的，就會測量到一個額外的6dB的電壓增益，盡管這對無線電的性能影響不大。實際上，用來進行這種測量的變壓器是用PCB闆上窄帶巴倫或者寬帶混合電路實作的，它們的損耗必須事先測定，并在測量中排除。
盡管将在下一章讨論噪聲，電路的噪聲性能也具有相似的特點，把差分放大器看作兩個相同的單端放大器進行處理［7］。
3.9習題
1.推導圖3.30所示電路的L矩陣。
2.推導圖3.31所示的雙調諧電路的傳輸函數和輸入阻抗。
3.利用并串轉換計算将圖3.32所示電路的輸入阻抗從250Ω比對到50Ω所需的L和C的值。
4.用史密斯圓圖再次計算習題3。
5.用并串轉換設計一個LC比對網絡，将一個輸入阻抗為20Ω‖1pF的放大器比對到50Ω。
6.在史密斯圓圖上畫出一個串聯RLC電路的阻抗随頻率的變化曲線。
7.考慮圖3.33中的二端口網絡，第二端接一個導納YL，第一端接輸出導納為Ys的電壓源vs。
(a)證明：
(b)使用Z參數再次作答題目(a)，并計算Zin、Zout和Av的值。
8.在習題7中，證明在穩定和不穩定的邊緣，Ys+Yin=0和YL+Yout=0都可以推出(Ys+Y11)YL+Y22-Y12Y21=0，這與Av為無窮大的情況是等效的。
9.在習題7中，當輸入和輸出同時共轭比對時，功率增益最大，這在Ys和YL滿足下面兩個等式時實作：
這樣的Ys和YL稱為Ys,opt和YL,opt。
(a)證明Ys,opt和YL,opt可以由下式得到：
其中，
(b)證明在上述最優情況下，功率增益為
，這也表明對于一個可逆的網絡（Y12=Y21），功率增益小于1。特殊情況下，一個LTI無源網絡不能放大功率。
10.計算低損耗傳輸線的微分方程和γ的值。
11.考慮帶有分布式串聯阻抗Zs和并聯導納YP的傳輸線，二者都是每機關長度值。
(a)證明在正弦穩态情況下，傳輸線上電壓（或電流）相量的微分方程可以表示為
(b)證明差分方程的解具有
(c)計算有損傳輸線的γ的實部和虛部，已知Zs=jωLs+Rs，YP=jωCP+GP。γ的實部為電磁波幅度的衰減率。
12.考慮一個分布式無損傳輸線，帶有每機關長度為L的串聯電感和每機關長度為C(v)的分布式并聯電容。電容為壓控變容二極管。
(a)證明傳輸線上的任何行波必須滿足經修正的電磁波方程：
(b)假設C(v)=C0+αv，α≠0，并且具有f(ωt-βz)的形式解，其中
，将它代入導出的波方程中，證明該解為
13.計算圖3.34中電路的輸入反射系數。
14.計算圖3.35中電路的輸入反射系數和VSWR；當X和RL為何值時VSWR最小？
15.證明
，其中對于任意N端口網絡s≠r。
16.如圖3.36所示，計算具有兩個不同特征阻抗的傳輸線上串聯了一個電抗時的S矩陣。
17.将二端口網絡的S矩陣轉換為Y矩陣，再反過來做一次。
18.考慮圖3.37中的AM檢測器，由正弦信号源驅動，其中vs(t)=Acos(ω0t)。
為了簡單起見，我們假設二極管是理想的，其I-V特性如圖3.37中右圖所示，畫出電容上電壓和電流的草圖，并從中得到輸入電流；計算從信号源傳遞到檢測器的瞬态平均功率；分析二極管導通的瞬态響應；已知平均功率，估算檢測器的平均輸入電阻。假設R<>1。
答案：
19.設計一個LC電路使這個AM檢測器的非線性輸入電阻與電源比對，試分析瞬态反射系數。
3.10參考文獻