帶你讀《射頻內建電路及系統設計》之一：射頻元件

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射頻內建電路及系統設計

Radio Frequency Integrated Circuits and Systems

［美］霍曼·達拉比（Hooman Darabi）著

吳建輝 陳超 譯

第1章

射頻元件

本章将讨論射頻設計中所涉及的基本元件，對于高頻條件下MOS管的詳細模組化與分析可參考文獻［12］。雖然文獻中的模型主要是為模拟和高速電路開發的，但也能很好地适用于大多數工作在幾吉赫茲（GHz）的射頻應用中，尤其适用于當今納米CMOS工藝。是以，本章中将更加詳細地研究電感、電容和LC振蕩器的特性。在本章中将對分布式電路和傳輸線的基本工作進行簡要讨論，而在第３章将進行更詳細的分析。在第４章和第６章中，将會讨論一些與射頻相關的半導體特性，如更詳細的噪聲分析、體效應及栅電阻效應。

LC電路廣泛應用于射頻設計中，涵蓋調諧放大器、比對電路和LC振蕩器。相比于半導體，由于電感與電容具有較好的噪聲性能和線性度，傳統的射頻電路大量地采用LC元件，這些元件在射頻子產品中占據了很大的比例。出于成本考慮，現代無線電通信電路對LC元件的依賴已經減弱，但射頻設計者仍舊很頻繁地使用內建電感和電容。

本章首先簡要地介紹電磁場，然後從電磁場方面仔細探讨電容和電感；之後從電路的角度讨論電容、電感和LC振蕩器；最後通過介紹內建電感和電容的規則及設計總結本章節。

本章涵蓋以下主題：

●電磁場及電路中電容和電感的定義。

●麥克斯韋方程組。

●分布式元件和傳輸線的介紹。

●能量、功率及品質因子。

●無損和低損的諧振電路。

●內建電容和電感。

對于課堂教學，建議重點關注1.7節、1.8節和1.9節，而1.1～1.6節可以安排為課後閱讀，如果認為有必要，可以做一個簡單的總結。

1.1電場和電容

首先簡要回顧一下電場和電勢，并據此定義電容的概念。

1875年，法國軍官查爾斯·庫侖首先提出了庫侖定律，表述的是真空或自由空間中相隔一段距離的兩個點電荷間的作用力與每個電荷的電量成正比，而與它們之間距離的平方成反比（如圖11所示）。庫侖定律與一百多年前發現的牛頓萬有引力公式非常類似。設力（Ft）為某一試探電荷在機關電荷産生的電場強度下受到的力，E通過下式所示的方式，以V/m（伏/米）為機關測量得到：

式中加粗的字型表示三維空間中的向量，ε0=136π×10－9F/m（法拉/米），表示真空介電常數，Q表示以庫侖為機關的電量，ar是指向電場方向的機關向量，向量r的方向是從Q出發到空間中的某一興趣點P，并且r與ar的方向相同（如圖1.1所示），圖1.1中，Qt是電荷Q産生的電場中的測試電荷。

在很多情況下，電場用高斯定律更容易計算，表述為通過任何密封空間的電通量D＝ε0E，等于該空間中包含的總電量，數學表達式如下：

式中∮SD·dS表示對密閉空間進行積分。點（·）表示向量幅值與二者間所夾銳角餘弦的乘積。電荷Q可以為一些電荷的總和，即Q=∑Qi，對應于體分布電荷——

， 或者面分布等。面積分的本質表明隻有D的表面法向向量才對電荷有貢獻，反之，對于切向成分，D·dS等于零。

例如，考慮一個内圈半徑為a、外圈半徑為b的長同軸電纜，其内部導體的外表面電荷均勻分布，其密度為ρS（而外部導體的内表面電荷密度為

），如圖1.2所示，友善起見，圖中用柱坐标表示［3］。

通量在ar方向有分量，垂直于同軸電纜表面。對于z軸方向的任意長度L，有：

是以，對于環内，即a

環外的電場和通量密度都為零，淨電荷為零。

基于電能的定義，A點與B點間的電勢差（VAB）定義為：

式中W表示以焦耳（J）為機關的能量，表達式右邊為電場的線積分。電勢的實體解釋為沿着電場線方向把電荷Q從A點移動到B點産生的能量損失，對應地假設A點為高電位。通過線積分的定義，閉合路徑的靜電勢能總和一定為零，即∮E·dL=0， 這是基爾霍夫電壓法則或KVL的一般描述，該方程的實體意義為當一個電荷經過一個閉合路徑，所吸收的能量和所釋放的能量平衡，

即沒有做功。

本節最後對電容進行定義。假設有兩個帶異性電荷（每一個電荷的電量為Q）的導體M1和M2在介電常數為ε=εrε0的電場 中（如圖1.3所示），同時假設兩導體間的電勢差為V0，定義以法拉為機關的電容為：

同時，C也可以寫作：

該式表明電容與電荷量或者電勢無關，根據高斯定理，E（或D）與Q呈線性關系。

在實體意義上，電容可表示為電學系統儲存電能或者等效電通量的能力，與電感儲存磁通量類似。

回到之前同軸電纜的例子，内層和外層導體間的電勢差可以通過對E=D/ε（其中D在之前就已經得到）進行線積分得到，則有：

是以機關長度的電容為：

顯然，電容隻與同軸電纜的半徑和介電常數有關。

1.2磁場和電感

一個穩定的磁場可以通過以下3種方法獲得：永磁體、線性時變的電場，或者僅僅用直流電産生。永磁體在射頻和微波器件中有一些應用，如用在無損環形器中的無源、非互易的回轉器［4-5］。然而，本書更加關注後兩種産生穩定磁場的方法，關于回轉器和循環器的讨論可參考文獻［4］。

在1820年，畢奧薩伐爾定律提出，将給定點P的磁場密度H（表示為A/m）與流過長度為dL理想燈絲的微分向量（如圖1.4所示）的電流I的關系表示為：

叉乘（×）表示兩數幅值相乘的結果再乘以較小夾角的正弦值。磁場方向垂直于導線和向量r确定的平面，向量r的方向根據右手螺旋法則确定。該定律指出：磁場強度與電流大小成正比，與離P點的距離平方成反比，同時與電流元和從電流元到P點之間夾角θ的正弦成正比，如圖1.4所示。

關于磁場描述，更為大家熟知的是于1823年由安培提出的定理，即安培環路定律 ：

上式表明磁感應強度矢量（H）沿任一閉環路徑的線積分等于該路徑所包含的電流（如圖1.5所示）。該定律被證明是更有用的，因為隻要已知該磁場結構就可以輕松地計算磁

場，當電流對稱分布時更是如此。通過比較，安培環路定律與高斯定律相似，而畢奧薩伐爾定律與庫侖定律更為相似。

例如，假設有一根長同軸電纜中心導體通過電流為I，外層電流為-I，如圖1.6所示，顯然z軸方向沒有任何場強分量，這是因為場強的方向必須垂直于電流方向，而且根據對稱性，H不可能是φ或者z的函數，是以可以寫為

。在同軸線内，即a

另外，與電場相似，由于電流通量為零的線圈外的磁場也為零，表現出同軸電纜的屏蔽作用。應該注意到，在電纜内部，磁場由環繞着電流的閉環組成，與從正極開始終止于負極的電場線相反。

真空中，磁感應強度B（機關為特斯拉或Wb/m2）定義為：

B=μ0H

式中μ0=（4π×10－7）H/m（真空中），稱為磁導率。通過一确定面積S的磁通量φ定義為：

通常磁通量是電流I的線性函數，即φ=LI，其中比例系數L為感應系數，機關為亨利，有：

由于H為電流I的線性方程，根據安培定律（或畢奧薩伐爾定律），感應系數是導體的幾何形狀及電流分布的方程，而與電流本身無關。例如，計算之前例子中的同軸電纜的總磁通量，可得到機關長度中感應系數為：

然而根據高斯公式，同一根同軸電纜每機關長度的電容等于：

顯然LC=μ0ε。

通過磁鍊定義回路1和回路2之間的互感M12，則有：

式中φ12表示I1産生的穿過電流為I2的線圈的磁通量，N2是線圈2的匝數。是以感應系數依賴于兩電流之間的磁互相作用。

例如，假設有N匝有限長度為d的密繞線螺旋線圈，其電流為I，如圖1。7所示，假設相對于直徑，螺旋線圈很長。

磁場方向為az的方向，電流與aφ同向，由安培定律可知在螺旋線管上有：

如果半徑為r，則對應面積為A=πr2，其感應系數為：

現在考慮兩個同軸線圈管，半徑分别為r0、r1，且r0< r1，通過的電流分别為I0和I1，匝數分别為N0和N1，如圖1.8所示（頂視圖）。

為了得到互感系數M01，有：

其中

是較小的螺旋線圈産生的磁場強度，由于較小的螺旋線圈外的H0為零，是以可以得到：

通過相似的過程可以得到M10，其值與M01相等，與預想的一樣，符合互易性。

1.3時變場和麥克斯韋方程組

正如之前所述，時變場也能産生電場和磁場。在1831年，法拉第發表了基于實驗的發現，證明了一個時變的磁場确實可以産生電場。他将兩根銅絲分别繞在一個鐵圓環上，其中一根接電流表，而另一根接電池和開關（如圖1.9所示），當開關閉合時，觀察到電流表的指針瞬間偏轉了；同樣，當開關由閉合到斷開時，他觀察到了指針的偏轉，隻是偏轉的方向與前一種情況相反。用場的理論解釋，可以認為時變的磁場（或磁通量）産生了一種電動勢（機關為伏特），進而在閉環電路中産生了電流。時變電流，或者恒定通量與一個閉環的相對運動，或者兩者都發生，都會産生時變的磁場。

法拉第定律通常表述為：

其中線積分來源于電壓的基本定義（E為電場強度），負号表示由于磁通量增加所産生的感應電流将會減小法拉第磁場的幅值，這就是衆所周知的楞次定律。

類似地，時變的電通量會産生磁場，由修正的安培環路定律表示，其表達式為：

式中D為電通量密度，麥克斯韋定義

為位移電流。總之，積分形式的麥克斯韋方程組可以表示為：

如前所述，第3個方程為高斯定律。第4個方程表明：與電場方向從正極開始終止于負極不同，

磁場形成同心圓，即磁通線不會終止于磁極，而是形成一個閉環（如圖1.10所示），是以，一個磁場（或磁通量）的閉環表面積分值為零。

在真空中，媒介是無源的，電流I（或ρV）等于零。結合前兩個麥克斯韋方程式，可以推導出E對位移的二階偏導與其對時間二階偏導的關系，以描述真空中的波動。例如，如果E=Exax，或者如果電場僅朝x方向，可直接用公式［6］或者利用差分形式的麥克斯韋方程得到 ：

z軸方向的傳播速度定義為：

式中c=（3×108）m/s，為真空中的光速。

1.4電容和電感的電路描述

電容的電學符号如圖1.11所示，電容上的電壓（V(t)）和電流（I(t)）滿足以下關系：

式中Q為電容上存儲的電荷量，上式即為衆所周知的連續方程。對于線性時不變的電容，由于Q＝CV，可以得到電容表達式：

需要注意的是在大多數實體書中，連續方程都表述為

，表示正電荷向外流動必須與閉合表面電荷（Q）減少量相平衡，此時忽略了負号，因為在圖1.11中，電流以極闆電荷随時間增加的比率流入，而非流出。

電感的電學符号如圖1.11所示，其電壓和電流需要滿足如下關系：

式中φ表示磁鍊，該方程是法拉第電磁感應定律的直接結果。由于φ=LI，故可得到衆所周知的表達式：

在電感的I與V表達式中再次忽略了負号。下面證明上式是否符合楞次定律：假設電流增加，即dI/dt>0，表示磁場必須同時增強，是以dφ/dt>0，同時V（t）＞0，即A點的電勢高于B點的電勢，産生了阻止電流進一步增加所需要的極性，符合楞次定律。

1.5分布參數電路和集總參數電路

基爾霍夫電壓定律（KVL）表明：沿着閉合回路所有的電動勢的代數和等于零，即∮E·dL=0， 然而麥克斯韋第一方程（或前面介紹的法拉第定律）中的表述與此不同。麥克斯韋第二方程中的時變項是位移電流，同樣違反基爾霍夫電壓定律。為了進一步證明，研究一下如圖1.12所示的簡單電路，該電路由一個理想的（零電感和阻抗）導線連接配接平闆電容的兩端而構成回路。

假設外加一個磁場于環内，該磁場強度以時間的正弦規律變化，是以根據法拉第定律，電容上産生了大小為V0cos（ω0t）的感生電動勢；另一方面，假設導線是理想的，則由基爾霍夫電壓定律可知電容上的電壓為零，此時電容上的電壓在導線中産生的電流I為：

式中ε，A，d都是平闆電容的參數。在任何閉環回路中，根據安培環路定律可知電流可以産生磁場，尤其當該特定閉環經過電容的兩個極闆時，可以得到位移電流。在電容内部有：

根據麥克斯韋第二方程，位移電流為：

上式與之前得到的閉環電流結果相同。

上述結果引出關于集總電路和分布參數電路的讨論。如果各參數之間的傳輸延時可以忽略，則可認為電路中基本參數及其之間的聯系是集總的（此時可以應用基爾霍夫電壓定律和電流定律）；如果元件足夠大或者頻率足夠高（或等效延時足夠短），此時就必須視為分布參數元件，這意味電阻、電容和電感都必須用機關長度元計算。分布式電路的常見例子是傳輸線或波導管，用于将電磁能從一處傳到另一處，兩處之間的距離遠大于波長。下面舉個例子說明如何處理分布參數電路：假設一根無損導線連接配接電源與負載，如圖1.13所示。

由于每一部分都對應到導線中很小的一段，即dz趨近于零，不考慮導線的分布特性，該部分滿足KVL（基爾霍夫電壓定律）和KCL（基爾霍夫電流定律）。

由KVL可得：

進一步可得：

類似地，由KCL可得：

上式兩邊對空間（z）求偏導，同時對時間（t）求偏導，則可消除電流項，即有：

可以發現這個微分方程與之前在波傳導部分中給出的方程很相似，其中電壓替代了電場強度，傳播速度（稍後定義）則為

。由于L和C分别為每機關長度的電感和電容，它們的機關與波導公式中μ和ε的機關一緻，即H/m和F/m。

該微分方程的解可表示為：

通過将描述分布式波傳導的原始微分方程中的V(z,t)代入上式即可證明，式中函數f1和f2為任意二階偏導函數，并以t±2ν為自變量，f1和f2的變量分别表示函數在z軸方向上前移或者後移，是以分别用V+和V－表示。為了更好地了解，假設保持函數f1的自變量恒為零，z必須以ν×t的速度随時間而增大，是以函數f1發生前移，或朝z軸的正向移動；另一方面，對于f2，z随時間減小，表示向後移動。正向移動信号如圖114所示，圖中f1和f2都為正弦函數，實際上這是将在第3章讨論的正弦波穩态解的情形。

通過解原始的微分方程可以得到傳播速度：

對于電流，有如下相似解：

式中Z0表示導線的特征阻抗，以歐姆（Ω）為機關，其值為：

盡管Z0以歐姆為機關，但是由于已經假設導線是無損的，是以它并不是一個實體電阻，僅僅是将向前、向後的電壓和電流聯系起來（如圖1.13所示）：

回到之前同軸柱的例子，由于L和C的值都已經得到，其特征阻抗可以表示為：

式中ε=εrε0，為同軸柱的介電常數；由a、b和ε的典型值可以得到特征阻抗約為幾十歐姆，通常設為50Ω。

1.6能量和功率

根據電磁場理論可以定義儲存的靜電能和磁能為［6］：

式中WE和WH分别表示電能和磁能，以焦耳為機關，上述積分都為體積分。

根據電路理論，如圖1.15所示，信号源連接配接到單端口網絡，電流I(t)流入該端口，并在該端口上産生電壓V(t)。

電源給該端口提供的功率定義為：

p(t)=V(t)I(t)

初始時間t0到時間t由電壓提供的能量為：

對于初始電壓或電流為零的理想電容，即Q(t0)=0，有：

式中積分内的V和I都以等效的電荷量Q代替，與電感類似，有：

可以再一次證明能量方程中μ、ε與L、C及E、H與V、I之間的相似性。由于E和ε都以每米（/m）為機關，故場能量積分都是體積分。注意，有時采用能量定義計算一個給定的幾何形狀的電感或電容更友善，例如可以采用

計算電感（與先前提到的L＝φ/I相對應）。根據其定義，WH是B和H的函數。基于H表示WH和I，可以得到 ：

上式表明電感僅僅是幾何形狀的函數，而不是電流的函數，這是之前所讨論的定義的一個證明。關于互感也存在相似表達式，其中的積分定義在兩個載流電路中（如圖1.16所示）：

總結電場和磁場與電壓和電流之間的相似性是有意義的：

同時需要注意高斯定理和安培定律之間的相似性，同時還有庫侖定律及畢奧薩伐爾定律之間的相似性。

1.7 LC和RLC電路

在了解了背景知識以後，可以用正确的工具來分析LC電路。理想的（無損的）LC電路如圖1.17（左圖）所示。

假設電容的初始電壓為V0，根據電路知識，初始電流可能來源于與電路并聯且大小為I(t)=V0δ(t)的脈沖電流源。如果脈沖有一個大小為V0的電荷量，電容的初始電壓将為vC(0+)=v0。将電容上電壓vC(t)視為變量，可以得到：

通過對上式兩邊進行拉普拉斯變換可以求解出上述微分方程，有［7-8］：

得到電路的兩個極點分别為

，最終的解為：

vC(t)=V0cos（ω0t）

下一步将計算儲存在電容和電感中的電能，根據之前章節的讨論，有：

相似地，電感流過的電流為：

由于C＝1/Lω20，則有：

是以任意時刻總的能量都為

，即為一個常數，并且等于電容上最初存儲的電能。由于LC電路是無損的，能量僅在電容和電感中間接轉換，表現出穩定振蕩，這是可以預期的結果，如圖1.18所示。

實際上電容和電感都是有損耗的，可以将總的損耗看作一個并聯電阻，如圖1.17右圖所示。假設損耗是适度的，即在關注的頻率下電阻值比電容和電感的阻抗都要大，可以得到新的微分方程：

可解出其複數極點為

，式中Q稱為品質因子，其值為![image.png(

https://ucc.alicdn.com/pic/developer-ecology/f60b6d47d6434aa698fda025f5e534ef.png)

。為了得到複數極點，Q值必須大于1/2，該定義隻是品質因子的數學表達式，也可以從能量的角度分析其實體意義。圖1.19顯示了複數極點在s域中的位置。

定義φ=arccos（ωd/ω0），則電容電壓vC(t)和電感電流iL(t)可表示為：

假設Q>>1，儲存在LC中的能量近似為：

表明初始能量CV20/2以e的指數幂減少，如圖1.20所示。

與理想諧振器相似，電容與電感上的能量以頻率ωd（稍小于ω0）在兩者之間轉換，最終衰減為零。總的能量衰減率或等效為電阻耗散功率：

重新整理上式，可以得到一個更具有實體意義且可能是更基礎的品質因子的定義：

注意，如圖1.21所示的曲線上的任何一點的斜率（即歸一化衰減率）都等于WT/Q。

為了保持穩定振蕩，必須補償電阻所消耗的功率，由于無源電路不可能産生能量，是以必須通過有源電路實作，如圖1.22所示。功率的産生要求電流電壓乘積為負，是以希望有源電路的IV特性曲線的斜率為負值，實際上相當于一個負電阻抵消正電阻造成的功率損失，斜率越大，則效率越高。忽略有源電路細節的影響，建立理想的單端口電路模型，其IV特性曲線如圖1.22所示。能量轉換需要能量源，通常通過直流電源給有源電路供電（即圖1.22中的VDD），可以合理地假設，随着電壓或者電流增加，它們最終會達到一個極值，如圖1.22中标示的I0一樣。

當消耗的功率與補償的功率處于穩定狀态時，電容上的電壓為vC(t)=V0cos(ω0t)，與理想的電容器一樣，存儲的總能量一定等于CV20/2。

由于該電壓加到有源電路上，希望由該電壓産生的流過有損LC的電流如圖1.23所示。

是以，諧振電路的平均功耗（與有源單端口産生的功率相等）為：

根據品質因子定義，有：

在并聯RLC電路中，Q=RCω0，是以有

上式表明穩定振幅V0僅僅是單端口電路飽和電流和損耗量的函數。當忽略其電壓時，單端口電路始終從電源攝取2I0的恒定電流（以産生如圖122所示的波形），是以其效率為：

假設V0可以達到的最大擺幅為2VDD，可以很直覺地解釋這一結果，由于假設的高Q值的諧振器産生正弦波，而有源電路提供的電流是方波（如圖123所示），使其IV特性曲線的斜率非常陡。隻考慮基波，則其損耗因子為2/π，這與第7章中将要介紹的硬開關混頻器的結果相似。

不必過多地關注如何實作保持振蕩所需的有源電路，本章的重點是在LC電路本身，而有關前面提到的各種實作有源電路的拓撲結構将會在第8章關于LC振蕩器的章節中介紹。

實際上，與模型相反，電感由于有限的導線電導率而存在歐姆損耗，實體模型等效于串聯了一個電阻，如圖1.24所示。雖然将會在第3章中系統地證明這一點，但是很容易證明當Q值很大時，圖124中的兩個電路是等效的。品質因子為：

另外，如果電容存在并聯電阻損耗，假設所有元件都具有高Q值，則可以得到等效并聯RLC電路的Q值：

式中的QL和QC分别是電感和電容的品質因子。

1.8內建電容

在實際應用中經常需要調節LC諧振回路的振蕩頻率，例如，在一個調諧放大器中，可能需要進行離散調諧以展寬帶寬，而在鎖相環的振蕩器中，同時需要離散與連續調諧。由于實體結構限制，電感經常是不可改變的［9］，雖然提出了通過采用多抽頭分段電感的多種結構，但這通常以影響性能為代價，而且最多也隻能提供離散調諧。另一方面，電容非常适合調諧，本節将會讨論一些經常在射頻內建電路中使用的方案，在此之前，首先簡要地讨論內建電路中常見的固定電容。

MOS半導體的栅電容可用以實作高密度但是非線性的電容，如圖1.25（灰色曲線）所示為一個40nm正常NMOS管電容與栅極電壓關系的仿真曲線，根據栅極電壓不同，半導體可以工作在積累區（VGS<0）、耗盡區（0VTH）［2］。器件的門檻值電壓（VTH）估計為400mV左右，在反型區或積累區，電容值達到最大，近似等于栅氧電容COX，為了得到較好的線性響應，器件偏置電壓應大于門檻值電壓（在以下的例子裡即比500mV大），對于低電源電壓的場合并不适用。而且，MOS電容經常有很大的栅極漏電流，這可能是個很大的問題，是以，可選用厚氧器件，雖然密度較低，但是漏電流很小。

為了避免反型，NMOS管可放在n阱中［10］，也不會有額外的花費，這即為衆所周知的積累型MOS電容（如圖1.26所示），對應的半導體要麼工作在耗盡區，要麼工作在積累區。

此時的CV特性曲線如圖1.25（黑色曲線）所示，盡管電容仍然具有很強的非線性，但積累區從0V左右開始，而不是門檻值電壓附近，是以，器件較易偏置于低電壓下，而且更容易使栅電容達到近似為COX的平坦區域。

在大多情況下，如當電容連接配接在運放的回報回路中時，采用相對大的偏置電壓可能是不現實的，一個替代方法是采用由邊緣場構成的線性電容，而在大多現代CMOS工藝中，由于金屬線靠得很近，這種邊緣場的電場強度很高。雖然存在信号走線和子產品間連接配接的問題，但同時會有很多金屬層可用，在制作線性電容時，可以充分利用這些優勢。如圖12.7所示的一個例子中，為了使密度最大化，在工藝所允許的最小空間中走最小寬度的金屬線，兩端組成類似梳狀的結構，另外，連接配接在每一端的多層金屬會被放在各自的頂層，進而進一步增加密度。

在CMOS工藝中，通常提供厚的或者超厚的頂層金屬層用于産生時鐘樹布線或者電感。由于所允許的最小間距太大，頂層厚金屬層可能用不到，另外關于底闆寄生電容大小也必須考慮，是以，放棄底層金屬層中的一層或者兩層也許是有利的（尤其是多晶矽和M1金屬層，因為它們的薄膜電阻很大），使電容的位置進一步遠離襯底，進而減小底闆電容。然而，如果使用更少的金屬層，對于相同的電容值，電容結構需要更大，底闆寄生電容也會是以而增加。在M6 40nm CMOS工藝中，最好的折中為使用M3～M5金屬層，電容密度約為2fF/μm2。底闆（或頂闆）的寄生電容通常非常小，大約為1%～2%，對于給定的結構，通常很難通過公式計算出精确的電容量，最好采用參數提取工具（如EMX）預測電容值。

電容的集總模型如圖1.27所示，由于電容的實體結構特點，底闆和頂闆寄生通常是對稱的，并與襯底相連，襯底是有損耗的，通常用并聯RC電路作為模型。由于底闆寄生電容（Cbottom）很小，RSUB對于體工藝通常很大，該損耗對于頻率高達幾GHz的信号來說不能忽略。此外，構成梳狀線的金屬也存在串聯電阻，對于給定的電容，如果該結構由N個小單元并聯組成，其電阻将會減少到1/N2，對于一個好的設計，典型地會得到一個很高Q值的電容。

由于金屬線之間的實體間隔通常随工藝改善，邊緣電容可以很好地随着工藝減小尺寸，圖1.28所示為在一些最近标準CMOS工藝中的最大叉指邊緣電容密度，以fF/μm2為機關。注意，與MIM（金屬絕緣體金屬）電容不同，邊緣電容不需要額外的工藝步驟，是以不需要額外的花費。通過比較，28nm工藝下薄氧MOS電容為23fF/μm2（對應的栅氧厚度約為1.25nm），而厚氧的MOS電容為10fF/μm2。需要注意的是，如果使用MOS電容，通過填充頂層邊緣電容可以進一步提高密度。

連續調諧可以通過使用之前讨論的兩種MOS結構中的一種實作，特别是，如果需要提供更寬的調諧範圍，n阱中NMOS結構更合适。對于正常的NMOS，忽略施加的直流偏置，如果諧振回路的電壓擺幅很大（與大多數CMOS振蕩器一樣），有效電容近似為COX，這是因為耗盡區電容在CV曲線中隻對應一個相對窄的區域（如圖1.25所示），為了證明這一點，圖1.29顯示了28nm MOS電容的大信号仿真，圖中給出了4個不同的信号擺幅——0V、0.5V、1V和1.8V下的有效電容與控制電壓的關系，此處的有效電容定義為電流的基波分量除以電容的電壓擺幅，并對角頻率進行歸一化處理。

對于正常MOS電容，最大電容對最小電容的比率（近似為COX比COX‖CDEP）約為2.5，當信号擺幅增加時縮減到小于1.4。另一方面，積累型的可變電容器的最大電容與最小電容的比值更小，約為2，當信号擺幅達到1.8V時也可以很好地保持。這兩種可變電容尺寸相同，同時采用溝道長度為0.75μm的厚氧層NMOS管。對于短溝道電容，雖然會導緻有高Q值，但是可調諧性更差。

由于連續可調諧電容的Q值不一定很高，可以通過将MOS可變電容與開關線性電容一起進行離散調諧以獲得更寬的調諧範圍，并且不犧牲Q值，如圖1.30所示［11］，這也會導緻低的壓控振蕩器（VCO）增益，是以對VCO控制電壓的噪聲和幹擾更不敏感。MOS管可變電容隻需要提供足夠的範圍以覆寫最壞情況下的離散步長。

更大的開關會導緻低阻抗，由此産生更好的品質因子，然而，開關在斷開時的寄生電容會限制調諧範圍。如果設計成差分，可以得到相同的調諧範圍，但是Q值加倍，同時導通電阻減半。一個28nm CMOS工藝下的差分設計如圖1.30所示，由32個40fF的線性電容單元組成，總的電容可以從430fF變化到1.36pF（大約3倍），步長為29fF（遠小于40fF，因為開關寄生）。在3.5GHz下，當所有的電容都接通時，Q值從最大的80變到45。開關尺寸為11×1/0.1μm。

1.9內建電感

單片電感最先在1900年引入矽工藝［12-13］，從此廣泛地用于射頻和毫米波應用中。由于制造限制，片上電感通常用金屬螺旋線實作。為了得到更低的功率損耗和更高Q值的電感，通常使用頂層金屬，其厚度典型地很厚甚至超厚。應用畢奧薩伐爾定律計算磁場，可以得到一根長度為l的矩形斷面在中等頻率（幾GHz）下的自感［14］：

式中t為金屬厚度，對于給定的工藝，其值是固定的，而W是金屬寬度，這是一個設計參數，所有的機關均為米，假設長度遠遠大于寬度，則相同導線在低頻下的方塊電阻為：

式中R□為金屬方塊電阻（對于40nm工藝極厚的M6金屬層約為10mΩ/□）。增加W會減小片電阻值，但也會導緻電感的減小和面積的增加。如果對于給定的電感隻考慮得到最大的Q值，隻增大W也隻會在一定的範圍内有所幫助，因為更大的W需要更長的長度來保持感抗，并産生更大的電阻。實際上，感抗對W的對數依賴特性說明開始增加W會造成Q值很大程度的改善，但是超過一定值隻會導緻更大的面積和更大的電容，對于Q值的改善很小。

例如，對于l=1mm，W=7μm，t=3μm的情況，感抗約為1.16nH，低頻下M6金屬層的串聯阻抗為2.8Ω。假設低頻并聯電阻為唯一的損耗來源，這将導緻在4GHz下的Q值上限為21.6，然而在實際中并不是這樣。事實上在更高頻率下的趨膚效應将會導緻更低的Q值，與上述公式顯示情形一緻。可以通過觀察良導體表面的電磁波表現的本質特征來了解趨膚效應。在之前的章節裡簡潔地讨論了波傳導的基礎，這裡隻給出其最終的結果，因為更詳細的讨論超出了本書的範圍［4-5］。在一種導電媒體中，傳導電流σE遠遠大于位移電流，電場可以表示為：

假設電場隻在x軸方向，γ值為：

式中σ為電導率，ω0為頻率，

為趨膚深度，這表明在導體中，在離趨膚深度為δ的導體中場衰減了e-1，這可以與金屬在高頻下的寬度或者厚度相比拟，例如在40nm CMOS工藝下，M6金屬層的表層厚度在4GHz時約為1μm。結果，有效的電流更多地趨向于在表面流動，是以增加了電阻值；對應地，一個包含趨膚效應修正的金屬電阻表達式如下：

式中t為金屬厚度。在低頻時δ很大，等式可以簡化為關于電阻的原始表達式。然而，在高頻時，指數項趨于零，是以有：

即t在高頻時被δ代替，很顯然會導緻更大的電阻值。

1.9.1螺旋電感

如之前所描述，采用一根長導線作為電感顯然不是一種可行的選擇，除了面積之外，将其連接配接到任何電路都是不實際的，用其構成更為緊湊和實際的螺旋線則更為普遍。最自然的選擇是圓形，然而，圓形在內建電路中是實體上不可實作的，相同的長度可以環繞成方形螺旋，如圖1.31所示。根據畢奧薩伐爾定律，4條邊的磁場在中心疊加，方向垂直于紙面，盡管不會在邊上顯著地疊加。由于允許45°角存在，對于圓形更好的近似可能可以用六邊形或者八邊形實作，這會導緻磁場顯著增強（如圖1.31所示），通常達到更大的Q值。

螺旋線的電感可以表示為以下一般表達式［14-15］：

式中第一項表示每條邊的自感之和，第二項和第三項表示傳輸同向或者反向的平行邊之間的互感。如圖1.31所示的單匝方形螺旋線的情形，由于平行邊隻傳輸方向相反的電流，是以式中第二項不存在。對于之前的例子，暫時忽略互感項（第三項），并假設每條邊的長約為250μm，總的電感為4×0.22=0.88nH，此值比由直線結構得到的1.16nH小。顯然，這與之前所述的電感量與電感長度的附加對數有關。事實上，當負的互感進一步減小時，這個電感量會更小，由于串聯電阻幾乎相同，之前得到的上限Q值也要對應減小。兩根長度均為l相距為d的導線之間互感的封閉表達式單調冗長，不利于計算［15-16］，為了進一步觀察，隻提供兩根長度為l的絲狀線（其t和W都遠比l和d小）的表達式，其封閉公式的解相對簡單。直接通過畢奧薩伐爾定律對空間積分就可以得到以下公式：

對于之前的例子，如果l/d≌1，此時很好地近似于一個方形單匝電感，兩個直角邊的互感大約為每條邊電感的12%，進一步減小了總電感。

另外，增加線圈的匝數可以增加電感（如圖1.32所示），假設内徑（DIN）很大，即内徑和外徑（DIN和DOUT）相差不大，這種增加是因為電流方向相同的相鄰邊之間貢獻了很大的正互感，而由于電流方向相反的邊之間的負互感因其距離遠依然很小，是以，在設計螺旋電感時，通常采用中空的結構，并且相鄰的邊盡可能地拉近，但是保持很大的内徑會限制所允許的線圈匝數。

多匝電感通常有更高的Q值，但同時也存在更大的電容，多匝電感對Q值的改善并不能達到預期的原因是一種稱為電流擁擠效應或者鄰近效應的現象［15］。臨近匝之間旋渦電流的互感和與之相關的損耗增加了Q值損耗，進而限制了Q值的改善。如果所需要的電感很小（即幾納亨），此時大半徑的單匝線圈依然是最佳的選擇。

通常對于一個給定的結構，知道金屬寬度（W）、相鄰直角邊的距離（S）、線圈匝數、内外徑或是總長度，就可以充分地表示電感（如圖132所示）。對于大多數射頻應用，內建電感的實際值從幾十納亨到幾納亨。除了非常簡單的結構，獲得電感值的封閉公式是不可能的。已對得到關于螺旋電感值的封閉表達式已做過大量嘗試，這些表達式都有不同程度的準确度損失［16-18］。考慮到效率和精度，最好用例如EMX或者HFSS 等普通的三維電磁模拟器，其現已廣泛地被射頻設計者采用。

1.9.2二階效應

除了歐姆損耗，還有很多其他因素限制電感的性能，如圖1.33所示，金屬條與襯底之間不可避免地有非零電容存在。

這種電容限制了電感可以應用的最高頻率，通常稱為自諧振頻率，即總的寄生電容與電感諧振的頻率。為保證正常工作，自諧振頻率應明顯高于電感應用的最高頻率，而且這種電容是連接配接到有損的矽襯底上，會降低更高頻率下的品質因子。電感線不同邊之間也存在電容，這種電容在單匝結構中可以忽略，然而在多匝結構中，這種電容将會相當重要，這是為了最大化的互感，電感相鄰邊放置得很近。實際上，在多堆疊結構（如圖1.34所示）中這種電容更大，這種結構中一些構造相似的電感用更低層金屬串聯起來，在不增加面積的前提下增加電感；考慮到更低層金屬引入更大的方塊電阻，這種結構也會導緻Q值下降，是以除非需要很大的電感，否則這種結構不常用。

另一種結構是将一些用更低層金屬設計的電感通過并聯的方式連接配接彼此（如圖1.34所示）。雖然不會引起感抗增加，但是在某種程度上會改善歐姆損耗，由于更低層金屬對襯底的電容更大，這種結構以更低的自諧振頻率為代價。由此，出于以下兩個原因，這種結構的Q值可能也不會得到明顯的改善：第一，更低層金屬的薄層電阻性能更差；第二，由于對襯底的寄生電容增加，電容耦合使得Q值衰減更嚴重。在更低的頻率下，比如1GHz或者更低時，這種結構可能有幫助，但在更高的頻率下，如2GHz或者更高時，除了上述兩點原因，趨膚效應也會變成很重要的問題，并聯金屬層可能不會改善Q值。

如圖1.33所示的結構在高頻時也會有磁損耗，交流電流流過電感線圈産生時變的磁通量，進而産生磁場。法拉第定律說明襯底中産生電場Esi。根據歐姆定律，這一電場産生的電流密度為J=σsiEsi，其中σsi為矽襯底的電導率，這就像存在一個變壓器，表示與電感并聯的襯底電阻（或損耗）（如圖1.33中右圖所示）。為了降低這種損耗，希望選用較高的襯底電阻（更低的σsi）。

幸運的是大多數現代CMOS工藝采用的襯底的電阻率相當高。電容損耗通過增加金屬屏蔽層會有所減緩，但是磁損耗與此不同，增加屏蔽層通常沒有作用，因為這相當于将電感短路。為了進一步解釋，如圖1.35所示，在28nm CMOS工藝下1nH電感有無本征層情況下的仿真Q值，沒有本征層則導緻大量的襯底注入提高了正常NMOS器件的門檻值電壓。是以，溝道電導率會從10mS/m增加到約50mS/m，雖然低頻時Q值的差别很小，但是高頻時襯底的電導率增加會導緻Q值的衰減，是以這一層應該設計為免除屏蔽層，并減小高頻時的襯底損耗的影響。

1.9.3差分電感和變壓器

如果在一個差分電路中應用兩個相同的電感，則它們可以用一個差分電感替代，即兩個單獨的電感組合起來（如圖1.36所示）［19］，這自然會使得設計更緊湊，而且更小的面積意味着更少的襯底損耗和電容，這在高頻的情況下很重要。當然，以上說明是基于這樣一個假設，即用差分電感來實作兩倍大的電感，其面積與一個單端電感相比保持不變。這通常與事實不符，面積通常會增加一點，但是本質上面積是節省的。

盡管希望減少與襯底之間的耦合電容（理想條件下為一半），與兩個間距很遠的單獨電感相比，差分電感相鄰邊之間有較大的電容，是以差分拓撲結構主要的缺點為自諧振頻率更低，如圖1.36所示。差分電感的另一個缺點是，任何不期望的到電感的耦合(通過寄生電容，尤其是磁源)，都會以不期望的差分信号的形式出現在兩個端口上；然而對于兩個單端電感，如果寄生源足夠遠，就會以共模噪聲的形式出現在輸出端。

注意差分電感實際上是個變壓器，第二個端口短接到一起連接配接到共模電壓上，如圖1.36所示（最右端）。是以在設計變壓器時或多或少會遇到一些相似的折中，明顯地，重點在于将主要的走線和次要的走線排布得越近越好，以最大化耦合系數（K）。通過合理設計，K值可以達到0.8。

在第3章中将會從電路的角度更深入地讨論變壓器。

1.9.4電感集總電路模型

電感的尺寸相對較大，其本質上是分布式的，通過簡單的集總元件可以很友善地對電感模組化。

最常見的電路如圖1.37所示，由低頻電感（L）、串聯歐姆電阻（r）、襯底的氧化物電容（COX）、襯底模型（RSUB和CSUB）和用以模拟相鄰邊間的電容（CF）組成。這種模型的主要優點是其所有的元素都是實體存在的，而且提供了在很寬的頻率範圍内都有效的合理近似。是以射頻設計者經常用這種模型來模拟電感。由于襯底特性并不完全已知，RSUB和CSUB通常是拟合參數，COX與RSUB/CSUB一起足以用來計算襯底的磁損耗和電容損耗。雖然本模型适合表示至少在一個确定的頻率下的電感，也可以描述一定頻率範圍下的情形，但是如果對全帶寬範圍内的模型感興趣，也許可以利用模拟器(如EMX)得到的S參數。為了加快仿真速度，可能會使用EMX來産生包括RLC元件和受控源的分布元件等效電路。

不失一般性，研究一下單端口電感等效電路模型，假設一端接交流地，則輸入阻抗為：

為了簡化，我們認為r<，後者成立的原因是襯底阻抗很大，且在高頻時COX的阻抗相對很小。

是以有：

該阻抗具有帶通特性，盡管在很低頻率下也不會接近零，而等于低頻時的串聯電阻r，與期望一緻。自諧振頻率為

時，其阻抗達到最大，為

。假設在更高的頻率下r<電感值與頻率相關，根據定義，其值可表示為L(ω)=Im{ZIN}/ω，進而可推導出：

顯然，電感在低頻時其值為L，然而在自諧振頻率時最終趨近于零，這是合理的，因為在自諧振頻率時，輸入阻抗相位為零（如之前讨論，RSUB達到峰值）；遠離自諧振頻率時，ZIN是容性的。L(ω)對ω求偏導，可以發現與預期一樣，電感在接近自諧振頻率之前達到峰值。定義一個無量綱參數

，電感接近峰值時頻率約為(1-η)ωSRF，此時電感值為L/4η，注意典型情況下，η<<1；電感值在自諧振頻率之前達到峰值的原因是分母中的(1-LCSUBω2)2為二次項，其趨近零的速度比分子快。

一個基于28nm CMOS工藝設計的差分電感的例子如圖1.38所示，該電感在4GHz頻率時設計為1nH，圖中繪制了EMX拟合和集總等效曲線；電感的測試特性與EMX預計的結果非常接近。集總模型中的器件值為L=1nH，r=0.44Ω，COX=5.57pF，CSUB=61fF，RSUB=872Ω；這個電感僅采用頂層金屬的兩匝設計，總長度約為1.1mm，寬度為22μm，通過計算得到其直流電阻約為0.5Ω，如果設計成一個長的導線，則其直流電感值為1.1nH。

該電感的自諧振頻率約為20GHz，與分析所預計的值非常接近，此時電感約為零，并且EMX和集總模型在一個很寬的頻率範圍内都能很好地比對。根據推導，可以預測到當η=0.074時，電感值在18.5GHz處達到峰值，其值為3.4nH。

已經證明，要找到關于Q值的近似表達式是很困難的，在這裡隻給出定性的描述。在低頻處，π模型的第二分支是無效的，是以，Q=Lω/r，即Q值随着頻率線性增大，但是由于趨膚效應，其值會平坦一點（雖然簡單的π模型中并不能捕獲到這一點）。在更高的頻率下，COX短路，模型簡化為并聯RLC等效電路，由L、RSUB和CSUB組成，是以有Q=RSUB/Lω，即其值随頻率線性下降；在自諧振頻率的情況下Q趨于零，此時ZIN為純實數，而且高頻和低頻的品質因子在頻率近似為rRSUB/L時近似相等，這說明平衡低頻和高頻損耗優化了給定頻率處電感的品質因子。

同一電感的Q值仿真結果如圖1.39所示，隻計入串聯電阻時的品質因子在4GHz處為57，而計入襯底電阻損耗時其Q值為35，是以在4GHz處綜合品質因子為21.7，這稍微超出了EMX的結果。預計Q值在32GHz處達到峰值，這與EMX的仿真結果很接近。

1.10習題

1.使用球坐标，求半徑分别為a和b的兩個同心球殼構成的電容值；真空中一個直徑為1cm的金屬球的電容值是多少？提示：讓b→∞，是以C=4πε0a=0.55pF。

2.假設平闆電容器包含兩種不同的電媒體，用如圖1.40所示的參數求出其總電容的表達式。

3.如果在習題2所示的結構中的兩種電媒體接觸表面處加入厚度為0的第三種導體，該結構中的電容為多少？電場的形狀怎樣？如果頂部和底部極闆保持不變，而電媒體的厚度不為0，電容将會如何變化？

4.電容結構如圖1.41所示，且媒體的邊緣與兩個導電極闆垂直，重做習題2。

5.與電容類似，采用歐姆定律可以看出，一個具有有限電導σ的近乎完美的導體漏電導為

。 計算本章之前使用過的已知半徑為a和b的同軸電纜的漏電導。

6.考慮一個非常長的内外半徑分别為a和b的無電荷超導柱形殼，如圖1.42所示。有一電流為I的導線放在該柱形殼的中間，考慮到殼内的磁場将不得不為零，計算其内部和外部的磁場。如果該導線位置偏移中心但是仍在殼内，此時的内部和外部的磁場将會怎樣變化？

7.一根圓形截面半徑為a的長直導線的内電感(機關長度)是多少（采用能量的定義）？答案：μ0/8π。

8.有限長度為l、半徑為r的導線的直流電感為

，長度為2mm、直徑為25μm的銅鍵合線的電感為多少（內建電路中實際的結合區典型值為50×50μm2）？讨論為什麼通常依據經驗假設鍵合線電感為1nH/mm。提示：找到内電感（前一個問題）和外電感。

9.在法拉第實驗中（如圖1.43所示），假設開關電阻為R、兩個線圈電感為L、電源電壓為VBAT，試求線圈中的時變電流。假設鐵螺旋線圈有很大的磁導率，求第二個螺旋線圈中的磁通量，并估計電流表檢測到的電場。

10.考慮一個如圖1.44所示的RLC串聯電路，其中電感初始電流為I0，寫出電路的微分方程，并求解電感電流，以及電感中儲存的總電能為多少？電阻随時間消耗的電能是多少？

11.如圖1.45所示的電路中，電感L1的初始電流為I0，在t=0時開關閉合，求電感在t→∞時的電流。答案：

。

12.根據習題11直覺讨論兩個電感中最終的電流的關系如何；求出電阻上最終的能量損耗，并根據其得到兩個電感上最終的能量和電流。可能存在電感L1上的初始能量全部耗散，最終電流為零的情況嗎？答案：電阻能量

13.假設用于壓控振蕩器（VCO）中的LC諧振回路由一個開關電容CF和标稱電容值為C(v)的可變電容組成。定義VCO的增益為

，其中V是可變電容上的電壓。證明當可調電容改變振蕩頻率ω0時，KVCO與ω30成正比。

14.求如圖1.46所示的并聯RC、RL電路的Q值。假設電感和電容都是高Q值元件，證明總Q值可以表述成1/Q=1/QL+1/QC。

15.對于輸入阻抗為Z(jω)的RLC電路，有時定義品質因子為

使用Q的能量定義和複數功率的概念來修正此定義，根據單端口導納方程Y(jω)=1/Z(jω)導出一個相似的等式。讨論該定義如何用于串聯（或并聯）RLC電路。

16.證明一般形式V(z,t)=f1(t-z/v)+f2(t+z/v)的解滿足傳輸線方程，求解出滿足該方程的速度v。

17.設計一個4nH的單層螺旋電感，假設電感值可近似表示為L=μ0N2r，其中N表示匝數，r為螺旋線半徑。假設金屬的方塊電阻為10mΩ/□，并且面積應小于200×200μm2，内徑大于150μm，金屬之間的間距為5μm，目标是在給定的限定内使Q最大化。忽略趨膚效應和其他高頻因素，找到最适宜的Q值。

1.11參考文獻