目前在研究Automated Machine Learning,其中有一個子領域是實作網絡超參數自動化搜尋，而常見的搜尋方法有Grid Search、Random Search以及貝葉斯優化搜尋。前兩者很好了解，這裡不會詳細介紹。本文将主要解釋什麼是體統(沉迷延禧攻略2333)，不對應該解釋到底什麼是貝葉斯優化。
I Grid Search & Random Search
我們都知道神經網絡訓練是由許多超參數決定的，例如網絡深度，學習率，卷積核大小等等。是以為了找到一個最好的超參數組合，最直覺的的想法就是Grid Search，其實也就是窮舉搜尋，示意圖如下。
但是我們都知道機器學習訓練模型是一個非常耗時的過程，而且現如今随着網絡越來越複雜，超參數也越來越多，以如今計算力而言要想将每種可能的超參數組合都實驗一遍(即Grid Search)明顯不現實，是以一般就是事先限定若幹種可能，但是這樣搜尋仍然不高效。
是以為了提高搜尋效率，人們提出随機搜尋，示意圖如下。雖然随機搜尋得到的結果互相之間差異較大，但是實驗證明随機搜尋的确比網格搜尋效果要好。
II Bayesian Optimization
假設一組超參數組合是\(X={x_1,x_2,...,x_n}\)(\(x_n\)表示某一個超參數的值)，而這組超參數與最後我們需要優化的損失函數存在一個函數關系，我們假設是\(f(X)\)。
而目前機器學習其實是一個黑盒子(black box),即我們隻知道input和output，是以上面的函數\(f\)很難确定。是以我們需要将注意力轉移到一個我們可以解決的函數上去，下面開始正式介紹貝葉斯優化。
假設我們有一個函數\(f:\cal{X}→\Bbb{R}\),我們需要在\(X\subseteq\cal{X}\)内找到
\(x^*=\underset{x\in X}{\operatorname{argmin}}f(x) \tag{1}\)
當\(f\)是凸函數且定義域\(X\)也是凸的時候，我們可以通過已被廣泛研究的凸優化來處理，但是\(f\)并不一定是凸的，而且在機器學習中\(f\)通常是expensive black-box function，即計算一次需要花費大量資源。那麼貝葉斯優化是如何處理這一問題的呢？
1. 詳細算法
Sequential model-based optimization (SMBO) 是貝葉斯優化的最簡形式，其算法思路如下：
下面詳細介紹一下上圖中的算法：
1. Input:
- \(f\): 就是那個所謂的黑盒子
- \(\cal{X}\):是輸入資料，例如圖像、語音等。
- \(S\):是Acquisition Function(采集函數)，這個函數的作用是用來選擇公式(1)中的\(x\)，後面會詳細介紹這個函數。
- \(\cal{M}\):是基于輸入資料假設的模型，即已知的輸入資料\(x\)都是在這個模型上的，可以用來假設的模型有很多種，例如随機森林，Tree Parzen Estimators(想要了解這兩種的可以閱讀參考文獻[1])等，但是本文主要介紹高斯模型。
2. InitSamples(f,x)→D
這一步驟就是初始化擷取資料集\(\cal{D}={(X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n)}\)，其中\(Y_i=f(X_i)\),這些都是已知的。
3. 循環選參數\(T\)次
因為每次選出參數\(x\)後都需要計算\(f(x)\),而正如前面介紹的沒計算一次函數\(f\)，都會消耗大量資源，是以一般需要固定選參次數(或者是函數評估次數)。
- \(p(y|x,D)←FITMODEL(M,D)\)
首先我們預先假設了模型\(\cal{M}\)服從高斯分布，且已知了資料集\(\cal{D}\)，是以可以通過計算得出具體的模型具體函數表示。假設下圖中的綠色實作就是基于資料集\(\cal{D}\)經過計算後的服從高斯分布模型。可以看到Each additional band of green is another half standard deviation on the output distribution.
那麼高斯分布是如何計算的呢？
因為我們已經假設\(f\)~\(GP(μ,K)\)。 (GP:高斯過程，μ:均值 K:協方差kernel,)。是以預測也是服從正态分布的，即有\(p(y|x,D)=\cal{N}(y|\hat{μ},\hat{σ}^2)\)
- \(x_i←\underset{x\in X}{\operatorname{argmax}}S(X,p(y|X,D))\)
現在已經将假設的模型計算出來了，那麼下一步我們需要基于假設模型的基礎上選擇滿足公式(1)的參數了，也就是選擇\(X\)，那麼如何選擇呢？這就涉及到了Acquisition Function，為了讓文章篇幅更易閱讀，想了解Acquisition Function移步到文末。
- \(y_i←f(x_i)\)
既然參數選出來了，那麼當然就是要計算咯。例如我們通過上述步驟已經選出了一組超參數\(x_i\)，那麼我們下一步就是将超參數帶入網絡中去進行訓練，最後得到輸出\(y_i\)。這一步驟雖然expensive，但是沒辦法還是得走啊。
- \(D←D \bigcup{(x_i,y_i)}\)
更新資料集。
2. Acquisition Function
Acquisition Function的選擇可以有很多種，下面将分别介紹不同的AC function。
1） Probability of improvement
假設\(f'=min \, f\),這個\(f'\)表示目前已知的\(f\)的最小值。
然後定義utility function如下：
\[
u(x) =
\begin{cases}
o, & \text{if $f(x)>f'$} \\
1, & \text{if $f(x)≤f'$ }
\end{cases}
\]
其實也可以把上面的\(u(x)\)了解成一個reward函數，如果f(x)不大于f'就有獎勵，反之沒有。
probability of improvement acquisition function定義為the expected utility as a function of x:
\begin{align}
a_{PI}(x)=E[u(x)|x,D] & = \int_{-∞}^{f'}\cal{N}(f;μ(x),K(x,x))df \notag{} \\
& = \cal{\Phi}(f';μ(x),K(x,x)) \notag{}
\end{align}
之後隻需要求出\(a(x)\)的最大值即可求出基于高斯分布的滿足要求的\(x\)。
2) Excepted improvement
上面的AC function有個缺點就是找到的\(x\)可能是局部最優點，是以有了Excepted improvement。\(f'\)的定義和上面一樣，即\(f'=min \, f\)。utility function定義如下:
\[u(x)=max(0,f'-f(x))\]
因為我們最初的目的是找到使得f(x)最小的x，是以這個utility function的含義很好了解，即接下來找到的\(f(x)\)比已知最小的\(f'\)越小越好，然後選出小的程度最大的那個\(f(x)\)和\(f'\)之間的差距的絕對值作為獎勵，如果沒有更小的那麼獎勵則為0.
AC function定義如下：
a_{EI}(x)=E[u(x)|x,D] & = \int_{-∞}^{f'}(f'-f)\cal{N}(f;μ(x),K(x,x))df \notag{} \\
& = (f'-μ(x))\cal{\Phi}(f';μ(x),K(x,x)) \, + \, K(x,x)\cal{N}(f';μ(x),K(x,x)) \notag{}
通過計算使得\(a_{EI}\)值最大的點即為最優點。
上式中有兩個組成部分。要使得上式值最大則需要同時優化左右兩個部分：
- 左邊需要盡可能的減少\(μ(x)\)
- 右邊需要盡可能的增大方差(或協方差)\(K(x,x)\)
但是二者并不同能是滿足，是以這是一個exploitation-exploration tradeoff。
3) Entropy search
4） Upper confidence bound
Reference
- [1] Sigopt.com. Bayesian Optimization Primer (2018). [online] Available at: https://sigopt.com/static/pdf/SigOpt_Bayesian_Optimization_Primer.pdf [Accessed 26 Oct. 2018].
- [2] Cse.wustl.edu. Bayesian Optimization (2018). [online] Available at: https://www.cse.wustl.edu/~garnett/cse515t/spring_2015/files/lecture_notes/12.pdf
- [3] Anon,How does Bayesian optimization work? (2018). [online] Available at: https://www.quora.com/How-does-Bayesian-optimization-work