數值積分的梯形逼近及誤差分析

數值積分的梯形逼近及誤差分析

引入梯形逼近的原因是，在求解一些函數的反導數時候，過程極為複雜甚至可能就不可能有簡單的數學表達式，那麼就需要把函數f的積分切成n個連續的小梯形，計算這n個連續的小梯形的黎曼和，進而得到積分。

如圖：

在區間[a,b]，把這段區間切分成等長為h的若幹個小梯形，那麼可以把[a,b]的積分：

轉換為求解這些梯形面積和的問題。梯形的面積計算無疑非常簡單：

h=(b-a)/n

顯然梯形逼近是一種大緻數值逼近，必然存在誤差T：

給出一個評估誤差的公式，若f’’連續并且M是|f’’|的值在[a,b]上的一個上界，那麼

其中h=(b-a)/n

假設f(x)=x^3，那麼在區間[1,2]，則M=6*x=6 * 2=12，h=(2-1)/n=1/n

除了梯形逼近外，在數值積分的逼近方法中還有抛物線逼近。這兩種方法可能會給使用者一個錯覺，認為步進值取的越小，越精确，事實上完全相反，當取的步進值過于小時候，反而逼近的結果令人失望，原因是步進值很小，劃分的塊太小，導緻每一塊的誤差累積起來，産生了更大的誤差。