前面說到了謂詞邏輯的一些等價關系：
1.(a) ┐∀xΦ⇔∃x┐Φ
(b) ┐∃xΦ⇔∀x┐Φ
2.假設x在Ψ中不是自由的，那麼：
(a)∀xΦ∧Ψ⇔∀x(Φ∧Ψ)
(b)∀xΦ∨Ψ⇔∀x(Φ∨Ψ)
(c)∃xΦ∧Ψ⇔∃x(Φ∧Ψ)
(d)∃xΦ∨Ψ⇔∃x(Φ∨Ψ)
(e)∀x(Ψ→Φ)⇔Ψ→∀xΦ
(f) ∃x(Φ→Ψ)⇔∀xΦ→Ψ
(g)∀x(Φ→Ψ)⇔∃xΦ→Ψ
(h)∃x(Ψ→Φ)⇔Ψ→∃xΦ
3.(a)∀xΦ∧∀xΨ⇔∀x(Φ∧Ψ)
(b)∃xΦ∨∃xΨ⇔∃x(Φ∨Ψ)
4.(a)∀x∀yΦ⇔∀y∀xΦ
(b)∃x∃yΦ⇔∃y∃xΦ
現在來證明其中的一些，需要用到之前的命題邏輯演算規則和量詞證明規則。
先來看證明的思路：證明相繼式┐∀xP(x)├ ∃x┐p(x)的有效性
這個過程比較簡單：先假設相繼式右邊不成立（第2行），然後對一個任意變量x0假設p(x0)不成立，則得出存在一個x使得p(x)不成立（第5行，這個x起碼可以是x0），但和第2行的結論沖突了，是以第4行的假設不靠譜，必須有p(x0)成立（第7行）。既然x0是任意的，那麼對于所有x有P(x)成立（第8行）。但這和我們的前提沖突了，是以我們最初的假設是錯誤的。證明完畢。
看明白了吧，接下來我們主要這樣進行證明。
要證明一個等價關系，需要分别證明左邊能推導出右邊和右邊能推導出左邊。
一、證明┐∀xΦ├ ∃x┐Φ的有效性，這個和上面的過程完全一緻
證明逆∃x┐Φ├ ┐∀xΦ的有效性
這個更簡單些。不過如果不熟悉全稱消去規則需要回到上一篇看看。
這樣我們證明了第一個等價規則：┐∀xΦ⇔∃x┐Φ。
二、證明∀xΦ∧Ψ├ ∀x(Φ∧Ψ)的有效性（注意條件：x在Ψ中不是自由的）
由于x在Ψ中不是自由的，進行代換時并不處理Ψ，是以第6行和第5行是一樣的。
證明∀x(Φ∧Ψ)├ ∀xΦ∧Ψ的有效性：
三、證明矢列∃xΦ∨∃xΨ├∃x(Φ∨Ψ)
證明矢列∃xΦ∨∃xΨ-|∃x(Φ∨Ψ)
其餘等價關系類似，有興趣可以自己嘗試一下。