隐馬爾科夫模型HMM（四）維特比算法解碼隐藏狀态序列

在本篇我們會讨論HMM模型最後一個問題的求解，即即給定模型和觀測序列，求給定觀測序列條件下，最可能出現的對應的隐藏狀态序列。在閱讀本篇前，建議先閱讀這個系列的第一篇以熟悉HMM模型。

HMM模型的解碼問題最常用的算法是維特比算法，當然也有其他的算法可以求解這個問題。同時維特比算法是一個通用的求序列最短路徑的動态規劃算法，也可以用于很多其他問題，比如之前講到的文本挖掘的分詞原理中我們講到了單獨用維特比算法來做分詞。

本文關注于用維特比算法來解碼HMM的的最可能隐藏狀态序列。

1. HMM最可能隐藏狀态序列求解概述

在HMM模型的解碼問題中，給定模型$λ=(A,B,Π)$和觀測序列$O =\{o_1,o_2,...o_T\}$，求給定觀測序列O條件下，最可能出現的對應的狀态序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$,即$P(I^*|O)$要最大化。

一個可能的近似解法是求出觀測序列$O$在每個時刻$t$最可能的隐藏狀态$i_t^*$然後得到一個近似的隐藏狀态序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$。要這樣近似求解不難，利用隐馬爾科夫模型HMM（二）前向後向算法評估觀察序列機率中第五節的定義：在給定模型$λ$和觀測序列$O$時，在時刻$t$處于狀态$q_i$的機率是$\gamma_t(i)$，這個機率可以通過HMM的前向算法與後向算法計算。這樣我們有：

$$

i_t^* = arg \max_{1 \leq i \leq N}[\gamma_t(i)], \; t =1,2,...T

近似算法很簡單，但是卻不能保證預測的狀态序列是整體是最可能的狀态序列，因為預測的狀态序列中某些相鄰的隐藏狀态可能存在轉移機率為0的情況。

而維特比算法可以将HMM的狀态序列作為一個整體來考慮，避免近似算法的問題，下面我們來看看維特比算法進行HMM解碼的方法。

2. 維特比算法概述

維特比算法是一個通用的解碼算法，是基于動态規劃的求序列最短路徑的方法。在文本挖掘的分詞原理中我們已經講到了維特比算法的一些細節。

既然是動态規劃算法，那麼就需要找到合适的局部狀态，以及局部狀态的遞推公式。在HMM中，維特比算法定義了兩個局部狀态用于遞推。

第一個局部狀态是在時刻$t$隐藏狀态為$i$所有可能的狀态轉移路徑$i_1,i_2,...i_t$中的機率最大值。記為$\delta_t(i)$:

\delta_t(i) = \max_{i_1,i_2,...i_{t-1}}\;P(i_t=i, i_1,i_2,...i_{t-1},o_t,o_{t-1},...o_1|\lambda),\; i =1,2,...N

由$\delta_t(i)$的定義可以得到$δ$的遞推表達式：

\begin{align} \delta_{t+1}(i) & = \max_{i_1,i_2,...i_{t}}\;P(i_{t+1}=i, i_1,i_2,...i_{t},o_{t+1},o_{t},...o_1|\lambda) \\ & = \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_t(j)a_{ji}]b_i(o_{t+1})\end{align}

第二個局部狀态由第一個局部狀态遞推得到。我們定義在時刻$t$隐藏狀态為$i$的所有單個狀态轉移路徑$(i_1,i_2,...,i_{t-1},i)$中機率最大的轉移路徑中第$t−1$個節點的隐藏狀态為$\Psi_t(i)$,其遞推表達式可以表示為：

\Psi_t(i) = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]

有了這兩個局部狀态，我們就可以從時刻0一直遞推到時刻$T$，然後利用$\Psi_t(i)$記錄的前一個最可能的狀态節點回溯，直到找到最優的隐藏狀态序列。

3. 維特比算法流程總結

現在我們來總結下維特比算法的流程：

輸入：HMM模型$λ=(A,B,Π)$，觀測序列$O=(o_1,o_2,...o_T)$

輸出：最有可能的隐藏狀态序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$

1）初始化局部狀态：

\delta_1(i) = \pi_ib_i(o_1),\;i=1,2...N

\Psi_1(i)=0,\;i=1,2...N

2) 進行動态規劃遞推時刻$t=2,3,...T$時刻的局部狀态：

\delta_{t}(i) = \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(0_{t}),\;i=1,2...N

\Psi_t(i) = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}],\;i=1,2...N

3) 計算時刻$T$最大的$\delta_{T}(i)$,即為最可能隐藏狀态序列出現的機率。計算時刻$T$最大的$\Psi_t(i)$,即為時刻$T$最可能的隐藏狀态。

P* = \max_{1 \leq j \leq N}\delta_{T}(i)

i_T^* = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{T}(i)]

4) 利用局部狀态$\Psi_t(i)$開始回溯。對于$t=T-1,T-2,...,1$:

i_t^* = \Psi_{t+1}(i_{t+1}^*)

最終得到最有可能的隐藏狀态序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$

4. HMM維特比算法求解執行個體

下面我們仍然用隐馬爾科夫模型HMM（一）HMM模型中盒子與球的例子來看看HMM維特比算法求解。

我們的觀察集合是:

V=\{紅，白\}，M=2

我們的狀态集合是：

Q =\{盒子1，盒子2，盒子3\}， N=3

而觀察序列和狀态序列的長度為3.

初始狀态分布為：

\Pi = (0.2,0.4,0.4)^T

狀态轉移機率分布矩陣為：

A = \left( \begin{array} {ccc} 0.5 & 0.2 & 0.3 \\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 &0.5 \end{array} \right)

觀測狀态機率矩陣為：

B = \left( \begin{array} {ccc} 0.5 & 0.5 \\ 0.4 & 0.6 \\ 0.7 & 0.3 \end{array} \right)

球的顔色的觀測序列:

O=\{紅，白，紅\}

按照我們上一節的維特比算法，首先需要得到三個隐藏狀态在時刻1時對應的各自兩個局部狀态，此時觀測狀态為1：

\delta_1(1) = \pi_1b_1(o_1) = 0.2 \times 0.5 = 0.1

\delta_1(2) = \pi_2b_2(o_1) = 0.4 \times 0.4 = 0.16

\delta_1(3) = \pi_3b_3(o_1) = 0.4 \times 0.7 = 0.28

\Psi_1(1)=\Psi_1(2) =\Psi_1(3) =0

現在開始遞推三個隐藏狀态在時刻2時對應的各自兩個局部狀态，此時觀測狀态為2：

\delta_2(1) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j1}]b_1(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.5, 0.16 \times 0.3, 0.28\times 0.2] \times 0.5 = 0.028

\Psi_2(1)=3

\delta_2(2) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j2}]b_2(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.2, 0.16 \times 0.5, 0.28\times 0.3] \times 0.6 = 0.0504

\Psi_2(2)=3

\delta_2(3) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j3}]b_3(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.3, 0.16 \times 0.2, 0.28\times 0.5] \times 0.3 = 0.042

\Psi_2(3)=3

繼續遞推三個隐藏狀态在時刻3時對應的各自兩個局部狀态，此時觀測狀态為1：

\delta_3(1) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j1}]b_1(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.5, 0.0504 \times 0.3, 0.042\times 0.2] \times 0.5 = 0.00756

\Psi_3(1)=2

\delta_3(2) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j2}]b_2(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.2, 0.0504\times 0.5, 0.042\times 0.3] \times 0.4 = 0.01008

\Psi_3(2)=2

\delta_3(3) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j3}]b_3(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.3, 0.0504 \times 0.2, 0.042\times 0.5] \times 0.7 = 0.0147

\Psi_3(3)=3

此時已經到最後的時刻，我們開始準備回溯。此時最大機率為$\delta_3(3)$,進而得到$i_3^* =3$

由于$\Psi_3(3)=3$,是以$i_2^* =3$, 而又由于$\Psi_2(3)=3$,是以$i_1^* =3$。進而得到最終的最可能的隐藏狀态序列為：$(3,3,3)$

5. HMM模型維特比算法總結

如果大家看過之前寫的文本挖掘的分詞原理中的維特比算法，就會發現這兩篇之中的維特比算法稍有不同。主要原因是在中文分詞時，我們沒有觀察狀态和隐藏狀态的差別，隻有一種狀态。但是維特比算法的核心是定義動态規劃的局部狀态與局部遞推公式，這一點在中文分詞維特比算法和HMM的維特比算法是相同的，也是維特比算法的精華所在。

維特比算法也是尋找序列最短路徑的一個通用方法，和dijkstra算法有些類似，但是dijkstra算法并沒有使用動态規劃，而是貪心算法。同時維特比算法僅僅局限于求序列最短路徑，而dijkstra算法是通用的求最短路徑的方法。

摘自：

http://www.cnblogs.com/pinard/p/6991852.html