1. 布朗運動
布朗運動是懸浮在氣體或者液體中的顆粒受到其他高速運動的粒子的碰撞，産生的随機運動。由于受到的撞擊的力的大小和方向不同，因而導緻量随機的運動效果。
關于布朗運動，得追溯回1827年，植物學家R.Brown觀察到在水中的花粉粒子的随機運動，但卻一直困惑于産生這種運動的原因，另外，很多人也依然還不相信原子的存在，直到1905年，愛因斯坦發表量一篇文章，闡述了水中的花粉顆粒的運動是由于受到水分子撞擊的結果，得到了著名的愛因斯坦關系，并于1908年被Jean Perrin在實驗中得到證明。後來，法國科學家郎之萬提出了描述随機運動的郎之萬方程，近幾十年，為了描述不同的随機行為，提出了有分數階郎之萬方程以及郎之萬方程的一般形式等。
圖1. 二維随機行走
布朗運動已經被研究了一百多年了，在許多的實體，化學，生物學，經濟，社會等學科中，許多行為都可以運用布朗運動來描述，例如微小的細菌的随機運動，動蕩的股市，空氣中的粉塵等等。雖然經過了一百多年的研究，但是，以布朗運動為代表的随機運動卻依然在吸引着科學家的目光。如近幾年的關于active Brownian motion與生物學中一些微觀生物的運動相結合的研究等。而此時，我們嘗試着去了解的是另一話題，雖然大多數情況我們會研究二維平面或者三維空間中的随機運動，但是，如果現在粒子運動在彎曲的表面上呢？會是什麼樣子的？
2. 到球面上去
圖2 小螞蟻去球面上旅行
2.1 為什麼要到球面上來
當一隻海象在海洋中遨遊，廣闊的大海中，海象顯得是那麼的渺小。它時而向東，時而向西，它是僅僅随着洋流在運動嗎？當然不是，甚至有時候看起來是那麼的随機，以至于更像是在做随機的運動。一個細胞膜上的蛋白質，常常在膜上進行着随機的運動，還有大腸杆菌在旋轉的液體中的運動等等。大自然中不止有平滑的曲面，還有各種彎曲的表面，因而，因而我們需要關注曲面上或者具體的說，是二維球面上的布朗運動，至于其他的曲面，則可以用相似的方法來分析。
2.2 計算模拟--tangentplane (切面)
針對在球面上的布朗粒子，如果隻是用理論分析，是不夠的，計算機模拟為我們更好的了解它帶來了便利。然而，我們該怎麼模拟它呢？
圖3. 曲面的切平面
首先，我們需要了解一下tangent plane或者tangent space，即切平面。曲面上的任何一點我們都可以得到它的切平面，如圖3所示，此時，曲面上的點以及向量分别可以在切平面上有相應的一一對應。
2.3模拟球面上的布朗運動
當我們知道了切平面，那麼我們就有了一個模拟球面上的布朗運動的辦法。如圖4所示。
- 首先我們選擇北極點做為起始點。計算其切平面，然後，在切平面上，利用高斯随機數在切平面上讓粒子的投影産生一個随機步，之後再把相應的點的位置資訊投影回球面上。
- 接下來，以新産生的點為起點，計算其切平面，在該平面上用同樣的辦法，産生新的随機步。
- 然後，經過成千上萬步之後，就将得到球面上的布朗粒子的軌迹了。
- 得到球面布朗運動之後
過完這陣子，我也想有一個自己的球面上的布朗運動，你呢？也想試試嗎？基本的方法已經在這裡了。沒準可以做個小研究，就當是練習吧。例如有如下幾個問題：
1.對于球面上的布朗粒子，愛因斯坦關系是否依然不變？
2.球面上的布朗粒子的擴散行為是怎樣的？
3.如果加入外力影響布朗粒子，會怎麼樣呢？
4.有沒有可能和你的平時的研究有啥半毛錢關系呢？
或者有空安靜下來，想玩點程式設計的遊戲的時候，就權當一種娛樂吧。也沒必要想那麼多，先上手試試。
看，我的布朗粒子正在球面上飛奔了！
原文釋出時間為：2017-03-23
本文作者：鐘蔚部落格
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