實體實在和量子力學

非相對論性量子力學完成于1925-1926年，是海森堡和薛定谔幾乎同時完成的。1928年狄拉克又提出了描述電子運動的相對論性量子力學。對這樣一個新生的理論，實體學家的意見卻發生了分歧，愛因斯坦、薛定谔等對這個版本的量子力學并不滿意，并與玻爾為首的哥本哈根派發生了激烈的争論。

最著名的就是愛因斯坦于1935年發表的一篇論文，文章的題目就是：“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”（能認為量子力學對實體實在的描述完備嗎？）

這裡首先Reality如何了解，我們一般把其翻譯為“實在性”，但這個詞在中文裡的意思實在是空洞，讓人聽了沒感覺，也許我們可以嘗試把它換為“實體現實”了解。現實是我們可能會忽視，但無法改變的要素，它在那裡起作用，不管你知不知道。鴕鳥把腦袋埋在沙子裡，但現實并不因為它看不見而有任何改變。

這裡對概念的思辨并不是關鍵，很多實體學家有形而上學傾向，或者說他們思考起來就像一個哲學家，但僅僅是二流的或不入流的哲學家，實體學家真正厲害的是能把這些概念的思考翻譯成實體和數學的語言，愛因斯坦可謂是這方面的高手。

愛因斯坦在他1935年的論文中給出了一個夠用的對“實體現實”的定義：“如果，在沒有擾動一個系統的情形下，我們可以确定地、即幾率為一地預言一個實體量的取值的話，那麼就有一個與這個實體量相對應的實體現實的要素。”

這個定義隻是愛因斯坦本人對“實體現實”的定義，按照這個定義假設系統不在本征态，而我們又對它進行測量的話，它将坍縮到其中之一的本征态上，我們隻能按照幾率去描述量子系統的行為，這裡面有“實體現實”嗎？

那麼是否愛因斯坦定義了一個過于苛刻的“實體現實”呢？

接着愛因斯坦會構造一個糾纏态（entangled state）以兌現他對“實體現實”的定義。這裡為了叙述的友善，我們采用兩個自旋的例子。

假設兩個自旋1/2的粒子，甲自旋往左飛，乙自旋往右飛，同時甲乙自旋構成一個自旋單态。對自旋單态而言，我們沒法說哪個自旋向上，哪個自旋向下。我們僅知道口袋裡有兩個自旋，一個是向上的，另外一個是向下的。假如我們在左側看到甲自旋是向上的，我們就立刻說右側的乙自旋是向下的。

我們在想象中做以下實驗：

1.A在左側不對甲自旋做任何測量，B在右側對乙自旋測量它在z方向的取值，向上或向下，結果是完全随機的。這裡我們沒有找到任何實體現實。

2.A在左側對甲自旋測量它在z方向的取值，向上或向下，也是随機的；在A完成測量的瞬間，B在右側對乙自旋也做z方向的測量，在B看來其結果也是随機的，沒有任何規律，但如果我們把A和B的測量結果彙總在一起看的話，我們就能發現A和B的測量結果存在着關聯，而且是完全的百分百的關聯。

比如：隻要甲是向上，那麼乙就一定是向下；如果甲向下，那乙就一定向上。我們可以把那些使乙确定地“幾率為一”地取向上或向下的情形彙總在一起。首先這就符合了愛因斯坦對“實體現實”的定義，這裡一定存在一個自旋在z方向上的實體現實。其次量子态比我們設想的要複雜，看起來都叫一個名字，但卻可進一步分成很多類，有的自旋向上，有的自旋向下……

3.我們還可以讓A、B都對自旋的x分量進行測量。将得到完全一樣的結果。即看起來B對乙自旋x分量的測量是完全随機的，但如果我們把A和B的測量結果拿到一起彙總的話，我們就可以發現對某些測量，B對乙自旋的測量是确定地為向左或向右。Again，按照愛因斯坦對實體現實的定義，自旋的x分量也是“實體現實”的一個要素。

這裡要做一個重要的聲明，就是我們總是讓A先對甲自旋進行測量，而B對乙自旋的測量是在A完成測量的瞬間進行的。如此設計的理由是要保證A在左側進行的觀測——某種擾動——不會影響傳播到乙自旋所在的右側。這樣我們可以心安理得的認為B在右側面對的是同一個量子态。但現在我們所說的量子态必須做集合了解，集合裡面有很多假想的乙自旋的态，它們各自又可以分成不同的類，以對應那些可以确定取值的實驗。（用實體的術語講，這個集合就叫系綜ensemble）

愛因斯坦這裡用到了“定域原則”，即對空間分離的兩個系統甲和乙，乙的任何變化不是對甲操作的結果。

如果堅持“定域原則”的話，$S_x$和$S_z$就可以同時是實體現實了，原則上我們可以給系綜裡的每個自旋指定一個$S_x$的取值，同時一個$S_z$的取值，但我們的量子力學——海森堡、薛定谔和狄拉克的量子力學——無法提供這個資訊，在此意義下我們說量子力學是不完備的。

愛因斯坦是這樣定義一個實體理論的完備性的：“實體現實的每個要素在實體學理論中都必須有它的對應部分。”

愛因斯坦并不認為量子力學是錯的，但他認為量子力學是不完備的，即潛在地還存在着一個更新的版本可以使每個“實體現實”的要素都在理論中有對應，在我們現在的例子下就是$S_x$和$S_z$。

愛因斯坦這裡其實是要做一個選擇，即在“定域原則”和“不确定原理”之間選擇。堅持了“定域原則”，就意味着我們構造了一個$S_x$和$S_z$都要取确定值的例子，這就必須放棄“不确定原理”。

放棄“定域原則”，意味着A在左側的測量動作會在瞬間對遠在右側的乙自旋進行篩選，即瞬間B所面對的乙自旋的态就發生變化了。我們仍可按海森堡-薛定谔-狄拉克的量子力學對它進行處理，投影到基矢上，并計算幾率幅。

放棄“定域原則”并不意味着違反相對論，因為B僅在它的局域進行測量，無法同時知道A對甲自旋的測量結果，是以不論有沒有百分百的自旋相關，在B看來它測得的結果都是完全随機的結果，沒有任何意義。換句話說我們無法利用糾纏态進行通訊，是以也談不上違反相對論。

僅僅如此我們是無法判斷孰是孰非的。因為愛因斯坦及後來隐變量理論的主張者都沒提出替代性的量子理論，是以很難構造實驗去進行判定。

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我們同意無法同時确定$S_x$和$S_z$，但假設有很多自旋1/2，我們把$S_z$和$S_x$的取值同時賦予這些自旋，并對它們進行分類，比如我們有（z+，x-），這意味着如果我們對這類自旋測量$S_z$的話，我們将确定地得到向上；我們也可以選擇測量$S_x$，确定地得到向下。除了（z+，x-），我們還有相同數量的自旋屬于（z+，x+）類。假如我們對篩選出來的$z+$自旋測量$S_x$，50%的可能性得到$x+$，另外50%的可能性得到$x-$。

考慮自旋單态（總自旋為0的态），假設自旋可以用（z+，x-）這樣的記号進行分類的話，那麼（z-，x+）和（z+，x-）就構成一對。總共有四種可能性：

類型 I：甲（z+，x-）vs 乙（z-，x+）

類型 II：甲（z+，x+）vs 乙（z-，x-）

類型 III：甲（z-，x+）vs 乙（z+，x-）

類型 IV：甲（z-，x-）vs 乙（z+，x+）

這裡對左側的甲自旋，假如屬于第I種類型，A可以對甲測量$S_z$，也可以測量$S_x$，但這些動作都不會改變右側的乙自旋（z-，x+），這就構造了一個符合愛因斯坦“定域原則”的方案。

進一步讨論，假如A先對甲測量$S_z$，假設結果是向上，這篩選出類型I和類型II，但這個測量動作之後甲和乙就不再是自旋單态了。如果我們再繼續對甲測量$S_x$，對乙也測$S_x$，它們的測量結果将失去關聯。

在此基礎上我們可以讨論貝爾不等式（Bell's inequality）。貝爾不等式是貝爾在1964年提出來的，他構造了一個可以區分正統量子力學和符合“定域原則”替代版本量子力學的實驗判據。

其實沒有替代版本的量子力學，需要做的是把“定域原則”以某種方式考慮進去。

考慮三個互相不正交的方向：a，b和c。我們可以沿a，b或c的方向測量自旋。然後假設有甲、乙兩個自旋，甲向左飛，乙向右飛。

甲和乙構成自旋單态，這意味着如果我們可以用（a-，b+，c+）對甲進行标記的話，那麼與甲對應的乙就隻能是（a+，b-，c-）。

甲、乙構成的自旋單态可以分為如下八類，每一類的數字用$N_i$表示：

$N_1$：甲（a+，b+，c+）；乙（a-，b-，c-）

$N_2$：甲（a+，b+，c-）；乙（a-，b-，c+）

$N_3$：甲（a+，b-，c+）；乙（a-，b+，c-）

$N_4$：甲（a+，b-，c-）；乙（a-，b+，c+）

$N_5$：甲（a-，b+，c+）；乙（a+，b-，c-）

$N_6$：甲（a-，b+，c-）；乙（a+，b-，c+）

$N_7$：甲（a-，b-，c+）；乙（a+，b+，c-）

$N_8$：甲（a-，b-，c-）；乙（a+，b+，c+）

這裡所有的N都是非負的，我們可以構造如下不等式：

$N_3 + N_4 \le N_2 + N_4 + N_3 + N_7$

假設我們做這樣的實驗：A對甲自旋進行測量，讓甲通過a方向的非均勻磁場，得到的結果是向上；然後B對乙自旋進行測量，讓乙通過b方向的非均勻磁場，假設得到的結果也是向上。如此關聯的測量結果對應的數目是：

$N_3 + N_4$

我們把這個類型記為（a+，b+），得到這個結果的幾率是：

$P(a+, b+) = \frac{N_3 + N_4}{ \sum\limits_i N_i}$

類似地，A對甲自旋進行測量，讓甲通過a方向的非均勻磁場，得到的結果是向上；然後B對乙自旋進行測量，讓乙通過c方向的非均勻磁場，假設得到的結果也是向上。我們把這個類型記為（a+，c+），對應的幾率是：

$P(a+, c+) = \frac{N_2 + N_4}{ \sum\limits_i N_i}$

還有（c+，b+），對應的幾率是：

$P(c+, b+) = \frac{N_3 + N_4}{ \sum\limits_i N_i}$

這樣我們得到一個關于幾率的不等式：

$P(a+, b+) \le P(a+, c+) + P(c+, b+)$。

以上是考慮了“定域原則”後的一個不等式。正統量子力學不考慮“定域原則”，但我們可以利用投影直接把以上幾率都計算出來。

首先我們計算$P(a+, b+)$，a+是對自旋甲而言的，自旋乙就應處于a-的狀态，我們需要算的就是一個a-态下的自旋向b+方向投影：

$\left\langle {b+} | {a-} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi - \theta_{ab}}{2} $

這裡$\theta_{ab}$指的是方向a和方向b之間的夾角。

$P(a+, b+) = \left| {\left\langle {b+} | {a-} \right\rangle} \right|^2 = \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} $

假如正統量子力學也符合貝爾不等式的話，我們應該有：

$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} \le \sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2} $

我們可以舉一個特例來說明貝爾不等式是被違背的，假設a、b和c都在一個平面内，$\theta_{ab} = 2 \theta$，c正好在a和b的中間，$\theta_{ac} = \theta_{cb} = \theta$。考慮$\theta$的取值範圍是0到$\frac{\pi}{2}$，我們可以做個表來說明：

$\theta = \frac{\pi}{20}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.024$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.012$

$\theta = \frac{\pi}{10}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.095$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.049$

$\theta = \frac{3 \pi}{20}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.206$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.109$

$\theta = \frac{\pi}{5}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.345$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.191$

……

正統量子力學做出了與符合“定域原則”替代理論完全不同的預言。

這樣，我們就可以利用實驗去驗證愛因斯坦的觀點了。

迄今為止的實驗都表明貝爾不等式被違反了，在這個意義下我們說量子力學是個“非定域”的理論，對一個糾纏态，某個局部的測量會影響空間分離的另一個局部的狀況，這是一種超越距離的瞬時的量子态的坍縮。

當然我們不能是以就小觑（undervalue）愛因斯坦的貢獻，一個偉大實體學家的錯誤理論往往比一個平庸實體學家的正确理論對學科的貢獻大的多得多。（這意味着在實體學中追求新穎比追求正确更有價值。）

閱讀愛因斯坦1935年的論文，我們能夠感受到愛因斯坦強健的實體思維，即把哲學的立場——對“實體現實”的堅持——翻譯為實體的選擇——保留“定域原則”，還是保留“不确定原理”——進而挑戰量子理論已經完備的正統觀點。

愛因斯坦的這個工作也被看做是今天熱門的量子資訊學的奠基工作，這篇論文在實體評論網站上顯示已經被引用了4249次，而獲得了諾貝爾獎的康普頓散射的論文也才僅僅被引用了210次。

原文釋出時間為：2014.05.11

本文作者：ianwest

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