拉格朗日量（Lagrangians，簡稱為拉氏量）是一種數學表達式，它包含了一個實體系統中幾乎所有我們關注的資訊。拉氏量通常具有對稱性，這意味着當我們以某種特定方式轉動或移動它們時，它們并不會發生改變。對稱性和拉氏量非常重要，因為我們可以利用它們構造守恒量。
守恒量是在整個實體系統演化過程中保持不變的可觀測實體量。
實體學家喜歡尋找守恒量，因為它們不僅具有深刻的哲學意義，還在解方程過程中非常有用。當你知道有些量保持不變時，用它們可以簡化方程的求解。
旋轉這樣 “平滑”的對稱性是連續對稱性。諾特定理表明，對于每一個連續對稱性，我們都可以構造一個守恒量。例如，如果一個系統具有旋轉對稱性，我們就可以得到角動量守恒。
更令人驚訝的是，諾特定理可以證明能量守恒是時間平移對稱性的結果，時間平移不變性意味着拉氏量本身不顯含時間。
換句話說，如果實體系統所處的背景不随時間改變，那麼該系統的總能量将不随時間改變。
By Konrad Jacobs, Erlangen — CC BY-SA 2.0 de
對稱性的概念在力學、經典和現代實體學中随處可見。例如，在量子實體學中，量子力學系統的對稱性可以與量子角動量守恒對應。在電子理論中，電子的電荷和自旋守恒源于電子所遵循的對稱性。
用數學如何較長的描述對稱性起的作用？首先，需要解釋最小作用量原理，以及如果我們知道了拉氏量，我們如何用它來計算場的行為。
作用量和拉氏量
假設有一個粒子或場，在兩個預先确定的時間點 t1 和 t2 之間演化。如果它是一個粒子，我們可以通過繪制一條在空間中延伸的路徑來描繪粒子的演化過程，從時間 t1 開始，到時間 t2 結束。如果它是一個場，我們可以想象一個熱力圖随着時間慢慢演化。
通過這些粒子和場的行為，我們能知道些什麼？我們怎麼才能知道粒子将走什麼路徑？在實體學中，我們從一個可以描述實體系統的模型開始，其中典型的一種是拉氏量。拉氏量是一個數學量，它通常寫成動能和勢能之差，拉氏量在任何時間點都可以給出一個具體的數。我們之是以喜歡用拉氏量是因為它獨立于觀察者，不随參考系的改變而改變。
觀察者是正立的還是倒立的，或者以接近光速的速度移動，這些都不重要。通常，實體量的數值會因坐标選擇的不同而不同；然而，拉氏量不随坐标的選擇而改變，無論對于哪個觀測者，它的取值都是一樣的。和參考系無關的這種性質是非常有用的，因為它讓我們可以進行清清楚楚的計算。
為了了解到底發生了什麼，我們需要構造一個稱為作用量（action）的量。例如，如果已知一個拉氏量，我們可以計算拉氏量在兩個時間點之間的積分：
積分意味着将拉氏量在多個時間點上的值進行相加。從 t 到 t 之間的總積分被稱為作用量。它通常用大寫字母 S 表示。拉氏量前面的豎直曲線 ∫ 表示積分。
上面的表達式是作用量的數學定義。拉氏量通常是位置和位置的一階導數的函數。希臘字母 φ 表示粒子在空間中的位置；第二項 φ 是粒子位置的一階導數，表示粒子位置随時間的變化率。
拉氏量在幾何上看起來是怎麼樣的？我們可以用一些插圖來說明，通過這些插圖可以了解關于它的一般概念。如果拉氏量隻包含自由空間中的動能，對于不同于直線的路徑，往往會得到更大的作用量。該圖顯示了粒子在時間 t 和 t 之間采取不同路徑對應的作用量大小。正如您所看到的，最複雜的路徑作用量最大。作用量最小的路徑就是直線路徑。
如何得出實體規律？
在我們眼中，拉氏量是數學對象，我們隻把作用量看作是實體的。這有一個哲學上的原因。結果表明，不同的拉氏量可以産生相同的作用量。是以，在某些情況下，存在兩個拉氏量，但隻有一個作用量的情況。這意味着我們可以通過兩個不同的拉氏量，得出相同的實體定律。
為什麼會這樣？原因是，當我們對某些被稱為“全微分”（total derivative）的數學表達式進行積分時，積分結果是零。
在下面的公式中，我們有一個作用量，被寫成一個特定的拉氏量和一個全微分項。但是，我們可以把積分拆分成兩個不同的部分。一旦我們把它分開，我們就消掉了全微分項，因為當我們積分時它變成了零。
這是一件令人興奮的事情！這意味着，存在兩個不同的拉氏量，在一個不那麼嚴格的限制下，可以認為它們是“等價”的。我們不需要讓它們完全等價就能得出相同的實體現象。如果拉氏量僅在“全微分”項上存在差異，則它們可以被看作是互相等價的。例如，在下圖中，函數 f 、 g 和 h 都與全微分項有關，它們三個産生相同的作用量。（我已經用不同的顔色寫出了這三個函數來表達這個觀點。）
數學上，我們可以用下面的表達式來表達拉氏量之間“等價”，盡管它們之間相差一個全微分項。在下面的表達式中，函數 f 是可微函數。
如果對函數可以使用“變化率”的概念，那麼這個函數就是可微的。如果函數值在某些地方發生跳躍、出現尖銳的拐點或沒有良定義，那麼就有可能不能使用“變化率”的概念，這種情況下，隻有許多嚴格的數學條件被滿足時，“變化率”的概念才變得可以接受。所有可微函數的集合為 C 。關于微分和積分等運算是否具有良定義的研究稱為數學分析，是一個令人着迷的研究領域。
歐拉-拉格朗日公式
“最小作用量原理”告訴我們，場或粒子的行為正是使作用量取極小值的行為。是以如果我們知道這個作用量，我們可以通過一些數學運算，求出使這個作用量取極小值時場的行為。有一個被稱為變分法的數學分支，研究的是“函數的變化率”。（譯者注：變分法告訴我們，場或粒子的行為可以用歐拉-拉格朗日方程導出。）
粒子版的歐拉-拉格朗日方程如下所示。方程左邊，我們首先取拉氏量對速度的偏導數，然後繼續對其求時間的導數。方程右邊，我們對拉氏量在空間中進行求導。然後讓方程的左邊等于右邊，就可以得到一個令作用量取最小值的路徑。
場論版的歐拉-拉格朗日方程和粒子版的很相似，方程如下所示：
它可以給出場在時空中的演化方式。
以下為譯者注：
守恒量
前面我們介紹可以用對稱性導出守恒量，接下來我們将介紹如何做到這一點。諾特定理告訴我們，每個對稱性對應一個守恒量。
如果實體系統具有時間平移不變性，也就是說拉氏量不顯含時間，那麼可以得到表達式：
等式左側的括号裡就是能量，它随時間的導數是零恰恰表明它不随時間改變。
如果實體系統具有空間平移不變性，也就是說拉氏量不顯含空間坐标，那麼可以得到表達式：
等式左側括号内正是動量，它不随時間改變，這就是動量守恒。
作者：Afiq Hatta
翻譯：Nothing
審校：Zhenni
原文連結：
https://www.cantorsparadise.com/noethers-theorem-and-the-principle-of-least-action-c84b789c51b6
翻譯内容僅代表作者觀點
不代表中科院實體所立場
編輯：zhenni