定義6.1.1：設 S 是一個非空集合，稱 S×S 到 S 的一個映射 f 為 S 的一個二進制代數運算，即,對于 S 中任意兩個元素 a ， b ，通過 f ，唯一确定 S 中一個元素 c ： f（a，b）= c ，常記為 a * b = c 。
由于一般情況下， (a，b) ， (b，a) 是 S×S 中不同的元，故 a * b 未必等于 b * a 。
二進制代數運算應滿足的兩個條件
集合非空
封閉（運算結果屬于集合）
定義6.1.2： 設 * 是集合 S 上的二進制代數運算，如果對于 S 中任意兩個元素 a ， b ，等式 a * b = b * a 都成立，則稱運算 “*” 滿足交換律。
例如整數上的加法。
定義6.1.3： 設 * 是集合 S 上的二進制代數運算，如果對于S中任意三個元素 a ， b ， c ，等式
（a * b） * c = a * （b * c）
都成立，則稱運算 * 滿足結合律。
定義6.1.4： 設 * 是集合 S 上的二進制代數運算， a 是 S 中的元素，如果 a * a = a
則稱 a 是關于運算 * 的幂等元。
如果 S 中每個元素都是關于 * 的幂等元，則稱運算 “*” 滿足等幂律。
如在整數中看，1是關于乘法的幂等元，0是關于加法的幂等元，但乘法和加法都不滿足等幂律。
定義6.1.5： 設 * 和 + 是集合 S 上的兩個二進制代數運算，如果對于 S 中任意三個元素 a ， b ， c ，等式
a (b + c)= (a * b)+ (a * c) ， (b + c) a =(b * a)+(c * a）
都成立，則稱運算 * 對 + 滿足配置設定律。
定義6.1.6： 設 * 和 + 是集合S上的兩個二進制代數運算，如果對于S中任意兩個元素 a ， b ，等式 a * （a + b） = a ， a + （a * b） = a ，
都成立，則稱運算 * 和 + 滿足吸收律。
定義6.1.7： 設 * 是集合 S 上的二進制代數運算,如果對于 S 中任意三個元素 a , b , c ,
（1）若 a * b = a * c ，則 b = c ，
（2）若 b * a = c * a ，則 b = c ，
就稱 * 滿足消去律。
定義6.1.8： 設 S 是一個非空集合， f1，……，fm 是 S 上的若幹代數運算，把 S 及其運算 f1，……，fm 看成一個整體來看,叫做一個代數系統，
記為 （S， f1，……，fm）
零元 ：設 * 是集合 S 上的二進制代數運算，如果 S 中存在元素 θ ，使得對于S中任意元素 a，都有a * θ = θ ， θ * a = θ ，則稱 θ 是S上關于運算 * 的零元。
定義6.2.1： 設 G 是一個非空集合，若 · 為 G 上的二進制代數運算，且滿足結合律，則稱該代數系統 （G， ·） 為半群。
半群的三個條件
滿足結合律
定義6.2.2： 設（G, ·）為半群，如果滿足下面條件：
(1)有壹（機關元）： G中有一個元素1，适合對于G中任意元素a，都有1·a = a·1 = a;
(2) 有逆：對于G中任意a，都可找到G中一個元素 $ a ^{-1} $，滿足 $ a·a^{-1} = a^{-1}·a = 1 $ ，則稱（G, ·）為群。
如果群G包含的元素個數有限，則稱G為有限群，否則稱G為無限群。
1️⃣ 機關元是群中唯一的幂等元。
2️⃣ 群中消去律一定成立。
3️⃣ 當|G|>1時，群中無零元。
4️⃣ 群中消去律一定成立
5️⃣ 設(G,)是群，a, b∈G。如果ab=e，則b*a=e。
1️⃣ 設(G, · )是一個群，則G中恰有一個元素1适合1·a=a·1=a, 而且對于任意a恰有一個元素
$ a ^{-1} $ 适合 $ a·a ^{-1}=a ^{-1}·a=1 $。
也就是：群的機關元素是唯一的。任意元素的逆也是唯一的。
2️⃣ 群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：
(1) G中有一個元素左壹适合1·a=a;
(2) 對于任意a，有一個元素左逆a-1适合 \(a^{-1}\) ·a=1。
注：把（1），（2） 中對于左邊的要求一律改成對于右邊的要求也是一樣。 但是隻滿足左壹、右逆未必成群，隻滿足右壹、左逆也未必成群。
3️⃣ 群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：
對于任意a，b，有 x 使x · a=b，又有 y 使 a·y=b。
4️⃣ 若G是一個群，在一個乘積 a1…an 中可以任意加括号而求其值。
5️⃣ n個a連乘積為a的n次方，記為\(a^n\)。我們規定\(a^0=1，a^{-n}=(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n\)
對于任意整數 m、n，
第一指數律 \(a^m·a^n=a^{m+n}\)
第二指數律 \((a^m)^n=a^{mn}\)。
但一般群中第三指數定律\((a·b)^n=a^n· b^n\)不成立，因為不一定滿足交換律
6️⃣ 消去律成立
7️⃣ 其運算表中每一行或每一列中元素互不相同
8️⃣ 存在唯一的幂等元 1（機關元）
9️⃣ 一進制群、二進制群、三元群是唯一的，且都是 交換群。
1️⃣0️⃣ 有限半群，滿足消去條件，一定是群.
定義6.2.3： 若群(G, · )的運算·适合交換律，則稱(G, · )為 Abel群 或 交換群 。
1️⃣ 在一個Abel群(G，·)中，一個乘積可以任意颠倒因子的次序而求其值。
2️⃣ 在Abel群中，有第三指數律：$ (a·b)m=a ^ {m·}b ^ {m} $，m為任意整數。
3️⃣ 加法群: (G,+) 永遠假定加法群是一個Abel群
1️⃣ 集合 A 到 A 上的映射稱為 變換。
2️⃣ 設 M 是一個非空的有限集合，M的一個一 對一變換稱為一個置換。
3️⃣ M 的置換共有 n！個。M 上的置換也稱為 n元置換。特别地， 若 σ(ai)=ai，i=1,2,…,n，則 σ 為 n元恒等置換。
4️⃣ Sn 就是 n！個置換作成的集合。（就是 Sn 中元素全排列的所有組成方式構成一個集合）
對M中任意元素a及M的任意兩個置換σ、τ，στ(a)=σ(τ(a))。
1️⃣ 滿足結合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn
2️⃣ Sn中有機關元：n元恒等置換，設為 $ \sigma _0 $，有： $ \sigma _0 $ τ=τ $ \sigma _0 $ ，τ∈Sn
3️⃣ 每個n元置換在Sn 中都有逆元素:
n 元置換的全體作成的集合 Sn 對置換的乘法作成一個群，稱為 n 次對稱群。（n 次對稱群的任一子群稱為 n 次置換群）
🔔 由于一般情況下置換相乘不滿足交換律，τσ $ \ne $ στ ，當 n≥3 時，Sn 不是交換群。
設 σ 是 M 的置換，若可取到 M 的元素 a1, … , ar，使 σ(a1)=a2, σ(a2)=a3, … , σ(ar-1)=ar, σ(ar)=a1，而 σ 不變換 M 的其餘的元素，則 σ 稱為一個輪換，記為：(a1 a2 … ar)。
🔔 可以把a1, … , ar中的任意元素ai排在頭一位而改寫成：(ai ai+1 … ar a1 … ai-1)
📪 設 \(（a1 a2 … ar）\) 是M的輪換，則 \(（a1 a2 … ar）^{-1} =（ar … a2 a1）\)
M 的兩個輪換 σ=( a1 … ar)和τ=( b1 … bs)說是不相雜或不相交，如果 a1, …, ar和b1, …, bs都不相同。（即 $ a1,…,ar\cap b1,…,bs=\oslash $ )
1️⃣ 若σ和τ是M的兩個不相雜的輪換，則其乘法适合交換律：στ=τσ。
2️⃣ 任意置換σ恰有一法寫成不相雜輪換的乘積。即，任意置換σ可以寫成不相雜輪換的乘積（可表性），如果不考慮乘積的順序，則寫法是唯一的（唯一性）。
3️⃣ 任意置換σ恰有一法寫成不相雜的輪換乘積。
設（a1a2…ar）為一輪換，我們稱r為該 輪換的長度---輪換的長度也就是其中所含的元素個數.
對換：長度為２的輪換稱為 對換。
1️⃣ 任意輪換可以寫成對換的乘積。（每個小對換中第一個元素固定，其他元素按輪換逆序比對）
2️⃣ 對任意 n 元置換 (n>1)，有一法（但未必隻有一法）可将其寫成一些對換的乘積。這裡，乘積中出現的諸對換已非不相雜。而且，表示方法也不唯一。如<code>(1 2)=(1 2)(1 3)(1 3)=(2 3)(1 3)(2 3)</code>
第一種判别法：置換總元素數 n - 輪換個數 k 。即 n - k 為奇數（偶數），則稱σ為奇置換（偶置換）
第二種判别法：置換表示成對換之後，所有對換的個數 n 為奇數（偶數），則稱σ為奇置換（偶置換）
1️⃣ 每個置換都能分解為對換的乘積, 但偶置換隻能分解為偶數個對換的乘積, 奇置換隻能分解為奇數個對換的乘積。
2️⃣ 設 M 的元數為 n, 若 n>1 ，則奇置換的個數和偶置換的個數相等，因而都等于 n!/2
設（G，·）是一個群， H G， 如果按照G中的乘法運算· ，(H， ·) 仍是一個群，則(H，·）叫做（G，·）的子群。如果G的一個子群H不等于G，即H G則（H，·）叫做 (G，·）的真子群。
🔔 G的子群H的運算必須與G的運算一樣，比如, （C*，·）不是（C，+）的子群。
任意一個群G都有兩個明顯的子群，稱為 G 的平凡子群：
由其機關元素組成的子群{1}，稱為 G 的機關子群；
G 本身。
其餘的子群（如果有的話）稱為非平凡子群。
群 G 的一個子集 H 是 G 的一個子群的充分必要條件是：
若a∈H，b ∈ H，則a·b ∈ H；
若a ∈ H，則a-1 ∈ H；
H非空。
若a∈H, b∈H，則a·b-1∈H。
群 G 的一個有限非空子集 H 是 G 的一個子群的充分必要條件是 H 對 G 的運算是封閉的，即若 a ∈H，b∈H，則 ab ∈ H。
子群 H 與大群 G 的關系：
H 的機關元就是 G 的機關元，
H 中任一進制素 a 在 H 中的逆元也就是 a 在 G 中的逆元。
設 a 是群 G 的一個元素。于是 a 的所有幂的集合 $ {a^n | n=0,±1,±2,… }，$ 做成 G 的一個子群，記為 (a)。此群稱為由 a 生成的子群。
如果 G 可以由它的某元素 a 生成,即有 a ∈G 使 G =(a)，群 G 叫做一個循環群，或巡回群。于是子群(a)可稱為由 a 生成的循環子群。
🔔 每個循環群是 Abel 群。
1️⃣ 群中機關元的周期為1，（1）={1}。
2️⃣ 群中任一進制素和它的逆元具有同樣的周期.
3️⃣ 若群 G 中元素 a 的周期為 n，則
4️⃣ 設 a 為群 G 的一個元素
如果 a 的周期為無窮大，則 (a) 是無限循環群，(a) 由彼此不同的元素 $ …，a ^ {-2}，a ^ {-1}，1，a，a ^ 2，… $
組成。
如果 a 的周期為 n，則(a)為 n 元循環群它由 n 個不同的元素$ 1，a，a ^ 2，a ^ 3，…，a ^ {n-1} $
在加法群中，(a)應換為a的所有倍數的集合 …，-2a，-a，0，a，2a，… () 當()中的所有元素均彼此不同時，稱 a 的周期為無窮大或為 0；否則當 n 為适合 na=0 的最小正整數時，稱 a 的周期為 n.
若加法群中 a 的周期為 n，則有
0，a，2a，…,(n-1)a 為 n 個不同元素
ma=0 當且僅當 n∣m
sa=ta 當且僅當 n∣(s-t).
1️⃣ 無限循環群(a)一共有兩個生成元:a及a-1.
2️⃣ n 元循環群(a)中，元素 ak 是(a)的生成元的充要條件是(n，k)=1。
是以(a)一共有φ(n)個生成元素。
🔔 模 m 加法群是循環群
🔔 循環群的子群仍然是循環群
設 G 是群，H 是 G 的子群，a,b∈G，若有 h∈H，使得 a = bh，則稱 a 合同于 b（右模 H），記為 a≡b（右mod H）。
🔔 合同關系（右模H）是一個等價關系。
右陪集：群G在合同關系（右模H）下的一個等價類叫做 H 的一個右陪集
左陪集：同樣，可以定義a合同于b（左模H）：a≡b（左modH）和 H 的左陪集。
🌈 求陪集的簡單方法
1️⃣ 設 H 是群 G 的有限子群，則 H 的任意右陪集 aH 的元數皆等于 H 的元數 即 |aH| = |H|。
2️⃣ H本身也是H的右陪集。
3️⃣ aH=H iff a∈H 🔔 常用
4️⃣ a 在陪集 aH 中
5️⃣ 對于右陪集 aH 中任意元素 b，都有 aH=bH。說明右陪集aH中任一進制素都可以做陪集代表
6️⃣ aH=bH 的充分必要條件是 $ a^{-1} b∈H $。
7️⃣ 任意兩個右陪集 aH 和 bH 或者相等或者不相交。
設 H 是群 G 的子群，設對 G 中的任意元素 g，都有 gH=Hg，則稱 H 是 G 的正規子群。
1️⃣ “平凡”子群 H={1} 和 G 都是 G 的正規子群.
2️⃣ Abel 群的任意子群是正規子群
3️⃣ H 是 G 的正規子群，必要而且隻要對任意的 $ g∈G，gHg^{-1} ⊆ H。$
4️⃣ 設 H 是 G 的子群，證明如果 H 的任意兩個右陪集的乘積仍是一個右陪集，則 H 是 G 的正規子群。
設 G 為有限群，則 G 的任意子群 H 的元數整除群 G 的元數。
🔔 拉格朗日定理的逆命題不成立：設 G 是有限群，且|G|=n，對任意 n 的正因數 m ，G 不一定存在元數個數為 m 的子群。
1️⃣ 若 G 為有限群，并且|G|=n，則 G 的任意子群的元數均為 n 的因子；反過來，對于 n 的任意一個因子 m，G 未必有 m 元子群。
2️⃣ 若 G 是循環群，且|G|=n ，則對于 n 的任意一個正因數 m，G 一定存在且僅存在一個 m 元子群
3️⃣ 元數是質數的群，一定沒有非平凡子群。
4️⃣ 設 G 是有限群，且|G|=n ， 則 G 中任意元素的周期一定為 n 的因子。
5️⃣ 設 G 是元數為質數 p 的循環群，則對于 G 中任意不是機關元的元素 a，a 都是生成元（由一、四結論得到。任意子群的元數均為 n 的因子（n），G 中任意元素的周期一定為 n 的因子（n））.
H 在 G 中的指數：有限群 G 的元數除以 H 的元數所得的商，記為(G:H)，稱作 H 在 G 中的指數。(等價類的個數）
🔔 H 的指數也就是 H 的右(左)陪集的個數
右代表系：從每個右陪集中選出一個元素為代表全體代表的集合叫做一個右代表系或右代表團。
1️⃣ 設G為有限群，元數為n，對任意a∈G，有 $ a ^ n=1 $。
2️⃣ 設有限交換群（G，·）中所有元素之積不等于機關元1，G必為偶數元群。
3️⃣ 若群 G 的元數是一個質數，則 G 必是循環群。
🔔 當n<6時，n元群均是交換群（Abel 群）。
🔔 4元群隻有兩種可能：4元循環群或Klein四元群。
定義： 設(G, *)是一個群, (K, •)是一個代數系統，稱G到K的一個映射σ是一個同态映射，如果對G中任意元素a，b ，有
σ(a * b)=σ(a) • σ(b)
🔔 注意：這個映射既不一定是單射也不一定是滿射。
🌋 解釋：一、 A的所有元素必須都有映像；但B中不要求每個元素都有原像；二、可以A中的多個元素對應b中的一個元素；但不允許A中的一個元素對應b中的多個元素；
設(G, *)是一個群, (K, •)是一個代數系統， σ是G到K中的一個同态映射， G’=σ(G) ，則
1️⃣ (G’ , •)是一個群;
2️⃣ G’的機關元1’就是G的機關元1的映像σ(1) ，即1’= σ(1)；
3️⃣ 對任意 $ a ∈G，(σ(a)) ^ {-1} = σ(a ^ {-1}) 。$
4️⃣ 若σ(a)= σ(b)，則 $ σ(a ^ {-1})=σ(b ^ {-1}) $
定義: 設G是一個群，K是一個代數系統，σ是G到K内的一個同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，則稱σ是同構映射。稱G與σ(G)同構，記成G ≌ σ(G)。
🌰
1️⃣ 整數加法群(Z,+)同構于偶數加法群(B,+)
2️⃣ 無限循環群同構于整數加法群。
3️⃣ (R*，·)與(R，+)不可能同構。
定義：設G是一個群，若σ是G到G上的同構映射，則稱σ為自同構映射。
定義： 設σ是G到G′上的一個同态映射，命N為G中所有映射到G′中1′的元素g的集合，記為σ-1(1′)，即 $ N=σ ^ {-1} ( 1′)={g∣ g∈G ,σ(g)=1′} $
則稱 N 為 σ 的核。
🔔 同态核是正規子群
定理：設σ是群G到Gˊ上的一個同态映射，于是，σ的核N是G的一個正規子群， 對于Gˊ的任意元素aˊ，
$ σ ^ {-1} ( aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ} $
是N在G中的一個陪集，是以，Gˊ的元素和N在G中的陪集一一對應。
🔔 設N是群G的正規子群。若A，B是N的陪集，則AB也是N的陪集。
定理： 設N是群G的正規子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一個群$ \mathrm{\bar{G}} $。
命 σ：a→aN，a ∈G,
則σ是G到 \(\mathrm{\bar{G}}\) 上的一個同态映射,且σ的核就是N。
\(\mathrm{\bar{G}}\) 稱為G對于N的商群，記為G ∕ N。
若G是有限群，則商群中元素個數等于N在G中的指數，即等于陪集的個數。
定理： 設σ是群G到G′上的一個同态映射，若σ的核為N，則G′≌ G/N。
設σ為群G到G′上的同态映射。
1️⃣ 若H為G之子群，則 H′=σ(H)亦為G′之子群。
2️⃣ 若H′為G′之子群，則 $ H=σ ^ {-1}（H′）$ 亦必為G之子群，其中 $ σ ^ {-1}(H′)= {x| x∈G , σ(x)∈H′} 。 $
3️⃣
4️⃣ $ σ ^ {-1} (σ(H))=HN $
5️⃣ 若 N H ，則HN=H, 即 $ σ ^ {-1} (σ(H))=H。$
6️⃣ H是G的正規子群必要而且隻要 H’=σ(H)是G’的正規子群。
7️⃣ G與N之間的子群和G′的子群一一對應，大群對應大群，小群對應小群，正規子群對應正規子群。
🌋 注意：G與N之間的子群指的是比N大比G小的子群。是以有N⊆H。G與N之間的子群，沒說G的子群，G的子群，跟G’的子群之間不是一一映射
🌋 兩張圖概括
離散數學（集合論）
離散數學（古典數理邏輯）
離散數學（圖與網絡）
離散數學（數論基礎）
離散數學（格與布爾代數）
離散數學（群、環、域）