摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程式說明OpenCascade中的邊界表示的具體實作，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何資訊的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文通過ACIS與OpenCascade進行對比來對拓樸（Topology）的概念進行說明。并通過示例程式，說明如何在OpenCascade中取得與一個拓樸對象相連的其他拓樸對象，包括父對象和子對象。 關鍵字Key Words：OpenCascade、ACIS、BRep、Topology、Geometry
Topology and Geometry in OpenCascade-Topology
摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程式說明OpenCascade中的邊界表示的具體實作，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何資訊的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文通過ACIS與OpenCascade進行對比來對拓樸（Topology）的概念進行說明。并通過示例程式，說明如何在OpenCascade中取得與一個拓樸對象相連的其他拓樸對象，包括父對象和子對象。
關鍵字Key Words：OpenCascade、ACIS、BRep、Topology、Geometry
邊界表示（Boundary Representation）也稱為BRep表示，它是幾何造型中最成熟、無二義的表示法。實體的邊界通常是由面的并集來表示，而每個面又由它所在的曲面的定義加上其邊界來表示，面的邊界是邊的并集，而邊又是由點來表示的。
邊界表示的一個重要特征是描述形體的資訊包括幾何資訊（Geometry）和拓樸資訊（Topology）兩個方面。拓樸資訊描述形體上的頂點、邊、面的連接配接關系，它形成物體邊界表示的“骨架”。形體的幾何資訊猶如附着在“骨架”上的肌肉。例如，形體的某個面位于某一個曲面上，定義這一曲面方程的資料就是幾何資訊。此外，邊的形狀、頂點在三維空間中的位置（點的坐标）等都是幾何資訊，一般來說，幾何資訊描述形體的大小、尺寸、位置和形狀等。
在邊界表示法中，邊界表示就按照體－面－環－邊－點的層次，詳細記錄構成形體的所有幾何元素的幾何資訊及其互相連接配接的拓樸關系。這樣，在進行各種運算和操作中，就可以直接取得這些資訊。
拓樸是指一個模型中的不同實體之間的關系，它描述了幾何實體之間的連接配接方式。拓樸定義了一個空間位置不固定的浮動模型。當拓樸實體與幾何資訊關聯在一起時，它的空間位置才确定。
拓樸可以是有邊界的、沒邊界的和半封閉的，它允許實體是完全實體，也可以是不完全實體。例如，實體可以沒有面，面可以沒有邊，實體也可以從内部将它分割成殼的内部面。這種實體在實體世界中是不存在的，但在幾何造型核心中可以表現出來。
ACIS模型的邊界表示（B-Rep）是将模型的拓樸結構按層次分解成下述對象：
1. 體（Body）：是實體對象的最高層次，是塊（lump）的集合。體可以是線、面、或實心體；
2. 塊（Lump）：空間一維、二維或三維點連接配接而成的集合，與其他塊（lump）不關聯，其邊界由殼（shell）組成；
3. 殼（Shell）：互聯的線或面的集合，它可以界定實體的外部或内部區域；
4. 子殼（Subshell）：殼的進一步分解，用于處理内部處理算法的效率；
5. 面（Face）：被一個或多個邊（edge）組成的環（loop）界定的曲面中的連通域。面可以是“雙向”的，這時它的厚度趨于無窮小。面也可以是“單向”的，這時面的法線指向面的外部，另一邊側是面的内部；
6. 環（Loop）：面（face）的邊界中互相連接配接的部分，它由一系列的有向邊（coedge）組成。通常環是封閉的，沒有實際的開始和結束點，但是ACIS中的環可以是開環；
7. 線（Wire）：沒有附着在面上的，連接配接在一起的有向邊（coedge）；
8. 有向邊（Coedge）：表示面（face）或線（wire）中對某個邊的引用；
9. 邊（Edge）：與曲線關聯的拓樸，由頂點（vertex）界定。
10. 頂點（Vertex）：點是幾何造型中的最基本元素。用計算機存儲、管理、輸出形體的實質就是對點集及其連接配接關系的處理。
Figure 2.1 Topology of ACIS
上圖說明了概念上的拓樸對象之間的關系，這些對象組成了ACIS邊界表示方法的基礎。它們在ACIS中分别用類BODY、LUMP、SHELL、SUBSHELL、FACE、LOOP、WIRE、COEDGE、EDGE和VERTEX實作，這些類派生于類ENTITY。
ACIS通過在它的資料結構中整合了線框、曲面和實體這三種表示方法，将這三種不同的幾何體聯系在一起。線框實體可以和實體（solid）與面實體共享，它們可以是共享邊、有向邊與頂點。由于這種共存的實作，使ACIS具有了表示混合次元模型與各種各樣不封閉模型的能力，如一個平面可以隻在3個方向上有邊界邊，另外一方向沒有邊界。
Figure 2.2 Class Diagram of ACIS Topology
ACIS的對象都有包圍盒（Bound），這在求交運算中很有用，可以提高效率。如果兩個對象的包圍盒相交，那麼這兩個對象則可能相交，然後再執行更精确的求交運算。如果兩個對象的包圍盒不相交，則這兩個對象一定不相交，這樣進一步的精确求交運算就不需要了。
既然拓樸表示了各對象之間的連接配接關系，那麼給定一個對象時，可以容易得到其相連接配接其它對象。圖3說明了ACIS中組成實體、面、線和混合體的所有實體類，這些類及其方法提供了一個邊界表示造型器所必需的資料和方法。層次關系中向上和向下的訓示說明這些類之間允許資料的快速切換，利用這種功能就可以确定兩個實體是否共享邊或頂點。從圖中可以看出拓樸類都有指向對應的幾何體類的指針。
Figure 2.3 Topology structure of ACIS
從上圖可以看出，任意給定一個對象，可以快速獲得與其相連的其它對象，不管是向下還是向上。如給定一個FACE對象，可以通過loop()向下獲得LOOP對象；可以通過shell()向上獲得SHELL對象。
除了頂點以外，其他拓樸對象都有bound()，可以取得其包圍盒。
下面是統計一個模型中所有面的數量的程式，該程式就是利用拓樸類的公共成員函數來完成面的統計功能。通過這個程式來說明函數的使用方法。
OpenCascade中的拓樸（topology）是根據STEP标準ISO-10303-42設計的。也許讀一下這個标準中的有關概念還是很有幫助的。STEP ISO-10303-42的相關資源：
http://www.steptools.com/support/stdev_docs/express/step_irs/index.html
Figure 3.1 Topology data structure in OpenCascade
TopoDS_Shape由值控制，包含三個成員變量：myLocation、myOrient、myTShape。
Figure 3.2 TopoDS_Shape member fields
其中TopoDS_TShape中包含與此對象相連接配接的子對象。
下圖所示為由一條邊連接配接的兩個面組成的殼（shell）：
Figure 3.3 Structure of a shell formed from two faces
上圖所示的形狀表示為TS， 面TF1和TF2，有七條邊TE1~TE7和六個頂點TV1~TV6。
環TW1引用邊TE1~TE4；環TW2引用TE4~TE7 。邊引用的頂點如下：TE1（TV1，TV4），TE2（TV1，TV2），TE3（TV2，TV3），TE4（TV3，TV4），TE5（TV4，TV5），TE6（TV5，TV6），TE7（TV3，TV6）。
Figure 3.4 Data structure of the shell formed from two faces connected at an edge
注：OpenCascade中的這個資料結構中不包含“反向引用（back references）”，即所有的引用隻從複雜形狀到簡單形狀。（Note that this data structure does not contain any “back references”. All references go from more comples underlying shapes to less complex ones.）有點有向圖的意思。
這個根據OpenCascade的拓樸結構的類圖可知，通路形狀的子對象是很容易的。為了獲得一個對象的拓樸，不管是向上還是向下，OpenCascade提供了專門類和函數來實作。當向下通路拓樸對象時，OpenCascacde提供了兩種方法來周遊子對象。向上周遊時，OpenCascade提供了一個靜态函數TopExp::MapShapesAndAncestors()來實作。以下分别對其進行說明。
周遊子對象是向下來通路拓樸關系。OpenCascade中周遊一個形狀的子對象的兩個方法分别為：
l 直接使用類TopoDS_Iterator來周遊：
Direct children can be retrieved using TopoDS_Iterator，如下函數可以通路目前對象所有的子對象，不管子對象的類型。通過遞歸的方式來實作。
TopoDS_Iterator有兩個标志位，用于控制在查詢子對象時設定是否考慮父對象的位置和朝向（location and orientation）。若位置（location）标志設定為開，那麼所有子對象傳回的值就像它們是獨立的對象一樣，而且位置是在具有全局坐标系的三維空間中的位置。（例如使用者将看到單獨取出來的邊edge與其父對象環wire中顯示的位置是一樣的。）若朝向（orientation）标設定為開，則傳回的子對象的朝向将會變成父對象的朝向與子對象朝向的乘積（例如，子對象和父對象兩者都是反向reversed或是向前forward，則結果仍然向前。向前與反向的任意組合結果都将為反向）。
若标志位為關，則子對象就隻傳回其自身儲存的位置和朝向。預設情況下，兩個标志位都設定為開。
l 使用類TopExp_Explorer來周遊指定類型的子對象：
若隻想通路形狀指定類型的子對象，可以使用類TopExp_Explorer來實作。如下程式所示為通路對象的邊的功能。
類TopExp_Explorer還有一個附加參數，可以用來指定要跳過的父對象類型。這個參數在下面的情況下很有用。例如隻想取得“懸空”邊（floating edge, 即不屬于面的邊），就可用下面代碼來實作：
在使用OpenCascade時，你可能也注意到了，或者根據類圖分析到拓樸對象包含其子對象，而不是相反的方式。這是可以了解的，同一個對象或者子對象可以屬于不同的對象。例如任意共享邊可以屬于至少兩個面。然而有時也需要從子對象追蹤到與其相連的父對象。在OpenCascade中提供了靜态函數TopExp::MapShapesAndAncestors()來實作這個功能。
上面的代碼生成了myShape中面和邊之間的映射。若myShape是長方體，每一條邊會映射到兩個面上。若周遊同樣的長方體，并在每一個面中盡力找到邊的父對象，那麼明顯的該映射中一條邊隻有一個面，也就是目前正在搜尋的面。
程式輸出結果為：
1 The box has 6 faces.
程式輸出結果：
OpenCascade中的拓樸關系不像ACIS中那樣直接，但是也提供了向下通路子形狀、向上通路父形狀的類和函數，使用起來要涉及到好幾個類，不是很友善。
當向上通路與頂點相連接配接的邊時，有重複資料。
1. Roman Lygin, OpenCascade notes, opencascade.blogspot.com
2. 詹海生等, 基于ACIS的幾何造型技術與系統開發, 清華大學出版社, 2002
3. 孫家廣等. 計算機圖形學. 清華大學出版社
4. OpenCascade source code.
PDF Version: Topology and Geometry in OpenCascade-Topology