寫在前面：文章裡面的圖檔公式都是逆天一個個打出來畫出來的，公式系列基本上都提供了源碼
圖檔基本上不太加水印了，加了的也留了空間可以讓你裁剪去水印，這樣你引用也比較友善 ～
但是還是想說下：”加個參考連結呗，逆天寫作也不容易啊～“
線上預覽：http://github.lesschina.com/python/ai/math/數學基礎.html
線性代數研究的是什麼内容？
把2維世界轉換成2維的世界
把3維世界轉換成2維的世界
把2維世界轉換成3維的世界
1維直線、2維平面（長寬）、3維空間（長寬高 | xyz軸）、4維時空（xyz軸+時間軸）
學習中主要就是學習<code>矩陣</code>、<code>向量</code>等，了解<code>線性映射</code>、<code>特征值</code>和<code>特征向量</code>等。
總結：線性代數就是一門将M維世界與N維世界聯系起來的學科
一開始人們用的數都是 自然數 (0、1、2...)來計算
後來發現用小數減大數就沒法計算了。eg：<code>1-2=?</code>
接着就引入了<code>負數</code>，然後常用的數就變成了 整數 (正整數、0、負整數)，這樣就可以快樂的<code>加減乘</code>運算
整數：
自然數
負數
後來發現，像<code>1/3=?</code>這類的不能整除了，于是就引入了<code>分數</code>，
這樣數的界限又擴充了，就叫 有理數 ，這樣加減乘除都可以通過分數來表示了
有理數（分數）：
整數
正整數
負整數
好景不長，之後求圓面積啥的，又發現了像<code>π、√3</code>這類的，沒法用分數表示的數，
于是就又在原有基礎上擴充了，加入了<code>無理數</code>，數的界限又擴充了==> 實數
實數（小數）：
有理數（分數）
非整數的有理數
無理數
這下總算可以了吧，可事實往往出乎意料，像二次曲線求解有無解的情況（曲線跟x軸不相交）
這太不科學了吧，然後就引入了 <code>虛數</code>i 的概念，并定義<code>i²=-1</code>，數的範圍又擴大了，就叫 複數
舉個例子(後面有推導)：
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$
以前我們遇到：<code>x²+3=0</code>，因為判别式<code>b²-4ac<0</code> 是以方程無解（或者曲線畫出來，看跟x軸有幾個交點==>就說明有幾個解）
其實我們中學學的這個無解，指的是在實數範圍内無解
引入虛數後：<code>x²+3=0</code>==> <code>x²-(-3)=0</code>，因為<code>i²=-1</code> ==> <code>(x+√3i)(x-√3i)=0</code> 有解了
In [1]:
In [2]:
綜上所述，數可以分為：
複數：<code>z = a+bi，i² = -1</code>
實數（虛部b=0）
有理數
正整數：1、2、3
負整數：-1、-2、-3
非整數的有理數（[正負]分數）
[正負]有限小數：0.3 ==> (3/10)
[正負]循環小數：0.3333... (1/3)
無限不循環小數：π、√3
虛數（虛部b!=0）
純虛數（虛部b!=0，且實部a=0）
非純虛數
這個應該是國中學的，很多學校教數學就讓背公式，其實這樣容易忘記（你好幾年不接觸數學公式還記得？）會推導才是根本 ：
其實不僅僅是數學公式了，很多程式中的算法也是這樣，都是需要推導的，不然隻能用而不能深究，就更不提創新了。不扯了，進入正題：
$\mathbf{ax^2+bx+c=0（a\neq0)}$
要求x，那我們先兩邊同時除以a：
$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$
把和x沒關系的常數移到等号另一邊：
$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$
看到左邊就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我們來湊一下：
$\mathbf{x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$
因為：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 是以可以轉換成：
$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$
把右邊化簡一下：
$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
去左邊平方（右邊開根号）：
$\mathbf{x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
把左邊的常數移過去：
$\mathbf{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
友善有需求的人，推導過程的源碼貼一下：
命題中學階段就接觸了，我們來先說說命題 ：可以判斷真假的語句叫做命題
比如：<code>小明是個男的</code>，這個不管對錯肯定有個确定的答案
再比如：<code>小明是活潑好學的孩子</code>，這個就不一定了，公說公有理婆說婆有理，這種結果模糊不确定的就不是命題
充分條件和必要條件
這個時間長了容易混淆，舉個例子：<code>小明是人類</code>，<code>人類是小明</code>
通過小明肯定能推出他是個人，這個就叫必要條件
人就一定是小明嗎？不一定吧 ==> 這個就是充分條件
如果P成立，Q就成立是真命題時，就可以表示為：<code>P=>Q</code> （由P肯定能推導出Q）（eg：<code>小明=>人</code>）:
<code>P是Q的必要條件</code>
<code>Q是P的充分條件</code>
充分必要條件：
如果<code>P=>Q</code>，而且<code>Q=>P</code>，那麼：
<code>P是Q的充分必要條件</code>
<code>Q是P的充分必要條件</code>
表示為：<code>P<=>Q</code>
集合應該是剛上高中那會教的内容，我們來看看：
集合 （Python裡面用 set 來表示）：某種特定性質的對象，彙總成的集體(<code>人以類聚,物以群分</code>) 這些對象稱為該集合的元素。
集合中的元素有三個特征：
确定性（集合中的元素必須是确定的）
互異性（集合中的元素互不相同）eg：集合A={1，a}，則a不能等于1）
無序性（集合中的元素沒有先後之分）eg：集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一個集合
表示方式，eg：10以内的偶數：
<code>X = {0, 2, 4, 6, 8}</code>
<code>X = {2n | n = 0, 1, 2, 3, 4}</code>
當x是X集合裡面的元素時，可以表示為：<code>x ∈ X</code> eg:<code>2 ∈ X</code>
In [3]:
In [4]:
Out[4]:
子集 ：當一個集合A裡面所有元素都屬于集合B時，稱A是B的子集。即：<code>A ⊆ B</code>
eg：集合A：{1,2,3} 集合B：{1,2,3,4} ==> <code>A ⊆ B</code>
如果兩個集合A和B的元素完全相同，則稱A與B兩個集合相等，記為 <code>A=B</code>：
集合A：{1,2,3,4} 集合B：{1,2,3,4} ==> <code>A ⊆ B</code> and <code>B ⊆ A</code> ==> <code>A = B</code>
真子集 ：如果集合A是集合B的子集<code>A ⊆ B</code>，并且集合B中至少有一個元素x∉A，那麼集合A叫做集合B的真子集
簡單講：<code>如果A包含于B,且A不等于B,就說集合A是集合B的真子集</code>（<code>A有的B全有，B有的A不一定有</code>）
如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的集合的真子集；所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
In [5]:
In [6]:
Out[6]:
In [7]:
Out[7]:
In [8]:
Out[8]:
并集 ：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，讀作“A并B”（或“B并A”）并集越并越多，而且沒有重複元素。
記作<code>A∪B</code> or <code>B∪A</code>，即 <code>A∪B={x|x∈A,或x∈B}</code>
交集 ：由屬于A且屬于B的相同元素組成的集合，讀作“A交B”（或“B交A”）交集越交越少。
記作<code>A∩B</code> or <code>B∩A</code>，即 <code>A∩B={x|x∈A,且x∈B}</code>
若A包含B，則<code>A∩B=B，A∪B=A</code>
差集 ：A，B是兩個集合，所有x∈A且x∉B的元素構成的集合，叫做集合A減集合B（或集合A與集合B之差）
類似地，對于集合A、B，我們把集合 <code>A-B={x∣x∈A,且x∉B}</code> 叫做A與B的差集（<code>把B中元素從A中減去</code>）
補集 ：一般指絕對補集，即一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集（S包含于A）（<code>大前提</code>），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在S中的絕對補集。
擴充：在集合論和數學的其他分支中，存在補集的兩種定義：相對補集和絕對補集
In [9]:
In [10]:
Out[10]:
In [11]:
Out[11]:
In [12]:
Out[12]:
In [13]:
In [14]:
Out[14]:
In [15]:
Out[15]:
這個系列應該是高一的知識
設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個确定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素<code>x</code>，在集合B中都有唯一的元素<code>y</code>與之對應，那麼就稱對應的規則<code>f</code> 為從集合A到集合B的<code>映射</code> 一般這樣表示：<code>f：A → B</code>。其中，<code>y</code>稱為元素<code>x</code>在映射<code>f</code>下的 <code>像</code> ，記作：<code>y=f(x)</code>。
通俗講：
把使集合A的元素與集合B的元素相對應的<code>規則</code>叫做 <code>“集合A到集合B的映射”</code>
如果從A集合中取元素<code>x</code>，通過<code>f</code>得到其對應B集合的元素<code>y</code>。這個新的元素就叫做：“<code>x通過映射f形成的像</code>”
<code>像</code>這個說的還是有點抽象，舉個簡單的例子：
高中的時候經常做這樣的練習：<code>f(x)=2x+1</code>
用映射來解釋就是：“映射 <code>f</code> 是使集合B的元素 <code>2x+1</code> 與集合A的元素 <code>x</code> 相對應的規則”
再解釋像就簡單了：<code>f(2)</code>
<code>x=2</code> 通過 <code>f</code> 形成的像是 <code>2*2+1</code>
我們把映像<code>f</code>産生的值組成一個集合<code>{f(0)、f(1)、f(2)...}</code>，這個集合就叫做“映像<code>f</code>的值域”。
而<code>x</code>值組成的集合 <code>{0、1、2...}</code> 就叫做“映像<code>f</code>的定義域”。
這個值域的集合往往是集合B的子集：$\lbrace f(x_1)，f(x_2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$
比如說：<code>f(x)=2x+1</code> 定義域A{0、1、2、3}，那麼求出來的值域是：{1、3、5、7}，而B集合是{1、3、5、7、8}
滿射：如果值域任何元素都有至少有一個變量與之對應，那這個映射就叫做滿射。
來個示意圖：f(x)=x$^2$
其實老版本的教科書還有一種說法叫做：”當映射f的值域等于集合B時，f為<code>滿射</code>“
單射：設f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的<code>單射</code>（函數f被稱為是單射時，對每一值域内的y，存在至多一個定義域内的x使得f(x) = y）
來個圖示：（兩種情況都是）
雙射 (一一映射)：既是單射又是滿射的映射稱為<code>雙射</code>
圖示：（偷個懶，拿上面的圖檔改改）
這次先不定義，先看個圖：
看完圖基本上懂了（映射<code>g</code>就是映射<code>f</code>的逆映射），現在來定義一下：
逆映射 :
當f是雙射（一一對應的單射）并且映射<code>f</code>和映射<code>g</code>滿足：
g(f(x))=x
f(g(x))=x
那麼映射<code>g</code>就是映射<code>f</code>的逆映射，表示方式：$f^{-1}:B\rightarrow A$
後面說線性回歸之類的代碼和數學知識時會講，這邊因為也是屬于映射内容，是以簡單提一下定義：
假設 $x_1$ 和 $x_2$ 是屬于A集合中的任意元素，<code>c</code> 為任意實數，<code>f</code> 為從A到B的映射。
當映射<code>f</code>滿足以下兩個條件：
$f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$
$cf(x_1)=f(cx_1)$
那麼映射<code>f</code>就是從A到B的線性映射
舉個例子：<code>f(x)=x</code> 驗證一下：是線性映射
$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2=f(x_1+x_2)$
$cf(x_1)=cx_1=f(cx_1)$
再測試一個不是的：<code>f(x)=x+1</code> 驗證一下：
$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2+2$
$f(x_1+x_2)=x_1+x_2+1$
$f(x_1)+f(x_2)\neq f(x_1+x_2)$
後面都不用驗證了，不是線性映射
這個應該是高二的時候學的，簡單提一下
排列組合 ：
排列：從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序
組合：從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序
組合個數：“從<code>n</code>個中挑出<code>r</code>個的個數” 一般用 $C^r_n$ 來表示(n>=r)
$\Large {C^r_n=\frac{n!}{r!(n-r)!}}$
排列個數：“從<code>n</code>個中挑出<code>r</code>個的個數，然後再把選好的r個事物按照順序排列的種數” 一般用 $A^r_n$ 來表示(n>=r)
$\Large {A^r_n=r!C^r_n=\frac{n!}{(n-r)!}}$
如果還抽象的話，我們來看個案例：
小明請小潘和小張一起去食堂吃飯，食堂今天總共有5個菜
1.試問，他們從5個菜中選出3個不同的菜，有幾種可能性？
假設有A、B、C、D、E這5個菜，那選出3個有如下組合(不管順序)：
列舉
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$
2.試問，選出的這3個菜有幾種排放順序？
假設選出的是A、B、C這3個菜，那它的排序有幾種可能：
序号
A
ACB
B
BAC
BCA
C
CAB
CBA
其實無論選擇哪3種，他們的排序都是6種，3!=3×2×1=6
簡單分析一下：
第一道菜可以在已經選好的菜裡面選1個，那就是3種可能
第二道菜可以在剩下的2道菜中選1個，那就是2種可能（第一道剛才選好了，已經算确定的了）
第三道菜不用選了，因為現在隻剩下1道了，那就是1種可能
是以有 3×2×1種可能==>3!=6種可能
3.試問，從5個菜中選出3個不同的菜，并按順序打包帶走總共有多少種可能？
排列的個數其實就是：<code>5選3組合個數 × 3道菜可能的排序</code> = 10 × 6 =60
$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$
簡單分析推導一下：
第一個菜可以在5道菜裡面選一個，那就是5種可能
第二道菜可以在剩下的4道菜裡面選一個，那就是4種可能
第三道菜可以在剩下的3道菜裡面選一個，那就是3種可能
那總共可能性就是：5×4×3=60種可能性，和上面公式計算一樣結果
排列、組合、二項式定理公式口訣：
以前在網上找的資料，你們有更好的可以貼一下（點我檢視）
下次和Numpy一起講，這樣才會～數學不枯燥，代碼不空洞
作者：毒逆天
出處：https://www.cnblogs.com/dotnetcrazy
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