ACM中的浮點數精度處理

    在ACM中，精度問題非常常見。其中計算幾何頭疼的地方一般在于代碼量大和精度問題，代碼量問題隻要平時注意積累模闆一般就不成問題了。精度問題則不好說，有時候一個精度問題就可能成為一道題的瓶頸，讓你debug半天都找不到錯誤出在哪。

1.浮點數為啥會有精度問題：

浮點數(以C/C++為準)，一般用的較多的是float, double。

占位元組數

數值範圍

十進制精度位數

float

4

-3.4e-38～3.4e38

6~7

double

8

-1.7e-308～1.7e308

14~15

如果記憶體不是很緊張或者精度要求不是很低，一般選用double。14位的精度(是有效數字位，不是小數點後的位數)通常夠用了。注意，問題來了，資料精度位數達到了14位，但有些浮點運算的結果精度并達不到這麼高，可能準确的結果隻有10~12位左右。那低幾位呢？自然就是不可預料的數字了。這給我們帶來這樣的問題：即使是理論上相同的值，由于是經過不同的運算過程得到的，他們在低幾位有可能(一般來說都是)是不同的。這種現象看似沒太大的影響，卻會一種運算産生緻命的影響: ==。恩，就是判斷相等。注意，C/C++中浮點數的==需要完全一樣才能傳回true。來看下面這個例子:

輸出：

      a = 3.14159265358979360000

      b = 3.14159265358979310000

      a - b = 0.00000000000000044409

      a == b = 0

我們解決的辦法是引進eps，來輔助判斷浮點數的相等。

2. eps

       eps縮寫自epsilon，表示一個小量，但這個小量又要確定遠大于浮點運算結果的不确定量。eps最常見的取值是1e-8左右。引入eps後，我們判斷兩浮點數a、b相等的方式如下:

定義三出口函數如下: int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}

則各種判斷大小的運算都應做如下修正:

傳統意義

修正寫法1

修正寫法2

a == b

sgn(a - b) == 0

fabs(a – b) < eps

a != b

sgn(a - b) != 0

fabs(a – b) > eps

a < b

sgn(a - b) < 0

a – b < -eps

a <= b

sgn(a - b) <= 0

a – b < eps

a > b

sgn(a - b) > 0

a – b > eps

a >= b

sgn(a - b) >= 0

a – b > -eps

這樣，我們才能把相差非常近的浮點數判為相等;同時把确實相差較大(內插補點大于eps)的數判為不相等。

PS: 養成好習慣，盡量不要再對浮點數做==判斷。例如，我的修正寫法2裡就沒有出現==。

3. eps帶來的函數越界

如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出來并傳進來的，那就得小心了。

如果a本來應該是0的，由于浮點誤差，可能實際是一個絕對值很小的負數(比如1e-12),這樣sqrt(a)應得0的，直接因a不在定義域而出錯。

類似地，如果a本來應該是±1,則asin(a)、acos(a)也有可能出錯。

是以，對于此種函數，必需事先對a進行校正。

4. 輸出陷阱I

這一節和下一節一樣，都是因為題目要求輸出浮點數，導緻的問題。而且都和四舍五入有關。

說到四舍五入，就再扯一下相關内容,據我所知有三種常見的方法:

1. printf(“%.3lf”, a);  //保留a的三位小數，按照第四位四舍五入

2. (int)a;  //将a靠進0取整

3. ceil(a); floor(a);   //顧名思義，向上驗證、向下取整。需要注意的是，這兩個函數都傳回double，而非int

其中第一種很常見于輸出(nonsense…)。

現在考慮一種情況,題目要求輸出保留兩位小數。有個case的正确答案的精确值是0.005,按理應該輸出0.01,但你的結果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲劇),如果按照printf(“%.2lf”, a)輸出，那你的遭遇将和括号裡的字相同。

解決辦法是，如果a為正，則輸出a+eps, 否則輸出a-eps

典型案例: POJ2826

5. 輸出陷阱II

ICPC題目輸出有個不成文的規定(有時也成文)，不要輸出: -0.000

那我們首先要弄清，什麼時候按printf(“%.3lf\n”, a)輸出會出現這個結果。

直接給出結果好了：a∈(-0.000499999……, -0.000……1)

是以，如果你發現a落在這個範圍内，請直接輸出0.000。更保險的做法是用sprintf直接判斷輸出結果是不是-0.000再予處理。

典型案例:UVA746

6. 範圍越界

這個嚴格來說不屬于精度範疇了，不過湊數還是可以的。請注意，雖然double可以表示的數的範圍很大，卻不是不窮大，上面說過最大是1e308。是以有些時候你得小心了，比如做連乘的時候，必要的時候要換成對數的和。

典型案例:HDU3558

7. 關于set<T>

有時候我們可能會有這種需求，對浮點數進行 插入、查詢是否插入過 的操作。手寫hash表是一個方法(hash函數一樣要小心設計)，但set不是更友善嗎。但set好像是按==來判重的呀？貌似行不通呢。經觀察,set不是通過==來判斷相等的，是通過<來進行的，具體說來，隻要a<b 和 b<a 都不成立，就認為a和b相等，可以發現，

如果将小于定義成:      bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}就可以解決問題了。 (基本類型不能重載運算符，是以封裝了下)

8. 輸入值波動過大

這種情況不常見，不過可以幫助你更熟悉eps。假如一道題輸入說，給一個浮點數a, 1e-20 < a < 1e20。那你還敢用1e-8做eps麼？合理的做法是把eps按照輸入規模縮放到合适大小。

典型案例: HUSTOJ 1361

9. 一些建議

容易産生較大浮點誤差的函數有asin、 acos。歡迎盡量使用atan2。

另外，如果資料明确說明是整數，而且範圍不大的話，使用int或者long long代替double都是極佳選擇，這樣就不存在浮點誤差了