狄利克雷函數
狄利克雷函數的奇偶性和周期性
作用
dirac 在 Matlab 中使用
19世紀的德國數學家狄利克雷提出一個函數：
這屬于一個人造函數，而這個函數本身卻給我們帶來很多深刻的思考。
首先最好來感受一下這個函數。當x取有理數的時候，函數值為1；當x取無理數的時候，函數值為0。這裡糾結的地方在哪裡呢？無理數和有理數密密麻麻地摻雜在一起，任意兩個無理數之間有無窮多個有理數，任意兩個有理數之間有無窮多個無理數。也就是不管x的區間取得多麼小，函數值會急劇地在0與1之間反複跳動。
這種跳動不是一般的函數波動，而是捉摸不到的、極其迅速的跳變。是以狄利克雷函數是極度不連續的。
是以，狄利克雷函數的一個重要特點就是：無法作圖。你可以試着把x軸上的有理數和無理數進行分離，屬于有理數的點上升一個機關，屬于無理數的點停留在原處。當然，這隻能存在于想象中，圖形無法表示。
這就使得函數的概念擴大了。函數不一定需要表達式，甚至不需要圖像，它成為了一個抽象的概念。隻要存在某種對應關系，我們就可以稱之為函數。
假設 x x x 是在正半軸上的，如果它是有理數， − x -x −x 也為有理數；如果它是無理數， − x -x −x 也為無理數。例如 x = π x=\pi x=π，那麼 f ( π ) = 0 , f ( − π ) = 0 f(\pi)=0, f(-\pi)=0 f(π)=0,f(−π)=0。是以對于一切 x x x， f ( x ) = f ( − x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(−x) 。于是狄利克雷函數是偶函數，也就是它的圖像是軸對稱的，是可以關于 y y y 軸折起來的（實數的對稱性）。
再說周期性。任何有理數都可以作為狄利克雷函數的周期。即 f ( x + 有 理 數 ) = f ( x ) f(x+有理數)=f(x) f(x+有理數)=f(x) 。如果 x x x 為有理數，則有 1 = 1 1=1 1=1；如果 x x x 為無理數，則有 0 = 0 0=0 0=0。
無理數可不可以作為函數的周期呢？答案是否定的。假設無理數可以作為周期，肯定有 f ( x + π ) = f ( x ) f(x+\pi)=f(x) f(x+π)=f(x)。如果我取 x = − π x=-\pi x=−π，則得到 1 = 0 1=0 1=0。然而這是不成立的，說明假設是錯誤的。
最後，我們回到函數的“極度”不連續上。“極度”的意思就是函數“圖像”下面沒有面積，也就是它和x軸圍不出面積。那麼我們就要去問：函數不連續到什麼程度它下面才會沒有面積？
From: 狄利克雷函數
定義在整個數軸上。
無法畫出圖像。
以任何正有理數為其周期（進而無最小正周期）。
處處無極限、不連續、不可導。
在任何有界區間上黎曼不可積。另一方面也作為反例說明了對于黎曼積分，單調收斂定理不成立。
是偶函數。
它在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上勒貝格可積。
它就是一朵奇葩，打破你對函數基本性質的一切美好想象。它是一柄照妖鏡，在你猜測一個關于函數的命題前，可以先用它照一下。
From: 狄利克雷函數（Dirichlet Function）有什麼用處？
Syntax
d = dirac(x)
d = dirac(n,x)
d = dirac(x) represents the Dirac delta function of x.
d = dirac(n,x) represents the nth derivative of the Dirac delta function at x.
dirac(t)
這表示關于 t t t 的狄利克雷函數
dirac(1,t)
dirac(2,t)
是以，這兩個分别表示關于 t t t 的狄利克雷函數的 1 階 2 階導數。
dirac(t,1)
ans = 0
dirac(t,2)
dirac(t,0)
ans = (-1)^t*Inf
From: https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/sym.dirac.html