(170228) 已知 $c^2-4ab\neq 0$, 計算行列式 $$\bex \sevm{ c&a&&&\\ b&c&a&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&b&c&a\\ &&&b&c }. \eex$$
(170227) 等待延後滿足.
(170226) 帝王可以借權勢改幾本史書, 卻改變不了天下人的評價.
(170225) 希望失去貪, 嗔和怒.
(170224) 人生注定要迎來死亡, 但是我們也要認真地生活!
(170223) 不要停止學習, 即便你很老很老, 也要對這個世界保持好奇; 學會感恩, 要相信所有的經曆都是生命的饋贈.
(170222) 勢利之交, 難以經遠. 士之相知, 溫不增華, 寒不改葉, 貫四時而不衰, 曆夷險而益固. (諸葛亮)
(170221) [楊忠道定理] 拓撲空間中每個子集的導集都是閉集當且僅當每個單點集的導集是閉集.
(170220) 設 $f$ 在 $[a,b]$ 上二階連續可微, 滿足 $$\bex |f(x)|\leq A,\quad |f''(x)|\leq B,\quad \forall\ x\in [a,b], \eex$$ 并且 $$\bex \exists\ x_0\in [a,b],\st |f'(x_0)|\leq D. \eex$$ 試證: $$\bex |f'(x)|\leq 2\sqrt{AB}+D,\quad\forall\ x\in [a,b]. \eex$$
(170219) [導數介值定理] 設 $f$ 在 $[a,b]$ 上可導, 實數 $k$ 滿足 $f'(a)<k<f'(b)$. 試證: $$\bex \exists\ \xi\in(a,b),\st f'(\xi)=k. \eex$$
(170218) 設 $A_1,\cdots,A_n \in M_n(\bbF)$, $g(x) \in \bbF[x],$ 使得 $g(A_1),\cdots,g(A_n)$ 都是非異陣. 證明: 存在$h(x) \in \bbF[x]$, 使得 $g(A_i)^{-1} = h(A_i)$ 對所有的 $1 \le i \le m$ 都成立.
(170217) 設方陣 $$\bex A=\sexm{1&0&0&0\\0&a&a&0\\ a-2&0&1&0\\ 0&1&0&0} \eex$$ 可對角化, 求 $a$ 的值.
(170216) 設 $A$ 是數域 $\bbF$ 上的 $n$ 階對合陣, 即 $A^2=E_n$. 試證; $n-\tr A$ 是偶數; 且 $\tr A=n\lra A=E_n$.
(170215) 求極限 $\dps{\vlm{n}\sin (\pi\sqrt{n^2+1})}$.
(170214) 設常數 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 滿足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$. 求證: $$\bex \vlmp{x}\sum_{k=1}^na_k\sin\sqrt{x+k}=0. \eex$$
(170213) 求極限 $\dps{\vlm{n}n\sin (2\pi n!\e)}$.
(170212) 設 $a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n$, 且 $b_1\leq b_2\leq \cdots\leq b_n$. 證明 Chebych\"ev (切比雪夫, 1821~1894) 不等式: $$\bex \sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i\leq n\sum_{i=1}^n a_ib_i. \eex$$
(170211) 設 $a_1,a_2,\cdots,a_n\ (n\geq 2)$ 都是正數, 且 $a_1+a_2+\cdots+a_n<1$. 證明: (1) $\dps{\f{1}{1-\sum_{k=1}^n a_k} >\prod_{k=1}^n (1+a_k)>1+\sum_{k=1}^n a_k}$; (2) $\dps{\f{1}{1+\sum_{k=1}^n a_k} >\prod_{k=1}^n (1-a_k)>1-\sum_{k=1}^n a_k}$.
(170210) 對任意的 $a>0$, 試證: $$\bex \vsm{k}\f{1}{k+a} \sqrt{\f{a}{k}}<\pi. \eex$$
(170209) 設 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二階連續導數, 且 $f(0)=f(1)=f'(0)=0$, $f'(1)=1$. 試證: $$\bex \int_0^1 |f''(x)|^2\rd x\geq 4, \eex$$ 并指出不等式中等号成立的條件.
(170208) 設 $f$ 在 $[0,2]$ 上連續可導, 且 $f(0)=f(2)=1$. 若 $|f'|\leq 1$, 試證: $$\bex 1\leq \int_0^2f(x)\rd x\leq 3. \eex$$
(170207) 設 $f$ 在 $[-1,1]$ 上可導, $\dps{M=\sup|f'|}$. 若 $$\bex \exists\ a\in (0,1),\st \int_{-a}^a f(x)\rd x=0, \eex$$ 試證: $$\bex \sev{\int_{-1}^1 f(x)\rd x}\leq M(1-a^2). \eex$$
(170206) 黑雲去來意, 烏江敗成齊. 我心素已閑, 安坐鬧市席. (張祖錦《修》)
(170205) 不管工作生活給了我們多大的壓力和煩惱, 都不要理會. 随它去吧. 能做好就做好, 能做的差不多就差不多, 不能做就不能做.
(170204) 設 $(X,\rho)$ 是度量空間, $A$ 是 $X$ 的非空子集, 考慮 $$\bex f(x)=\dist(x,A)\equiv \inf_{y\in A}\rho(x,y),\quad x\in X. \eex$$ 試證: $f$ 是 $X$ 上的一緻連續函數.
(170203) 設 $f:[0,\infty)\to \bbR$ 一緻連續, 滿足 $$\bex \vlm{n}f(x+n)=0,\quad\forall\ x\geq 0. \eex$$ 試證: $\dps{\vlm{x}f(x)=0}$.
(170202) 設 $f,g:\bbR\to \bbR$ 均是連續的周期函數, 滿足 $$\bex \vlm{x}[f(x)-g(x)]=0. \eex$$ 試證: $f\equiv g$.
(170201) 在度量空間 $(X,\rho)$ 中, 開球 $B(x,r)=\sed{y\in X;\rho(y,x)<r}$ 的閉包一定是 $\sed{y\in X;\rho(y,x)\leq r}$ 麼? 如果是, 請給出證明; 如果不是, 請舉出反例.