原文作者，聖安德魯斯大學數學與統計學院。
翻譯作者，mathyrl，哆嗒數學網翻譯組成員。
校對，math001。
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從今天起，我們将連載這部數學編年史。本文是翻譯版本，因為工作量巨大，必有疏漏（包括原文也會有錯誤），歡迎指正。
這應該是網上最全的數學編年史，從公元前30000年到公元2000年，哆嗒數學網為你奉獻。
這裡是 數學上下三萬年（六）：十九世紀下半葉的數學
這個時期發生了一些著名的戰争或者變革，比如普法戰争、美國南北戰争、日本明治維新。中國的“師夷制夷” 、“中體西用”的洋務運動也在這個時期内開展。各種科學學科已經很接近于現代，從書寫習慣來講，大部分現代課堂上學到的數學，基本始于這個時代。
本期出場人物有：切比雪夫、波爾查諾、劉維爾、黎曼、哈密頓、布爾、魏爾斯特拉斯、莫比烏斯、戴德金、西羅、吉布斯、埃爾米特、康托、龐加萊、博雷爾、希爾伯特、阿達瑪等。
本系列下面是往期内容：
數學上下三萬年（一）：愛在西元前
數學上下三萬年（二）：從羅馬時代到中世紀
數學上下三萬年（三）：大航海時代
數學上下三萬年（四）：歐洲資産階級革命開啟
數學上下三萬年（五）：十九世紀上半葉的數學
1850年
切比雪夫（Chebyshev）出版了《論素數》（On Primary Numbers），其中他證明了素數理論的新結果。他證明了伯特蘭猜想：對于n>1，在n和2n之間至少存在一個素數。
西爾維斯特（Sylvester）在他的論文《關于一類新的定理》（On a New Class of Theorems）中首次使用了“矩陣”一詞。
1851年
波爾查諾的書《無窮的悖論》（Paradoxien des Undendlichen）在他去世三年後出版。該書引入了他的關于無窮集合的想法。
劉維爾出版了關于特定超越數的存在性的第二本書，這種超越數被稱為“劉維爾數”。特别地他給出了一個例子：0.1100010000000000000000010000...，其中在第n! 位為1，其他位為0.
黎曼（Riemann）的博士論文包含了極其重要的思想，例如“黎曼曲面”及其性質。
1852年
西爾維斯特建立了代數不變量理論。
古德裡（Francis Guthrie）向德摩根提出了四色猜想。
沙勒（Chasles）出版了《高等幾何》（Traité de géométrie），其中讨論了交比、線束（pencils）、對合，這些概念都是他引入的。
1853年
哈密頓出版《四元數講義》（Lectures on Quaternions）。
謝克斯（Shanks）計算π到小數點後707位（在1944年人們發現謝克斯從第528位開始算錯了）。
1854年
黎曼完成了特許任教資格（Habilitation）。在他的專題論文中他研究了函數用三角級數的可表性。他給出函數可積的條件，被稱為“黎曼可積性”。在1854年6月10日發表的演講《論作為幾何基礎的假設》（Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen）中，他定義了一種n維空間，今天被稱為“黎曼空間”。
布爾初版了《思維規律的研究》（An Investigation of The Laws of Thought on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities）。他将邏輯歸約為代數，被稱為布爾代數。
凱萊第一次嘗試定義一個抽象群，雖然沒有完全取得成功，但是取得了重要進展。
1855年
麥克斯韋發表了《論法拉第力線》（On Faraday's lines of force），證明隻需用幾個相對簡單的數學方程就可以表示電磁場的行為以及其互相關系。
1856年，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）在克雷勒期刊的《阿貝爾函數理論》（Theorie der Abelschen Functionen）中發表了超橢圓積分的反演理論。
1857年，黎曼出版了《阿貝爾函數理論》（Theory of abelian functions）。它進一步發展了黎曼面的思想及其拓撲性質，将多值函數作為一個特殊“黎曼曲面”上的單值函數來研究，并解決了一般的反演問題，這些問題的特殊情形已被阿貝爾和雅可比解決。
1858年
凱萊給出了由西爾維斯特在1850年引入的術語“矩陣”的抽象定義，并在《矩陣理論筆記》（A Memoir on the Theory of Matrices）研究了矩陣的性質。
莫比烏斯描述了一條隻有一個面和一條邊的紙帶。現在被稱為“莫比烏斯帶”，它有一個令人驚奇的性質：從中間剪開依然保持完整的一塊。利斯廷（Listing）在同一年做出了同樣的發現。
戴德金（Dedekind）發現了一種嚴格的方法用“戴德金分割”來定義無理數。這個想法是他在思考如何教微積分的時候想到的。
1859年
曼海姆（Mannheim）發明了第一個帶有“遊标”的現代計算尺。
黎曼給出了一個有關素數的ζ函數的猜想。盡管在數以百萬計的情形下它已被驗證是正确的，然而在一般情形下黎曼猜想的正确性仍然未知。它或許是21世紀數學界最著名的未解決問題。
1860年
德勞内（Delaunay）出版了《月球運動理論》（La Théorie du mouvement de la lune）的第一卷，這是他20年的工作成果。他通過給出經度、緯度和月球視差的無窮級數來解決三體問題。
1861年
魏爾斯特拉斯發現了一條處處不可微的連續曲線。
1862年
麥克斯韋提出光是電磁現象。
傑文斯（Jevons）向英國科學協會講了《政治經濟的一般數學理論》（General Mathematical Theory of Political Economy）。
利斯廷（Listing）出版了《對歐拉多面體定理推廣後的空間幾何體研究》（Der Census raumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler'schen Satzes von den Polyedern），其中讨論了“歐拉公式”的擴充。
1863年
魏爾斯特拉斯在他的講座中給出了一個證明：複數是實數的唯一交換代數擴張。
1864年
伯特蘭（Bertrand）出版了《論微積分》（Treatise on Differential and Integral Calculus）。
倫敦數學協會成立。
本傑明·皮爾斯（Benjamin Peirce）向美國科學會展示了他關于線性結合代數的工作。它利用現代熟知的幂等元和幂零元工具對小于7維的所有複結合代數進行了分類。
1865年
普呂克在幾何上做出重要進展，他定義了一種4維空間，其中的基本元素是直線而不是點。
1866年，哈密頓的《四元數原理》（Elements of Quaternions）在他去世後尚未完成，花了7年時間寫成的800頁手稿在他去世後由他兒子出版。
1867年
莫斯科數學協會成立。
1868年
貝爾特拉米（Beltrami）出版了《非歐幾何的一種解釋》（Essay on an Interpretation of Non-Euclidean Geometry），其中對羅巴切夫斯基和鮑耶的非歐幾何給出了一個具體模型。
1869年
呂羅特（Lueroth）發現了“呂羅特四次曲線”。
1870年
本傑明·皮爾斯（Benjamin Peirce）自費出版了《線性結合代數》（Linear Associative Algebras）。
1871年
貝蒂（Betti）發表了一份拓撲學筆記，其中包含了“貝蒂數”。
1872年
戴德金發表了他對實數的形式構造，并給出整數的一種嚴格定義。
海涅（Heine）發表了一篇論文，其中包含了被稱為“海涅-博雷爾定理”的定理。
法國數學協會成立。
梅雷（Méray）出版了《新無窮小分析》（Nouveau précis d'analyse infinitésimale），緻力于通過幂級數展示單複變函數的理論。
西羅（Sylow）出版了《關于置換群的定理》（Théorèmes sur les groupes de substitutions），其中包含了著名的三個關于有限群的“西羅定理”。他對于置換群證明了這些定理。
克萊因（Klein）在愛爾蘭根發表了就職演講。他将幾何定義為研究一個空間在一個變換群作用下的不變性質。這被稱為“愛爾蘭根綱領”，深刻地影響了數學發展。
1873年
麥克斯韋出版了《電磁通論》（Electricity and Magnetism）。該書包含了四個偏微分方程，被稱為“麥克斯韋方程”。
埃爾米特（Hermite）出版了《論指數函數》（Sur la fonction exponentielle），其中他證明了e是超越數。
吉布斯（Gibbs）發表了兩篇關于熱力學圖的重要論文。
布羅卡爾（Brocard）做出了他的關于三角形的工作。
1874年
康（Cantor）發表了他的第一篇關于集合論的論文。他嚴格描述了無窮的概念。他證明了無窮有不同的大小。他還證明了一個引起争議的結果：幾乎所有的數都是超越數。
1876年
吉布斯（Gibbs）出版了《關于多相物質平衡》（On the Equilibrium of Heterogeneous Substances），它代表了數學在化學中的主要應用。
1877年
康托發現了一個驚奇的事實：區間[0, 1]的點與一個正方形内的點存在一一對應。
1878年
西爾維斯特（Sylvester）成立了《美國數學雜志》。
1879年
肯培（Kempe）發表了他對四色定理的錯誤證明。
雷克西斯（Lexis）出版了《統計序列的穩定性理論》（On the theory of the stability of statistical series），開始了時間序列的研究。
哈爾科夫數學協會成立。
1880年
龐加萊（Poincaré）發表了關于自守函數的重要結果。
1881年
韋恩（Venn）引入了“韋恩圖”，它成為集合論的有用工具。
吉布斯（Gibbs）在為他學生寫的小冊子中發展了向量分析。這種分析方法在麥克斯韋對電磁波的數學分析中有重要作用。
1882年
林德曼（Lindemann）證明了π是超越數。這就證明了用尺規不可能作出一個正方形使得與給定的圓有相同面積。化圓為方這個古典問題可以追溯到古希臘時期，多個世紀以來成為數學思想發展的驅動力。
米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）建立了《數學學報》（Acta Mathematica）。
1883年
雷諾（Reynolds）出版了《決定水流為直線或曲線運動的條件以及在平行水槽中的阻力定律的探讨》(An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels)。書中出現了用于流體力學模組化的“雷諾數”。
龐加萊發表了一篇論文，開啟了多複變解析函數理論的研究。
愛丁堡數學學會成立。
1884年
沃爾泰拉（Volterra）開始了積分方程的研究。
1884年，弗雷格（Frege）出版了《算術基礎》（The Foundations of Arithmetic）。
赫爾德（Hölder）發現了“赫爾德不等式”。
米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）出版了《單變量函數的解析表示》（Sur la représentation analytique fes fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante），給出了他關于指定極點和奇異部分的亞純函數構造的理論。
弗羅貝尼烏斯（Frobenius）對于抽象群證明了西羅定理。
裡奇-庫爾巴斯托羅（Ricci-Curbastro）開始了關于絕對微積分（absolute differential calculus）的工作。
巴勒莫數學會（Circolo Matematico di Palermo）成立。
1885年
魏爾斯特拉斯證明實數軸的有限閉區間上的連續函數可以用多項式任意一緻逼近。
埃奇沃斯（Edgeworth）出版了《統計方法》（Methods of Statistics），其中闡述了對于均值比較的顯著性檢驗的應用和解釋。
1886年
雷諾闡述了潤滑的理論（雷諾潤滑方程）。
皮亞諾（Peano）證明了如果f(x, y)連續，那麼一階微分方程dy/dx = f(x, y)有解。
1887年
列維-齊維塔（Levi-Civita）發表了一篇論文，發展了張量微積分。
1888年
戴德金出版了《數的本質和意義》（Was sind und was sollen die Zahlen）。他将算術建立在嚴格的基礎上，這個基礎被稱為“皮亞諾公理”。
高爾頓（Galton）引入了相關系數的概念。
1888年，恩格爾（Engel）和李（Lie）出版了三卷本《變換群理論》（Theorie der Transformationsgruppen）的第一卷，它是關于連續變換群的重要著作。
1889年，皮亞諾（Peano）出版了《算術原理》（Arithmetices principia, nova methodo exposita），通過集合來定義自然數的方式給出了皮亞諾公理，。
1889年
菲茨傑惹（FitzGerald）提出了洛倫茲-斐茲傑惹收縮來解釋“邁克耳孫-莫利實驗”。
1890年
皮亞諾發現了空間填充曲線。
聖彼得堡數學學會成立。
希伍德（Heawood）出版了《地圖顔色定理》（Map colour theorems），他指出了肯普（Kempe）對四色定理的證明的錯誤。他證明了五種顔色是足夠的。
1891年
費多洛夫（Fedorov）和申費裡斯（Schönflies）獨立地對晶體學空間群進行了分類，證明了一共有230 種類。
1892年，龐加萊出版了三卷本《天體力學的新方法》（Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻畫機械系統的所有運動，援引流體流動的類比。他還證明，以前例如德勞内（Delaunay）用于研究三體問題的級數展開是收斂的，但一般不是一緻收斂。這使人懷疑拉格朗日和拉普拉斯給出的關于太陽系穩定性的證明。
1893年
皮爾遜（Pearson）發表了一系列論文中的第一篇，在此後18年共發表了18篇論文，引入了大量基本概念來研究統計學。這些論文包含了對回歸分析和相關系數的貢獻，以及對統計顯著性的卡方檢驗。
1894年
龐加萊開始了代數拓撲的工作。
博雷爾（Borel）引入了“博雷爾測度”。
嘉當（Cartan）在他的博士論文中對複數域上所有有限維單李代數進行了分類。
1895年
龐加萊出版了《位置分析》（Analysis situs），這是他的第一本拓撲學著作，給出了這個專題的較早的系統性處理。他是代數拓撲的創始人，發表了這個專題的6篇論文。他引入了基本群。
康托（Cantor）發表了關于超窮算術的兩篇重要論文的第一篇。
安裡西·韋伯（Heinrich Weber）出版了他的著名教科書《代數講義》（Lehrbuch der Algebra）。
1896年
素數定理分别由阿達瑪（Hadamard）和法勒布賽（de la Vallée-Poussin）獨立地證明。這個定理給出了不超過一個給定數的素數個數的估計，證明了當n趨于無窮時，不超過n的素數個數趨向于n/log n。
切薩羅（Cesàro）出版了《内蘊幾何學教程》（Lezione di geometria intrinseca），其中他闡述了内蘊幾何。
弗羅貝尼烏斯（Frobenius）引入了群特征标。
1897年
亨澤爾（Hensel）發明了p進數（p-adic numbers）。
布拉利-福爾蒂（Burali-Forti）是第一個發現集合論悖論的人。
伯恩賽德（Burnside）出版了《有限階群理論》（The Theory of Groups of Finite Order）。
弗羅貝尼烏斯開始研究群表示論。
1898年
弗羅貝尼烏斯引入誘導表示的概念以及“弗羅貝尼烏斯互反定理”。
阿達瑪關于負曲率曲面上的測地線的工作為符号動力學奠定基礎。
1899年
希爾伯特（Hilbert）出版了《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie），将幾何建立在形式公理之上。
李亞普諾夫（Lyapunov）提出了方法來決定常微分方程系統的穩定性。