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Abstract. A root-finding algorithm is a numerical method, or algorithm, for finding a value x such that f(x)=0, for a given function f. Such an x is called a root of the function f. In OpenCASCADE math package, implemente Newton-Raphson method to find the root for a function. The algorithm can be used for finding the extrema value for curve or surface, .i.e Point Inversion, find the parameter for a point on the curve or surface. The paper focus on the usage of OpenCASCADE method and its application.
Key Words. OpenCASCADE, Extrema, Newton-Raphson, Root-Finding, FunctionRoot
1. Introduction
代數方程求根問題是一個古老的數學問題，早在16世紀就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世紀才證明n>=5次的一般代數方程式不能用代數公式求解。在工程和科學技術中，許多問題常常歸結為求解非線性方程的問題，是以，需要研究用數值方法求得滿足一定精度的代數方程式的近似解。
我國古代宋朝數學家秦九韶在他1247年所著的《數書九章》中，給出一個求代數方程根的近似方法，這個方法一般書上都稱為和納Horner方法（英國數學家W.G.Horner）。實際上Horner在1819年才提出這個方法，比秦九韶晚五百多年。每當看到教科書中這樣的介紹不知是該驕傲，還是該嗤之以鼻。古人發明創造的東西比外國人早，而現在國内用于CAD、CAM的軟體大都是國外進口的，像CATIA，AutoCAD，Pro/E，UG NX，SolidWorks，AVEVA Plant/Marine，Intergraph，ACIS，Parasolid……等等不勝枚舉，很少看到中國軟體的身影。而這些軟體廣泛應用于航空、造船、機械設計制造、工廠設計等各個行業，每年的軟體授權費用不知幾何？衷心希望當代國人奮發作為，為世界增添色彩。
閑話少說，本文主要關注非線性方程的數值解法，重點介紹了Newton-Rophson法及在OpenCASCADE中應用，即求點到曲線曲面的極值，也就是曲線曲面點的反求參數問題。對數值算法感興趣的讀者，可以參考《數值分析》、《計算方法》之類的書籍以擷取更詳細資訊。
2.Numerical Methods
方程求根的方法有很多，在《數學手冊》中列舉了如下一些方法：
v 秦九韶法；
v 二分法；
v 疊代法；
v 牛頓法Newton’s Method；
v 弦截法；
v 抛物線法；
v 林士谔－趙訪熊法；
其中二分法是求實根的近似計算中行之有效的最簡單的方法，它隻要求函數是連續的，是以它的使用範圍很廣，并便于在計算機上實作，但是它不能求重根也不能求虛根，且收斂較慢。
Newton法在單根鄰近收斂快，具有二階收斂速度，但Newton法對初值要求比較苛刻，即要求初值選取充分靠近方程的根，否則Newton法可能不收斂。擴大初值的選取範圍，可采用Newton下山法。
Newton’s Method的實作原理的示範動畫如下圖所示：
<a href="https://yqfile.alicdn.com/img_e908f9721cc82415fa7e70c763351f3a.gif">https://yqfile.alicdn.com/img_e908f9721cc82415fa7e70c763351f3a.gif</a>
Figure 2.1 Newton’s Method(Newton-Raphson)
由上面的動畫可以清楚了解Newton法的原理。用數學的文字描述如下：設f(x)二次連續可導，xk是f(x)=0的第k次近似解。我們用曲線y=f(x)過點(xk,yk)的切線Lk：
來近似曲線f(x)。取Lk與X軸的交點為f(x)=0的第k+1次近似解為：
Figure 3.2 Newton-Raphson Method
其中：
稱為Newton公式。
Newton法對初值x0要求苛刻，在實際應用中往往難以滿足。Newton下山法是一種降低對初值要求的修正Newton法。
3.OpenCASCADE Function Root
OpenCASCADE的math包中實作了方程求根的算法，相關的類有math_FunctionRoot，math_FunctionRoots，math_NewtonFunctionRoot等。在《Fundation Classes User’s Guide》中有對通用數學算法的介紹，即OpenCASCADE中實作了常見的數學算法：
v 求解線性代數方程的根的算法；
v 查找方程極小值的算法；
v 查找非線性方程（組）的根；
v 查找對角矩陣的特征值及特征向量的算法；
所有的數學算法以相同的方式來實作，即：在構造函數中來做大部分的計算，進而給出适當的參數。所有相關資料都儲存到結果對象中，是以所有的計算盡量以最高效的方式來求解。函數IsDone()表明計算成功。如下所示分别為采用不同的算法來計算如下方程在[0，2]區間上的根：
實作程式代碼如下所示：
/*
* Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : [email protected]
* Date : 2014-10-20 18:52
* Version : 1.0v
* Description : Test OpenCASCADE function root algorithm.
* Key words : OpenCASCADE, Newton-Raphson, Root-Finding Algorithm, FunctionRoot
*/
#define WNT
#include <Precision.hxx>
#include <math_FunctionWithDerivative.hxx>
#include <math_BissecNewton.hxx>
#include <math_FunctionRoot.hxx>
#include <math_NewtonFunctionRoot.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
class TestFunction : public math_FunctionWithDerivative
{
public:
virtual Standard_Boolean Value(const Standard_Real X, Standard_Real& F)
{
F = pow(X, 6) - X - 1;
return Standard_True;
}
virtual Standard_Boolean Derivative(const Standard_Real X, Standard_Real& D)
D = 6 * pow(X, 5) - 1;
virtual Standard_Boolean Values(const Standard_Real X, Standard_Real& F, Standard_Real& D)
Value(X, F);
Derivative(X, D);
};
void TestFunctionRoot(void)
TestFunction aFunction;
math_FunctionRoot aSolver1(aFunction, 1.5, 0.0, 0.0, 2.0);
math_BissecNewton aSolver2(aFunction, 0.0, 2.0, 0.0);
math_NewtonFunctionRoot aSolver3(aFunction, 1.5, Precision::Confusion(), Precision::Confusion());
std::cout << aSolver1 << std::endl;
std::cout << aSolver2 << std::endl;
std::cout << aSolver3 << std::endl;
}
int main(int argc, char* argv[])
TestFunctionRoot();
return 0;
由上述代碼可知，要想使用求根算法，必須從math_FunctionWithDerivative派生且重載其三個純虛函數Value(), Derivative(), Values()，在這三個純虛函數中計算相關的值及導數值即可。是以實際使用時，正确重載這三個函數是正确使用求根算法的關鍵。
求根用了三個不同的類，即三種方法來實作：
v math_FunctionRoot：即Newton-Raphson法；
v math_BissecNewton：是Newton-Raphson和二分法的組合算法；
v math_NewtonFunctionRoot：Newton Method；
計算結果如下圖所示：
Figure 3.1 Root-Finding result of OpenCASCADE
由計算結果可知，三種方法計算的結果相同，都是1.13472，與書中結果吻合。但是math_NewtonFunctionRoot的疊代次比math_FunctionRoot多一次，且計算精度要低很多。
使用math_BissecNewton求根不用設定初始值，比較友善，精度與math_FunctionRoot一緻。
4.Application
在工程和科學技術中，許多問題常常歸結為求解非線性方程的問題。在OpenCASCADE中的應用更多了，從下面一張類圖可見一斑：
Figure 4.1 math_FunctionWithDerivative class diagram
由圖可知，從類math_FunctionWithDerivative派生出了很多可導函數的類，這些函數都可用于求根的類中，進而計算出對應方程的根。
下面給出一個實際應用，即曲線曲面上點的反求問題，來說明如何應用上述求根算法來解決實際的問題。由于曲線曲面的參數表示法，通過參數u或(u,v)可以友善地求出曲線上的點或曲面上的點。若給定一個點P(x,y,z)，假設它在p次NURBS曲線C(u)上，求對應的參數u’使得C(u’)=P，這個問題稱為點的反求（point inverse）。在OpenCASCADE中提供了簡單的函數接口來實作點的反求，使用類為GeomLib_Tool：
如何将點的反求問題歸結為方程求根的問題，就要根據條件來建立方程了。一種簡單并完全可以解決這一問題的方法是：利用Newton疊代法來最小化點P和C(u)的距離，如下圖所示。如果最小距離小于一個事先指定的精度值，則認為點P在曲線上。這種方法有效地解決了更一般的“點在曲線上的投影”的問題。
因為方程求根的Newton方法需要指定初值u0，是以可按如下方法得到一個用于Newton法的初值u0：
v 如果已知點P在給定精度内位于曲線上，則用強凸包性确定候選的段，對于一般的點到曲線的投影問題，則選擇所要的段作為候選段；
v 在每個候選段上，計算n個按參數等間隔分布的點。計算出所有這些點和點P的距離，選擇其中距點P最近的點的參數作為u0。點數n一般利用某種啟發的方法來選擇。
Figure 4.2 Point projection and Point inversion
需要強調的是使用Newton方法，一個好的初值對于疊代的收斂性及收斂速度是非常重要的。現在假設已經确定了初值u0，利用數量積定義函數：
不管P點是否位于曲線上，當f(u)=0時，點P到C(u)的距離達到最小。對f(u)求導得：
代入Newton疊代公式得：
在OpenCASCADE中曲線點的反求主要是使用了派生自math_FunctionWithDerivative的類Extrema_PCFOfEPCOfExtPC，類圖如下所示：
Figure 4.3 class diagram for point inverstion
是以需要實作三個純虛函數Value(), Derivative(), Values()，将其實作代碼列出如下所示：
Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Value (const Standard_Real U, Standard_Real& F)
if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();
myU = U;
Vec D1c;
Tool::D1(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c);
Standard_Real Ndu = D1c.Magnitude();
if (Ndu <= Tol) { // Cas Singulier (PMN 22/04/1998)
Pnt P1, P2;
P2 = Tool::Value(*((Curve*)myC),myU + delta);
P1 = Tool::Value(*((Curve*)myC),myU - delta);
Vec V(P1,P2);
D1c = V;
Ndu = D1c.Magnitude();
if (Ndu <= Tol) {
Vec aD2;
Tool::D2(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c,aD2);
Ndu = aD2.Magnitude();
if(Ndu <= Tol)
return Standard_False;
D1c = aD2;
}
Vec PPc (myP,myPc);
F = PPc.Dot(D1c)/Ndu;
return Standard_True;
//=============================================================================
Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Derivative (const Standard_Real U, Standard_Real& D1f)
Standard_Real F;
return Values(U,F,D1f); /* on fait appel a Values pour simplifier la
sauvegarde de l'etat. */
Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Values (const Standard_Real U, Standard_Real& F, Standard_Real& D1f)
Vec D1c,D2c;
Tool::D2(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c,D2c);
if (Ndu <= Tol) {// Cas Singulier (PMN 22/04/1998)
Vec V1;
Tool::D1(*((Curve*)myC),myU+delta, P2, V1);
Tool::D1(*((Curve*)myC),myU-delta, P1, D2c);
D2c -= V1;
myD1Init = Standard_False;
return Standard_False;
D1f = Ndu + (PPc.Dot(D2c)/Ndu) - F*(D1c.Dot(D2c))/(Ndu*Ndu);
myD1f = D1f;
myD1Init = Standard_True;
根據代碼可知，實作原理與上述一緻。下面給出一個簡單的例子，來說明及友善調試點的反求算法。示例程式代碼如下所示：
* Key words : OpenCascade, Extrema, Newton's Method
#include <math_FunctionRoots.hxx>
#include <Extrema_PCFOfEPCOfExtPC.hxx>
#include <GC_MakeCircle.hxx>
#include <GeomAdaptor_Curve.hxx>
#pragma comment(lib, "TKG3d.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomBase.lib")
void TestExtrema(void)
Handle_Geom_Curve aCircle = GC_MakeCircle(gp::XOY(), 2.0);
GeomAdaptor_Curve aCurve(aCircle);
Extrema_PCFOfEPCOfExtPC aFunction(aCircle->Value(0.123456789), aCurve);
math_FunctionRoots aSolver1(aFunction, -2.0, 2.0, 10);
math_NewtonFunctionRoot aSolver2(aFunction, 0.0, 0.0, 0.0);
aSolver1.Dump(std::cout);
std::cout << "========================================" << std::endl;
aSolver2.Dump(std::cout);
TestExtrema();
根據圓上一點，求出對應的參數值，計算結果如下所示：
5.Conclusion
Newton法可以選作對導數能有效求值，且導數在根的鄰域中連續的任何函數方程的求根方法。Newton法在單根鄰近收斂快，精度高，具有二階收斂速度，但Newton法對初值要求比較高，即要求初值選取充分靠近方程的根，否則Newton法可能不收斂。
OpenCASCADE的math包中提供了求根的幾種實作算法，雖然代碼有些亂，但是這種抽象的思想還是相當不錯的，便于擴充應用。了解了math_FunctionRoot的算法，進而可以了解從math_FunctionWithDerivative派生的類的原理了。
通過曲線上點的反求問題引出使用求根算法的具體執行個體，從中可以看出關鍵還是要将實際問題抽象成一個方程。有了方程，根據Newton疊代公式，求出相應的值和導數值，就可以得到方程的高精度的根了。
對數值算法感興趣的讀者，可以參考《計算方法》、《數值分析》等相關書籍，進而可以在了解OpenCASCADE的代碼的基礎上，可以自己來實作相關算法。
6. References
1. 數學手冊編寫組. 數學手冊. 高等教育出版社. 1979
2. 趙罡，穆國旺，王拉柱譯. 非均勻有理B樣條. 清華大學出版社. 2010
3. Les Piegl, Wayne Tiller. The NURBS Book. Springer-Verlag. 1997
4. 易大義，沈雲寶，李有法編. 計算方法. 浙江大學出版社. 2002
5. 易大義，陳道琦編. 數值分析引論. 浙江大學出版社. 1998
6. 李慶楊，王能超，易大義.數值分析.華中理工大學出版社. 1986
7. 同濟大學數學教研室. 高等數學(第四版). 高等教育出版社. 1996
8. Newton's Method video:
<a href="http://v.163.com/movie/2006/8/T/V/M6GLI5A07_M6GLLGSTV.html">http://v.163.com/movie/2006/8/T/V/M6GLI5A07_M6GLLGSTV.html</a>