我們聽過的很多動人心魄的神話可能是始于一個真實的故事，它曾在曆史的某個時間點上真實地發生過，但在代代相傳的傳頌中，被一點一點的蒙上傳奇的色彩，讓真相被一點一點地被抛在腦後。神話之是以總能在人們心中存留和演化，或許是因為它們多少承載着一些隐藏的真理，能夠滿足人類在心靈上的某些需求。
以嚴謹的邏輯著稱的數學似乎是神話的一個對立面，但有時，一些數學真理會在缺乏了解的複述之下，以“神話”般的形式進入到公衆意識。今天我們要說就是數學中的一則“神話”——黃金比例（黃金分割率）。
什麼是黃金比例？
黃金比例是一個神奇的常數，我們通常用希臘字母φ來表示它。它出現在很多文學和藝術作品中，比如在小說和電影《達芬奇密碼》就提到了這個有着神秘色彩的數字。之是以說它神秘，是因為與數學中的許多其他概念相比，這個數字的确有着更多的“神話”：它被許多作家描述為是自然界所有美麗圖案的基礎，是神聖的比例；也被稱為是許多藝術作品和建築物的設計基礎，如希臘的帕特農神廟和埃及的金字塔。
黃金比例最早出現在歐幾裡得的著作《幾何原本》中，歐幾裡得将它定義為：
那麼，φ究竟等于多少呢？我們知道，a / b = φ，且 (a + b) / a = φ，是以上圖中的等式可以變成：
對這個方程進行求解，就能得到：
由于φ必須大于1， 是以我們取φ = 1.61803…它是一個無理數，這并不難了解，因為根号5正是一個無理數，也就是說它是一個無法被寫成兩個整數之比的數。這是黃金比例的一個非常重要的性質。
一維的黃金比例還可以延伸為所謂的黃金矩形，我們可以根據以下步驟畫出一個黃金矩形：
1、首先需要畫一個邊長為a的正方形；2、然後取正方形的一條邊（比如底邊）的中點：以該中點為圓心，以中點到與對邊相連的一個頂點的距離為半徑畫圓；3、延長底邊，讓它與圓弧相交，得到的交點便是黃金矩形的一個角。
除了黃金矩形之外，黃金比例φ還有另一個可愛的幾何表達，那就是它是一個邊長為1的正五邊形的對角線的長度。（讀者可以試着用餘弦定理來檢驗喲！）
如上圖所示，由對角線和底邊形成的邊長為1、φ、φ的等腰三角形BAD，被稱為黃金三角形，它在五重對稱的研究中頻繁出現，例如五角星就是由五個黃金三角形構成的：
其實，定義黃金比例的方法有很多，一個非常著名的例子是斐波那契數列：
這個序列中的下一項是前兩項之和，是由斐波那契提出的一種用來了解兔子種群增長的方法，它在了解人口增長方面具有重要作用。
這個數列是如何與黃金比例聯系在一起的呢？最早發現這一驚人秘密的是開普勒（Johannes Kepler），他注意到，如果取這個序列中的兩兩相連的數字之比（後一項比前一項），得到的比值就可以形成數列：
而這個數列最終會收斂到一個熟悉的數字——1.618… 這個數列的極限正是黃金比例。
黃金比例的無理性，使我們可以在黃金矩形中看見能無限循環下去的斐波那契數列的比。
被“神”化的黃金比例
黃金比例是一個有趣的數字，它有很多奇特的性質，也有許多有用的應用。這些奇特的性質吸引了一些數學家的關注，然而對于公衆而言，它的這些屬性卻意外的被提升到了一個不恰當的位置。
在數學家眼中，重要的常數有很多，比如√2——它是邊長為1的正方形的對角線長度，也是一張A4紙的長寬比例。其實1、√2、√3在幾何中的出現頻率都遠高于φ。
說起重要的常數，還有兩個不得不提的數字便是π和e，無論是在數學世界還是現實世界，它們都有着不言而喻的重要性。
在幾何學中，圓周率π是圓周長與直徑之比，它的應用遠遠超出了幾何學，它出現在數學的所有領域，從微積分到數論，從統計學到量子力學。數字e是另一個在數學中扮演着同等重要角色的常數，它是微積分的基本要素，它與任何關于增長的事物有關。在科學和工程學的許多重要公式中，都有π和e的身影，這兩個數字和宇宙密切相關。
相比之下，φ的應用場景要少得多。然而在普及數學時，φ的神秘色彩使其所享有的“榮耀”遠多于這兩個宇宙的核心數字。需要強調的是，這并不是說φ不重要（我們将在第3部分讨論黃金比例的真正神奇之處），隻是說它在數學和科學中所扮演的角色與傳說中的大相徑庭。
為什麼φ在大衆媒體上會獲得如此顯赫的地位呢？可能就像所有神話的流傳一樣，一次次的神化原因早已遺失在曆史的長河中了。但仍可以照着一些線索探尋其中的一些故事。
隐藏在自然中的黃金比例？
黃金比例以多種形式出現在自然界中。前面我們已經提到，黃金比例與斐波那契數列密切相關。而斐波那契序列在自然界中是真實存在的，因為它既與種群的增長方式有關，也與形狀可以組合在一起的方式有關。
例如，在太陽花的螺旋中我們可以看到這個序列（下圖左），它們以一種可以捕捉到最多陽光的有序方式排列在一起；再比如，從蜂箱中的雄蜂與雌蜂的數量分布中（下圖右），我們也可以觀察到這種由蜜蜂的繁殖方式所産生的接近φ的比率。
然而，還有很多情況下，黃金比例被不恰當地聯系到了一起。比如很多人說完美的人體比例、完美的臉型等都與φ有關。事實上，人體有許多可能的比率，其中大多介于1和2之間，而且這些“完美”的度量是沒有清晰定義的，如果你細想，完美的人體比例還可能接近1.6、5/3、3/2，√2、21/13等等。而這些其實都隻是人類大腦感受的一些假相關而已。當我們用從資料中發現的假相關性來論證一個觀點時，這實際上可能是非常危險的，比如在法律審判中，假相關有可能會導緻錯誤的指控，甚至錯誤的定罪。
黃金螺旋是螺旋嗎？
上圖中所示的黃金螺旋或許是與黃金比例聯系得最為緊密的一個例子，它近似于一個螺旋。你隻需無限地取越來越小的黃金矩形中的圓弧，就能得到這樣一個圖案。
在很多地方，這種形狀被套用在自然和藝術之上，比如鹦鹉螺的形狀、星系的形狀、飓風的形狀、甚至海浪的形狀：
然而問題在于，黃金螺旋并不是螺旋！它是由一系列的圓弧構成的圖案，從一個弧過度到一個弧，螺旋的曲率會出現跳躍，這是在任何自然現象中都不太可能出現的跳躍。在最好的情況下，黃金螺旋可以近似為一個真正的螺旋，它所近似的是對數螺旋的一個例子，這種對數螺旋在自然界中很常見，并且可以用極坐标方程表示為：
在自然界中，這樣的螺旋随處可見，b值對應于不同的實際情況，這對b的任何值都成立，與黃金比例無關。黃金螺旋對應的b值為：
這個數字沒有任何特别。鹦鹉螺的殼是一種對數螺線，因為這種自相似性能使它在不改變形狀的情況下生長，它的最常見b值是0.18，與黃金螺旋的b值相去甚遠。
藝術與建築中的比例
人們認為，黃金比例在美學上更令人賞心悅目，是以在很多藝術和建築作品中，黃金矩形也比其他矩形更受青睐。不可否認，一些藝術家和建築師的确會将黃金比例融入到作品中，但這也是黃金比例概念被過度套用的領域。
理性說來，黃金矩形令人愉悅本就是一個證據薄弱的陳述。有心理學研究表明，人們對于長方形的偏好範圍很廣，各種比例都有其閱聽人人群，而其中最受歡迎的是長寬比為√2比1的矩形。斯坦福大學數學家和科普作家Keith Devlin曾在美國數學協會的一個專欄中寫道，黃金比例與美學之間的關系之是以如此深入人心主要因為兩個人，一個是意大利數學家盧卡·帕西奧利（Luca Pacioli），另一個是德國心理學家阿道夫·澤辛（Adolf Zeising）。
盧卡·帕西奧利是達芬奇的朋友，他在1509年寫了一本名為《神奇的比例》的書，這本書雖然以黃金比例為題，但并沒有基于黃金比例主張任何美學理論。另外，經常有人說達芬奇在畫作中用到了黃金比例，最著名的例子是畫作《維特魯威人》，然而這些比例與黃金比例并不相符，沒有直接證據證明達芬奇用到了這種比例，他隻是在他的作品中提到了整數比。
澤辛曾将黃金比例描述為“自然和藝術領域的美麗和完整……它是一種至高無上的精神理想，滲透到所有的結構、形式和比例中，無論是宇宙的還是個人的、有機的還是無機的、聲學的還是光學的。”然而，這種說法繼而影響了許多其他人，為“黃金比例”這一現代神話奠定了基礎。
還有觀點稱，黃金比例在音樂作曲中也很重要。然而與藝術和建築一樣，幾乎沒有任何證據可以證明這一觀點。與音樂緊密相連的數字是2的12次方根，不是黃金比例。
這種誇大的“神話”其實很令人不安，它會誤導很多人，讓人們對數學的運作産生錯誤的認識。當那些深信這些神話的人發現事實并非如此時，可能會對數學解釋世界的真實能力失去信心。
黃金比例的真正神奇之處
如果前面說的都是在給黃金比例摘到“神奇”的帽子，接下來我們要說的就是黃金比例的真正神奇之處。
毫無疑問，黃金比例在數學和科學中是一個非常奇妙的數字，而真正讓它有别于其他數字的一個重要屬性是它的無理性。前面我們說道，φ是一個無理數，也就是說它無法被表示成任何分數，然而更令人驚訝的是，那就是它是無理性最強的一個無理數。這意味着它不僅不能被精确地表示為分數，甚至很難用分數來近似。這是一個非常特殊的性質。
為什麼說φ是無理性最強的一個數字呢？數學家在對一個無理數進行近似時，會用到由兩個整數（m和n）組成的分數m/n，對任意無理數z來說，不同的n值對應不同的m值。要找到z的最佳近似，則是要找出能使z與近似分數之差的絕對值，|z - m/n|，最趨近于0的n，換句話說，就是找到近似誤差最小的n。
上圖中所比較的是π（紅）和φ（藍）的近似誤差圖，橫坐标軸表示的是n從1到200的取值，縱坐标是無理數與近似值之差 “Error =|z - m/n|”。可以看出，對于π來說，當n=7和n=113時，能給出非常好的π的近似。這也正是我們所熟知的 π ≈ 22/7和355/113。
與π相比，黃金比例φ的近似情況顯然沒有那麼明朗。它的近似誤差曲線比其他無理數的近似誤差曲線收斂得更慢。而這背後的原因，是因為φ具有一個特殊性質——它可以被表示為一個“連分數”，使得φ可以被寫成這樣一種形式：
它是恒等式 φ - 1 = 1/φ 的一個直接推論。
φ的連分數形式有一個關鍵的特征，那就是每一項都有1存在，這些分母中所包含的1會導緻較大的誤差，進而使得整個分數收斂緩慢。
相比之下，π的連分數是這樣的：
可以看到它的分母中的數字都很大，比如7、15 、292等等。這些大的數字會使連分數的誤差小得多。
然而，這種用分數對φ進行近似的困難程度，也使它成為了數學家和計算機科學家在研究同步過程時的一個非常有用的數字。可以說，雖然黃金比例不同于公衆所想象的那般神奇，但當你了解了它真實的樣子之後，或許會更加驚歎于數學的真正魅力！
本文節選并整理自數學家Chris Budd于2020年02月11日，在格雷沙姆學院（Gresham College）發表的演講《偉大的數學神話》（Great Mathematical Myths），在Budd的演講中，他還提到了著名的三門問題和四色定理等，全文連結可參閱：https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/great-maths-myths
封面圖來源：mayeesherr. / Flickr
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