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AI發現兩大數學猜想登上Nature封面，背後的功臣又是DeepMind！
這次，機器學習首次發現了被人類忽略的數學聯系。
數學的實踐，簡單來說就是發現某種模式，并利用這些模式來提出和證明猜想，進而形成定理。
近日，DeepMind利用機器學習在扭結理論（Knot theory）和表示論（Representation theory）兩個領域協助數學家們發現了全新的猜想和定理。
自20世紀60年代以來，數學家們就在利用計算機來協助發現模式和提出猜想，其中最有名的是千禧年大獎難題之一——Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（貝赫和斯維讷通-戴爾猜想）。
為了發現數學對象之間的潛在模式和關聯，DeepMind研究團隊提出采用一種全新機器學習模型，用歸因技術加以輔助了解，并利用這些觀察進一步指導直覺思維和提出猜想的過程。
論文「Advancing mathematics by guiding human intuition with AI」已于12月1日在Nature發表。
低維拓撲學是一個活躍而有影響力的數學領域。
扭結，是三維空間中的簡單封閉曲線，也是低維拓撲中的基本對象之一。
在數學語言中，結是一個圓在3維歐幾裡得空間中的嵌入。如果兩個數學結可以通過R的變形轉化為另一個結，那麼這兩個結就是等價的。
研究人員發現，在這個問題上，可以利用計算機視覺（CV）領域常用的「顯著圖」（Saliency map）技術。在CV任務中，該技術可以确定圖像的哪些部分攜帶相關度最高的資訊。
通過這一技術，計算機給出了多個結中可能存在關聯的屬性，還生成了一個似乎适用于所有情況的公式。
對于扭結的研究，其中一個方法是通過不變量來實作的，不變量是對任何兩個等價結都相同的代數、幾何或數字量。
這些不變量有許多不同的推導方式，論文主要關注其中兩個主要類别：雙曲不變量和代數不變量。這兩類不變式是由相當不同的數學學科推導出來的，是以，在它們之間建立聯系是相當有意義的。
一個值得注意的猜想聯系的例子是體積猜想，它提出一個結的雙曲體積（hyperbolic volume，幾何不變量）應該被編碼在其彩色瓊斯多項式（coloured Jones polynomials ，代數不變量）的漸近行為中。
不變量的例子
研究人員的假設是，在一個紐結的雙曲不變量和代數不變量之間存在着一種未被發現的關系。
于是，DeepMind通過一個監督學習模型發現了結的幾何不變量和一個特定的代數量signature σ(K)之間存在直接聯系，而這在以前是完全未知的，現有的理論也無法給出任何提示。
用歸因技術确定三個不變量最相關的特征，并被部分可視化
此外，通過使用機器學習的歸因技術，DeepMind引入了一個新的數量「自然斜率」，其定義為slope(K) = Re(λ/μ)，其中Re表示實部。
猜想：存在常數c1和c2，使得對于每個雙曲結K。
這個猜想得到了幾個從不同分布中取樣的大型資料集的分析支援。
定理：存在一個常數c，使得對于任何雙曲結K。
事實證明，即使對于規模非常大的一類紐結，這個公式都是适用的。
在生成的整個資料集中，可以把c≥0.23392作為下限，有理由猜測c最多為0.3，這在計算的區域内給出了一個緊密的關系。
令人驚訝的是，在一個已經被廣泛研究的領域中，像這樣一個簡單而深刻的聯系竟然被忽略了。
内布拉斯加大學林肯分校的紐結理論家Mark Brittenham說：「這篇文章以非常直接的方式證明了這些不變量的相關性，這表明，我們在這個領域還有一些基本的東西沒有完全了解。」
表示論将抽象代數結構中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究這些代數結構上的模，進而研究結構的性質。同時，表示論也是關于線性對稱的理論。
圍繞有限的對象集進行轉換的「對稱性」問題，在數學的幾個分支中都具有重要意義，長期以來都是數學家的研究熱點，使用的工具包括圖和多項式等。
悉尼大學的Geordie Williamson教授表示，過去幾十年來，研究人員一直希望可能從網絡中計算出多項式，但這個目标似乎一直遙遙無期。
圖會變得過于龐大和複雜，「很快就超出了人類的了解範圍」。
現在，有了計算機的幫助，他和團隊注意到，是不是可以将圖分解成更小、更容易管理的多個部分，各部分都具有高維立方體結構。
Williamson表示，AI的強大讓他深感震撼。一旦機器學習算法鎖定了某個模式，就能非常精确地猜測哪些圖和多項式來自相同的對稱性，而且竟然猜得如此之準！
近40年來，組合不變性猜想一直未能取得進展，該猜想指出對稱群SN中兩個元素的KL多項式可以從它們的無标記的Bruhat區間，即一個有向圖中計算出來。
不可約表示受Kazhdan-Lusztig（KL）多項式的影響，它與組合學、代數幾何和奇點理論有着深刻的聯系。
其中，Bruhat區間是一個圖表，它代表了通過一次隻交換兩個對象來反轉對象集合順序的所有不同方式。而KL多項式告訴了數學家一些關于這個圖在高維空間中存在的不同方式。有趣的結構隻有在Bruhat間隔有100或1000個頂點時才開始出現。
在了解這些對象之間的關系方面取得進展的一個障礙是，非三階KL多項式（不等于1的那些）的Bruhat區間是非常大的圖，很難形成直覺的認識。
将這個猜想作為初始假設，DeepMind發現了一個能夠以相當高的精度預測Bruhat區間的KL多項式的監督學習模型。
通過改變向神經網絡輸入Bruhat區間的方式，DeepMind發現一些圖形和特征的選擇特别有利于預測的準确性。特别是當有了更準确的估計函數的支援，通過一些子圖就足以計算出KL多項式。
通過計算歸因技術可以确定最相關的子圖，并分析這些圖與原始圖的邊緣分布，發現了進一步的結構證據。
在下圖a中，DeepMind通過「反射」來彙總的子圖中邊緣的相對頻率。
結果表明，極值反射（形式為[0，i]或[i，N-1]的SN）更多地出現在最相關的子圖中，而簡單的反射（形式為[i，i+1]）則被放棄掉了，這一點經過多次模型的再訓練也得到了證明。
從KL多項式的定義來看，簡單反射和極值反射之間的差別與子圖相關性的聯系是很直覺的。考慮到這一現象，DeepMind發現一個Bruhat區間可以一個自然地分解為兩個部分：由一組極值邊誘導的超立方體和一個與SN-1中的區間同構的圖。
定理：每個Bruhat區間都有一個沿其極值反射的典型超立方體分解，從中可以直接計算出KL多項式。
值得注意的是，進一步的測試表明，所有超立方體分解都能确定KL多項式。這一點在S7以下的對稱群中的所有3×106個區間以及S8和S9的非同構區間中的1.3×105個區間都得到了計算驗證。
猜想：無标簽的Bruhat區間的KL多項式可以用前面的公式計算出任何超立方體分解。
如果這個猜想能夠被證明，那麼對稱群的組合不變性猜想就可以得到解決。
一個多世紀以前，Srinivasa Ramanujan以其在數字中看到其他人看不到的非凡模式的能力震驚了數學界。這位來自印度的自學成才的數學家，将他的洞察力描述為「深刻的直覺和精神」。
衆所周知，數學家的直覺在數學發現中起着極其重要的作用——隻有将嚴謹的形式主義和良好的直覺思維相結合，才能解決複雜的數學問題。
幾個世紀前，人們就發現了凸多面體性質之間的關系：無論形狀如何，頂點的數目 (v) 減去邊的數目 (e) 加上面的數目 (f) 等于2，即 v-e+f=2。
描述這種關系的公式叫「歐拉公式」，是以瑞士數學家Leonhard Euler的名字命名，被人們稱為上帝公式。
數學家一般是通過循環往複的研究學習例子來發展數學理論。此外，還需要需要創造力和計算能力。
在這種簡單問題情況下，他們可以用紙和筆研究幾個不同形狀的例子得出這個公式。
但是，當遇到更複雜的數學問題時就會需要更廣泛的計算，就不得不需要機器學習來助力。
從20世紀60年代開始，數學家開始使用計算機幫助發現規律和提出猜想，但一直以來AI系統尚未普遍應用于理論數學研究領域。
DeepMind在論文中描述的這通用的機器學習架構方法，讓數學家們可以使用ML工具來指導他們對複雜數學對象的直覺，驗證關系存在的假設，并了解這些關系。
通過訓練機器學習模型來估計特定資料 PZ 分布上的函數，該過程有助于引導數學家對假設函數 f 的直覺思維。
對學習函數 fˆ 的準确性和應用于它的歸因技術的見解可以幫助了解問題和建構封閉形式的 f'。
同時，這一過程是疊代和互動的，而不是一系列的步驟。
研究結果證明，在數學家的直覺思維指導下，機器學習提供了一個強大的架構，可以在有大量資料可用的領域，或者對象太大而無法應用經典方法研究的領域，發現有趣且可證明的猜想。
正如研究者總結道，「直覺在許多人類追求的超常表現中扮演着重要的角色。」
比如，它對頂級圍棋玩家至關重要，AlphaGo之是以能夠成功，部分原因就是它通過機器學習來學習人類憑直覺判斷遊戲元素的能力。
數學确實是一項與圍棋截然不同、更具合作性的工作，是以AI在協助數學家完成相關方面的工作，的确具備卓有成效的空間和潛力。
參與這項研究的數學家之一、英國牛津大學的Marc Lackenby說：「我非常震驚于機器學習工具是多麼有用。我沒有想到我的一些先入為主的觀念會被颠覆。」
數學家Jeffrey Weeks說，他自20世紀80年代以來一直開創了其中的一些技術。但是利用AI，讓計算機尋找模式，讓這一研究有了質的提升。
參考資料：
https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1 https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways