前言
同RSA（Ron Rivest，Adi Shamir，Len Adleman三位天才的名字）一樣，ECC（Elliptic Curves Cryptography，橢圓曲線密碼編碼學）也屬于公開密鑰算法。目前，國内詳細介紹ECC的公開文獻并不多（反正我沒有找到）。有一些簡介，也是泛泛而談，看完後依然了解不了ECC的實質（可能我了解力太差）。前些天我從國外網站找到些材料，看完後對ECC似乎懵懂了。于是我想把我對ECC的認識整理一下，與大家分享。當然ECC博大精深，我的認識還很膚淺，文章中錯誤一定不少，歡迎各路高手批評指正，小弟我洗耳恭聽，并及時改正。文章将采用連載的方式，我寫好一點就貼出來一點。本文主要側重理論，代碼實作暫不涉及。這就要求你要有一點數學功底。最好你能了解RSA算法，對公開密鑰算法有一個了解。《近世代數基礎》《初等數論》之類的書，最好您先翻一下，這對您了解本文是有幫助的。别怕，我盡量會把語言通俗些，希望本文能成為學習ECC的敲門磚。
一、從平行線談起。
平行線，永不相交。沒有人懷疑把：）不過到了近代這個結論遭到了質疑。平行線會不會在很遠很遠的地方相交了？事實上沒有人見到過。是以“平行線，永不相交”隻是假設（大家想想國中學習的平行公理，是沒有證明的）。既然可以假設平行線永不相交，也可以假設平行線在很遠很遠的地方相交了。即平行線相交于無窮遠點P∞（請大家閉上眼睛，想象一下那個無窮遠點P∞，P∞是不是很虛幻，其實與其說數學鍛煉人的抽象能力，還不如說是鍛煉人的想象力）。給個圖幫助了解一下：
直線上出現P∞點，所帶來的好處是所有的直線都相交了，且隻有一個交點。這就把直線的平行與相交統一了。為與無窮遠點相差別把原來平面上的點叫做平常點。
以下是無窮遠點的幾個性質。
▲直線L上的無窮遠點隻能有一個。
（從定義可直接得出）
▲平面上一組互相平行的直線有公共的無窮遠點。
▲ 平面上任何相交的兩直線L1,L2有不同的無窮遠點。
（否則L1和L2有公共的無窮遠點P ，則L1和L2有兩個交點A、P，故假設錯誤。）
▲平面上全體無窮遠點構成一條無窮遠直線。（自己想象一下這條直線吧）
▲平面上全體無窮遠點與全體平常點構成射影平面。
二、射影平面坐标系
射影平面坐标系是對普通平面直角坐标系（就是我們國中學到的那個笛卡兒平面直角坐标系）的擴充。我們知道普通平面直角坐标系沒有為無窮遠點設計坐标，不能表示無窮遠點。為了表示無窮遠點，産生了射影平面坐标系，當然射影平面坐标系同樣能很好的表示舊有的平常點（數學也是“向下相容”的）。
我們對普通平面直角坐标系上的點A的坐标（x,y）做如下改造：
令x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；則A點可以表示為（X:Y:Z）。
變成了有三個參量的坐标點，這就對平面上的點建立了一個新的坐标體系。
例2.1：求點（1,2）在新的坐标體系下的坐标。
解：∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z ∴坐标為（Z:2Z:Z），Z≠0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐标，都是（1,2）在新的坐标體系下的坐标。
我們也可以得到直線的方程aX+bY+cZ=0（想想為什麼？提示：普通平面直角坐标系下直線一般方程是ax+by+c=0）。新的坐标體系能夠表示無窮遠點麼？那要讓我們先想想無窮遠點在哪裡。根據上一節的知識，我們知道無窮遠點是兩條平行直線的交點。那麼，如何求兩條直線的交點坐标？這是國中的知識，就是将兩條直線對應的方程聯立求解。平行直線的方程是：
aX+bY+c1Z =0； aX+bY+c2Z =0 (c1≠c2)；
（為什麼？提示：可以從斜率考慮，因為平行線斜率相同）；
将二方程聯立，求解。有c2Z= c1Z= -（aX+bY），∵c1≠c2 ∴Z=0
∴aX+bY=0；
是以無窮遠點就是這種形式（X：Y：0）表示。注意，平常點Z≠0，無窮遠點Z=0，是以無窮遠直線對應的方程是Z=0。
例2.2：求平行線L1：X+2Y+3Z=0 與L2：X+2Y+Z=0 相交的無窮遠點。
解：因為L1∥L2 是以有Z=0， X+2Y=0；是以坐标為（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0的坐标，都表示這個無窮遠點。
看來這個新的坐标體系能夠表示射影平面上所有的點，我們就把這個能夠表示射影平面上所有點的坐标體系叫做射影平面坐标系。
練習：
1、求點A(2,4) 在射影平面坐标系下的坐标。
2、求射影平面坐标系下點(4.5:3:0.5)，在普通平面直角坐标系下的坐标。
3、求直線X+Y+Z=0上無窮遠點的坐标。
4、判斷：直線aX+bY+cZ=0上的無窮遠點 和 無窮遠直線與直線aX+bY=0的交點，是否是同一個點？
三、橢圓曲線
上一節，我們建立了射影平面坐标系，這一節我們将在這個坐标系下建立橢圓曲線方程。因為我們知道，坐标中的曲線是可以用方程來表示的（比如：機關圓方程是x2+y2=1）。橢圓曲線是曲線，自然橢圓曲線也有方程。
橢圓曲線的定義：
一條橢圓曲線是在射影平面上滿足方程
Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3
----------------[3-1]
的所有點的集合，且曲線上的每個點都是非奇異（或光滑）的。
定義詳解：
▲ Y2Z+a1XYZ+a3YZ2 = X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3是Weierstrass方程（維爾斯特拉斯，Karl
Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897），是一個齊次方程。
▲ 橢圓曲線的形狀，并不是橢圓的。隻是因為橢圓曲線的描述方程，類似于計算一個橢圓周長的方程（計算橢圓周長的方程，我沒有見過，而對橢圓線積分（設密度為1）是求不出來的。誰知道這個方程，請告訴我呀^_^），故得名。
我們來看看橢圓曲線是什麼樣的。
▲ 所謂“非奇異”或“光滑”的，在數學中是指曲線上任意一點的偏導數Fx(x,y,z)，Fy(x,y,z)，Fz(x,y,z)不能同時為0。如果你沒有學過高等數學，可以這樣了解這個詞，即滿足方程的任意一點都存在切線。
下面兩個方程都不是橢圓曲線，盡管他們是方程[3-1]的形式。
因為他們在（0:0:1）點處（即原點）沒有切線。
▲橢圓曲線上有一個無窮遠點O∞（0:1:0），因為這個點滿足方程[3-1]。
知道了橢圓曲線上的無窮遠點。我們就可以把橢圓曲線放到普通平面直角坐标系上了。因為普通平面直角坐标系隻比射影平面坐标系少無窮遠點。我們在普通平面直角坐标系上，求出橢圓曲線上所有平常點組成的曲線方程，再加上無窮遠點O∞（0:1:0），不就構成橢圓曲線了麼？
我們設x=X/Z ，y=Y/Z代入方程[3-1]得到：
y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[3-2]
也就是說滿足方程[3-2]的光滑曲線加上一個無窮遠點O∞，組成了橢圓曲線。為了友善運算，表述，以及了解，今後論述橢圓曲線将主要使用[3-2]的形式。
本節的最後，我們談一下求橢圓曲線一點的切線斜率問題。
由橢圓曲線的定義可以知道，橢圓曲線是光滑的，是以橢圓曲線上的平常點都有切線。而切線最重要的一個參數就是斜率k。
例3.1：求橢圓曲線方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6上，平常點A(x,y)的切線的斜率k。
解：令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6
求偏導數
Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4
Fy(x,y)= 2y+a1x +a3
則導數為：f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x
+a3)
= (3x2+2a2x+a4-a1y)
/(2y+a1x +a3)
是以k=(3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x
+a3) ------------------------[3-3]
看不懂解題過程沒有關系，記住結論[3-3]就可以了。
1、将給出圖例的橢圓曲線方程Y2Z=X3-XZ2 和Y2Z=X3+XZ2+Z3轉換成普通平面直角坐标系上的方程。
四、橢圓曲線上的加法
上一節，我們已經看到了橢圓曲線的圖象，但點與點之間好象沒有什麼聯系。我們能不能建立一個類似于在實數軸上加法的運算法則呢？天才的數學家找到了這一運算法則
自從近世紀代數學引入了群、環、域的概念，使得代數運算達到了高度的統一。比如數學家總結了普通加法的主要特征，提出了加群（也叫交換群，或Abel（阿貝爾）群），在加群的眼中。實數的加法和橢圓曲線的上的加法沒有什麼差別。這也許就是數學抽象把：）。關于群以及加群的具體概念請參考近世代數方面的數學書。
運算法則：任意取橢圓曲線上兩點P、Q （若P、Q兩點重合，則做P點的切線）做直線交于橢圓曲線的另一點R’，過R’做y軸的平行線交于R。我們規定P+Q=R。（如圖）
法則詳解：
▲這裡的+不是實數中普通的加法，而是從普通加法中抽象出來的加法，他具備普通加法的一些性質，但具體的運算法則顯然與普通加法不同。
▲根據這個法則，可以知道橢圓曲線無窮遠點O∞與橢圓曲線上一點P的連線交于P’，過P’作y軸的平行線交于P，是以有 無窮遠點 O∞+ P = P 。這樣，無窮遠點 O∞的作用與普通加法中零的作用相當（0+2=2），我們把無窮遠點 O∞ 稱為 零元。同時我們把P’稱為P的負元（簡稱，負P；記作，-P）。（參見下圖）
▲根據這個法則，可以得到如下結論 ：如果橢圓曲線上的三個點A、B、C，處于同一條直線上，那麼他們的和等于零元，即A+B+C= O∞
▲k個相同的點P相加，我們記作kP。如下圖：P+P+P = 2P+P = 3P。
下面，我們利用P、Q點的坐标(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。
例4.1：求橢圓曲線方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6上，平常點P(x1,y1)，Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。
解：（1）先求點-R(x3,y3)
因為P,Q,-R三點共線，故設共線方程為y=kx+b,其中
若P≠Q(P,Q兩點不重合) 則
直線斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
若P=Q(P,Q兩點重合) 則直線為橢圓曲線的切線，故由例3.1可知：
k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)
是以P,Q,-R三點的坐标值就是方程組：
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6
-----------------[1]
y=(kx+b) -----------------[2]
的解。
将[2]，代入[1] 有
(kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6
--------[3]
對[3]化為一般方程，根據三次方程根與系數關系（當三次項系數為1時；-x1x2x3 等于常數項系數， x1x2+x2x3+x3x1等于一次項系數，-(x1+x2+x3)等于二次項系數。）
是以-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2
x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出點-R的橫坐标
因為k=(y1-y3)/(x1-x3) 故
y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出點-R的縱坐标
（2）利用-R求R
顯然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2;
------------求出點R的橫坐标
而y3 y4 為 x=x4時 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解
化為一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0
, 根據二次方程根與系數關系得：
-(a1x+a3)=y3+y4
故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3);
---------------求出點R的縱坐标
即：
x4=k2+ka1+a2+x1+x2;
y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;
本節的最後，提醒大家注意一點，以前提供的圖像可能會給大家産生一種錯覺，即橢圓曲線是關于x軸對稱的。事實上，橢圓曲線并不一定關于x軸對稱。如下圖的y2-xy=x3+1
五、密碼學中的橢圓曲線
我們現在基本上對橢圓曲線有了初步的認識，這是值得高興的。但請大家注意，前面學到的橢圓曲線是連續的，并不适合用于加密；是以，我們必須把橢圓曲線變成離散的點。
讓我們想一想，為什麼橢圓曲線為什麼連續？是因為橢圓曲線上點的坐标，是實數的（也就是說前面講到的橢圓曲線是定義在實數域上的），實數是連續的，導緻了曲線的連續。是以，我們要把橢圓曲線定義在有限域上（顧名思義，有限域是一種隻有由有限個元素組成的域）。
域的概念是從我們的有理數，實數的運算中抽象出來的，嚴格的定義請參考近世代數方面的書。簡單的說，域中的元素同有理數一樣，有自己得的加法、乘法、除法、機關元(1)，零元(0),并滿足交換率、配置設定率。
下面，我們給出一個有限域Fp，這個域隻有有限個元素。
Fp中隻有p（p為素數）個元素0,1,2 …… p-2,p-1；
Fp 的加法（a+b）法則是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的餘數 和c÷p的餘數相同。
Fp 的乘法(a×b)法則是 a×b≡c (mod p)；
Fp 的除法(a÷b)法則是 a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c (mod p)；（b-1也是一個0到p-1之間的整數，但滿足b×b-1≡1
Fp 的機關元是1，零元是 0。
同時，并不是所有的橢圓曲線都适合加密。y2=x3+ax+b是一類可以用來加密的橢圓曲線，也是最為簡單的一類。下面我們就把y2=x3+ax+b
這條曲線定義在Fp上：
選擇兩個滿足下列條件的小于p(p為素數)的非負整數a、b
4a3+27b2≠0 (mod p)
則滿足下列方程的所有點(x,y)，再加上 無窮遠點O∞ ，構成一條橢圓曲線。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y屬于0到p-1間的整數，并将這條橢圓曲線記為Ep(a,b)。
我們看一下y2=x3+x+1 (mod 23)的圖像
是不是覺得不可思議？橢圓曲線，怎麼變成了這般模樣，成了一個一個離散的點？
橢圓曲線在不同的數域中會呈現出不同的樣子，但其本質仍是一條橢圓曲線。舉一個不太恰當的例子，好比是水，在常溫下，是液體；到了零下，水就變成冰，成了固體；而溫度上升到一百度，水又變成了水蒸氣。但其本質仍是H2O。
Fp上的橢圓曲線同樣有加法，但已經不能給以幾何意義的解釋。不過，加法法則和實數域上的差不多，請讀者自行對比。
1 無窮遠點 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P
2 P(x,y)的負元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞
3 P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3)
有如下關系：
x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
其中若P=Q 則 k=(3x2+a)/2y1 若P≠Q，則k=(y2-y1)/(x2-x1)
例5.1 已知E23(1,1)上兩點P(3,10)，Q(9,7)，求1)-P，2)P+Q，3) 2P。
解 1) –P的值為(3,-10)
2) k=(7-10)/(9-3)=-1/2，2的乘法逆元為12 因為2*12≡1 (mod 23)
k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。
x=112-3-9=109≡17 (mod 23);
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
故P+Q的坐标為(17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
故2P的坐标為(7,12)
最後，我們講一下橢圓曲線上的點的階。
如果橢圓曲線上一點P，存在最小的正整數n，使得數乘nP=O∞，則将n稱為P的 階，若n不存在，我們說P是無限階的。
事實上，在有限域上定義的橢圓曲線上所有的點的階n都是存在的（證明，請參考近世代數方面的書）
1 求出E11(1,6)上所有的點。
2 已知E11(1,6)上一點G(2,7)，求2G到13G所有的值。
六、橢圓曲線上簡單的加密/解密
公開密鑰算法總是要基于一個數學上的難題。比如RSA 依據的是：給定兩個素數p、q 很容易相乘得到n，而對n進行因式分解卻相對困難。那橢圓曲線上有什麼難題呢？
考慮如下等式：
K=kG [其中 K,G為Ep(a,b)上的點，k為小于n（n是點G的階）的整數]
不難發現，給定k和G，根據加法法則，計算K很容易；但給定K和G，求k就相對困難了。
這就是橢圓曲線加密算法采用的難題。我們把點G稱為基點（base point），k（k<n，n為基點G的階）稱為私有密鑰（privte key），K稱為公開密鑰（public key)。
現在我們描述一個利用橢圓曲線進行加密通信的過程：
1、使用者A標明一條橢圓曲線Ep(a,b)，并取橢圓曲線上一點，作為基點G。
2、使用者A選擇一個私有密鑰k，并生成公開密鑰K=kG。
3、使用者A将Ep(a,b)和點K，G傳給使用者B。
4、使用者B接到資訊後 ，将待傳輸的明文編碼到Ep(a,b)上一點M（編碼方法很多，這裡不作讨論），并産生一個随機整數r（r<n）。
5、使用者B計算點C1=M+rK；C2=rG。
6、使用者B将C1、C2傳給使用者A。
7、使用者A接到資訊後，計算C1-kC2，結果就是點M。因為
C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
再對點M進行解碼就可以得到明文。
在這個加密通信中，如果有一個偷窺者H ，他隻能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通過K、G 求k 或通過C2、G求r 都是相對困難的。是以，H無法得到A、B間傳送的明文資訊。
密碼學中，描述一條Fp上的橢圓曲線，常用到六個參量：
T=(p,a,b,G,n,h)。
（p 、a 、b 用來确定一條橢圓曲線，
G為基點，
n為點G的階，
h 是橢圓曲線上所有點的個數m與n相除的整數部分）
這幾個參量取值的選擇，直接影響了加密的安全性。參量值一般要求滿足以下幾個條件：
1、p 當然越大越安全，但越大，計算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求；
2、p≠n×h；
3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
5、n 為素數；
6、h≤4。
七、橢圓曲線在軟體注冊保護的應用
我們知道将公開密鑰算法作為軟體注冊算法的好處是Cracker很難通過跟蹤驗證算法得到注冊機。下面，将簡介一種利用Fp(a,b)橢圓曲線進行軟體注冊的方法。
軟體作者按如下方法制作注冊機（也可稱為簽名過程）
1、選擇一條橢圓曲線Ep(a,b)，和基點G；
2、選擇私有密鑰k（k<n，n為G的階），利用基點G計算公開密鑰K=kG；
3、産生一個随機整數r（r<n），計算點R=rG；
4、将使用者名和點R的坐标值x,y作為參數，計算SHA（Secure Hash Algorithm 安全雜湊演算法，類似于MD5）值，即Hash=SHA(username,x,y)；
5、計算sn≡r - Hash * k (mod n)
6、将sn和Hash作為 使用者名username的序列号
軟體驗證過程如下：（軟體中存有橢圓曲線Ep(a,b)，和基點G，公開密鑰K）
1、從使用者輸入的序列号中，提取sn以及Hash；
2、計算點R≡sn*G+Hash*K ( mod p )，如果sn、Hash正确，其值等于軟體作者簽名過程中點R(x,y)的坐标，因為
sn≡r-Hash*k （mod n）
是以
sn*G + Hash*K
=(r-Hash*k)*G+Hash*K
=rG-Hash*kG+Hash*K
=rG- Hash*K+ Hash*K
=rG=R ；
3、将使用者名和點R的坐标值x,y作為參數，計算H=SHA(username,x,y)；
4、如果H=Hash 則注冊成功。如果H≠Hash ，則注冊失敗(為什麼？提示注意點R與Hash的關聯性)。
簡單對比一下兩個過程：
作者簽名用到了：橢圓曲線Ep(a,b)，基點G，私有密鑰k，及随機數r。
軟體驗證用到了：橢圓曲線Ep(a,b)，基點G，公開密鑰K。
Cracker要想制作注冊機，隻能通過軟體中的Ep(a,b)，點G，公開密鑰K ，并利用K=kG這個關系獲得k後，才可以。而求k是很困難的。
下面也是一種常于軟體保護的注冊算法，請認真閱讀，并試回答簽名過程與驗證過程都用到了那些參數，Cracker想制作注冊機，應該如何做。
2、選擇私有密鑰k（k<n），利用基點G計算公開密鑰K=kG；
3、産生一個随機整數r（r<n），計算點R(x,y)=rG；
4、将使用者名作為參數，計算Hash=SHA(username)；
5、計算 x’=x (mod n)
6、計算sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
7、将sn和x’作為 使用者名username的序列号
軟體驗證過程如下：(軟體中存有橢圓曲線Ep(a,b)，和基點G，公開密鑰K)
1、從使用者輸入的序列号中，提取sn以及x’；
2、将使用者名作為參數，計算Hash=SHA(username)；
3、計算 R=(Hash*G+x’*K)/sn，如果sn、Hash正确,其值等于軟體作者簽名過程中點R(x,y)，因為
sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
(Hash*G+x’*K)/sn
=(Hash*G+x’*K)/[(Hash+x’*k)/r]
=(Hash*G+x’*K)/[(Hash*G+x’*k*G)/(rG)]
=rG*[(Hash*G+x’*K)/(Hash*G+x’*K)]
=rG=R (mod p)
4、v≡x (mod n)
5、如果v=x’ 則注冊成功。如果v≠x’ ，則注冊失敗。
八、結語
曆經半個多月斷斷續續的寫作，這篇拙作終于算告一段落了。為寫這篇文章，我查了大量的資料，但為了使文章更通俗易懂，我盡量避免涉及專業術語，F2n域上的橢圓曲線本文也沒有涉及。不過，一些名詞描述的可能還不太精确，希望衆讀者對文章的問題，多多批評指正。我也僅僅把這篇文章作為初稿，我會不斷修訂他的。最後感謝看雪、Sunbird、CCG以及看雪論壇所有成員對我的支援，感謝一切幫助過我的人，沒有你們的鼓勵，這篇文章我是沒有動力寫完的，謝謝，謝謝大家！
2003-5-3 初稿，于看雪論壇
2004-7-11二稿，修正一張圖檔
<全文完>
主要參考文獻
張禾瑞，《近世代數基礎》，高等教育出版社，1978
闵嗣鶴 嚴士健，《初等數論》，高等教育出版社，1982
段雲所，《網絡資訊安全》第三講，北大計算機系
Michael Rosing ，chapter5《Implementing Elliptic Curve Cryptography》，Softbound，1998
《SEC 1: Elliptic Curve Cryptography》，Certicom Corp.，2000
《IEEE P1363a / D9》，2001
參考網址：http://www.pediy.com/kssd/pediy06/pediy6014.htm
作者 ：ZMWorm[CCG]
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