矩陣特征值與行列式、迹的關系

簡單的了解證明如下：

請思考：x^2+bx+c=0 這個方程的所有根的和等于多少、所有根的積等于多少

對一個一進制n次方程

，它的根記作

那麼接下來可以類似地來思考：(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-n_N)=0 這個方程的所有根的和對應于等式左邊展開後幾次項的系數，所有根的積對應等式展開後幾次項的系數。

說明：

已知一個一進制五次方程：

根據高斯的代數原理：上式在複數範圍内必可分解成

的形式；且x1, x2, x3, x4, x5是該多項式在複數範圍内的根。

設A為n階方陣，考慮特征多項式|A-λI|的n-1次項，有矩陣 A

的特征值方程：det(A-λI)=0（行列式展開式在這裡不作說明，可以參考相關資料），我們可以發現，除了主對角元的乘積

(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 之外，其他展開項的次數都小于 n-1。是以 n-1 次項的系數就是

(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 中 λ^(n-1) 的系數，也就是-(a11+a22+...+ann)。

特征值是特征多項式的根，由韋達定理（根與系數關系）知特征值的和 = a11+a22+...+ann。