1. Lagrange 坐标 $$\beex \bea &\quad 0=\int_\Omega\cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)\rd x\rd t=\int_{\p\Omega} -\rho u\rd x+\rho \rd t\\ &\ra \exists\ m,\st \rd m=-\rho u\rd t+\rho \rd x. \eea \eeex$$ 取 $$\beex \bea t'&=t,\\ m&=\int_{(0,0)}^{(t,x)} -\rho u\rd x+\rho \rd t, \eea \eeex$$ 則稱 $(t',m)$ 為 Lagrange 坐标.
2. Lagrange 坐标的實體意義
(1) $m$ 表示品質, 為質點坐标.
(2) 由 Euler 坐标 $(t,x)$ 過渡到 Lagrange 坐标 $(t',m)=(t,m)$ 本質上就是取流體質點在 $(t,x)$ 平面上的運動規律曲線作為坐标曲線.
3. Euler 坐标、Lagrange 坐标的互換
(1) Euler $\to$ Lagrange: $$\beex \bea \rd m=-\rho u\rd t+\rho\rd x,&\quad \cfrac{\p }{\p t}=\cfrac{\p}{\p t'}-\rho u\cfrac{\p }{\p m},\\ \rd t'=\rd t,&\quad\cfrac{\p}{\p x}=\rho \cfrac{\p}{\p m}. \eea \eeex$$
(2) Lagrange $\to$ Euler: $$\beex \bea \rd x=u\rd t+\tau \rd m,&\quad \cfrac{\p}{\p t'}=\cfrac{\p}{\p t}+u\cfrac{\p}{\p x},\\ \rd t=\rd t',&\quad \cfrac{\p}{\p m}=\tau \cfrac{\p}{\p x}. \eea \eeex$$