[實體學與PDEs]第3章第2節 磁流體力學方程組 2.1 考慮到導電媒質 (等離子體) 的運動對 Maxwell 方程組的修正

1.  Maxwell 方程組 $$\bee\label{3_2_1_Maxwell} \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&=\cfrac{\p {\bf D}}{\p t}+{\bf j}_f, \eea \eee$$ 其中 ${\bf D}=\ve {\bf E}$, ${\bf B}=\mu{\bf H}$, $$\bex {\bf j}_f=\sigma({\bf E}+{\bf u}\times{\bf B}) =\sigma({\bf E}+\mu_0{\bf u}\times{\bf H}). \eex$$

2.  由于等離子體是良導體, $\sigma\gg 1$, 而 $\eqref{3_2_1_Maxwell}_4$ 中 $\cfrac{\p {\bf D}}{\p t}$ 可忽略, 成為 $$\bee\label{3_2_1_Maxwell_4} \rot{\bf H}=\sigma({\bf E}+\mu_0{\bf u}\times{\bf H}). \eee$$

3.  等離子體中, $E\ll H$, 故隻考慮 ${\bf H}$ 的運動 (消去 ${\bf E}$): $$\beex \bea &\quad {\bf E}=\cfrac{1}{\sigma}\rot{\bf H}-\mu_0{\bf u}\times{\bf H}\\ &\ra \cfrac{\p {\bf H}}{\p t} =-\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\rot\rot{\bf H}+\rot({\bf u}\times{\bf H})\quad(\eqref{3_2_1_Maxwell}_2)\\ &\quad\quad\quad\ =\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\lap{\bf H} +\rot({\bf u}\times{\bf H}). \eea \eeex$$