[複變函數]第16堂課 4.4 解析函數零點的孤立性及惟一性定理

1.  零點及其重數  

(1)  定義: 設 $f$ 在 $D$ 内解析, $a\in D$. 若 $f(a)=0$, 則稱 $a$ 為 $f$ 的零點. 若再 $$\bex f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0,\ f^{(m)}(a)\neq 0, \eex$$  則稱 $a$ 為 $f$ 的 $m$ 階零點. 特别地, 當 $m=1$ 時, $a$ 稱為 $f$ 的單零點.  

(2)  等價條件 - 因式分解:  $$\bex a\mbox{ 是 }f\mbox{ 的}m\mbox{ 階零點}\lra f(z)=(z-a)^m\phi(z),\quad\phi(a)\neq 0.  \eex$$

證明: $\ra$: Taylor 展式.  $\la$: 由 $\phi$ 解析知 $$\bex f(z)=(z-a)^m\sez{\phi(a)+\phi'(a)(z-a)+\cdots}. \eex$$  據 Taylor 展式的唯一性知 $$\bex f(a)=\cfrac{f'(a)}{1!}=\cdots=\cfrac{f^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}=0,\quad \cfrac{f^{(m)}(a)}{m!}=\phi(a)\neq 0.  \eex$$   

(3)  例: $z=0$ 是 $x-\sin z$ 的____階零點; 求 $\sin z-1$ 的全部零點及其重數.  

2.  解析函數零點的特性  

(1)  孤立性: 設 $a$ 為 $f$ 的零點, 則 $\exists\ U(a),\st f(z)\neq 0,\ z\in U(a)\bs \sed{0}$.  

(2)  惟一性定理: 若 $f$ 有一串零點 $a\neq a_n\to a$, 則 $f\equiv 0$.  

(3)  惟一性定理: 若 $f_1,f_2$ 在一列 $a\neq a_n\to a$ 上相等, 則 $f_1\equiv f_2$.  

(4)  惟一性定理: 若 $f_1,f_2$ 在某一弧段上相等, 則 $f_1\equiv f_2$.  

(5)  惟一性定理: 實數域上的恒等式在複數域上仍然成立, 隻要等式兩端均解析.  

(6)  唯一性定理: 若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 解析, 則 $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$.  

3.  最大模原理  

(1)  設 $f$ 在 $D$ 内解析, 且不為常數, 則 $|f|$ 在 $D$ 内不能達到最大值.  

(2)  設 $f$ 在有界區域 $D$ 内解析且不為常數, 在 $\bar D$ 上連續, 且 $|f(z)|\leq M, z\in\bar D$, 則 $|f(z)|<M,\ z\in D$.  

作業: P 175 T 8.