[家裡蹲大學數學雜志]第254期第五屆[2013年]全國大學生數學競賽[數學類]試題

1 ($15'$) 平面 $\bbR^2$ 上兩個半徑為 $r$ 的圓 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 點, 将圓 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圓周 (無滑動) 滾動一周, 這時, $C_2$ 上的 $P$ 點也随 $C_2$ 的運動而運動. 記 $\vGa$ 為 $P$ 點的運動軌迹曲線, 稱為心髒線. 現設 $C$ 為以 $P$ 的初始位置 (切點) 為圓心的圓, 其半徑為 $R$, 記 $$\bex \gamma:\ \bbR^2\cup\sed{\infty}\to \bbR^2\cup\sed{\infty} \eex$$ 為圓 $C$ 的反演變換, 它将 $Q\in \bbR^2\bs \sed{P}$ 映成射線 $PQ$ 上的點 $Q'$, 且滿足 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PQ'}=R^2$. 求證: $\gamma(\vGa)$ 為抛物線.

2 ($10'$) 設 $n$ 階方陣 $B(t)$ 和 $n\times 1$ 矩陣 $G(t)$ 分别是 $$\bex B(t)=(b_{ij}(t)),\quad b(t)=\sex{\ba{l} b_1(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \ea}, \eex$$ 其中 $b_{ij}(t)$ 和 $b_i(t)$ 均為關于 $t$ 的實系數多項式, $i,j=1,2,\cdots,n$. 記 $d(t)=\det B(t)$, $d_i(t)$ 為用 $b(t)$ 代替 $B(t)$ 行列式中的第 $i$ 列後所得的 $n$ 階矩陣的行列式. 若 $d(t)$ 有實根 $t_0$ 使得 $B(t_0)X=b(t_0)$ 成為關于 $X$ 的相容線性方程組. 試證明: $d(t), d_1(t), d_2(t),\cdots, d_n(t)$ 必有次數 $\geq 1$ 的公因式.

3 ($15'$) 設 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上二階連續可微, $f'(0)=1$, $f''(0)\neq 0$, 且 $0<f(x)<x, x\in (0,a)$. 令 $x_{n+1}=f(x_n), x_1\in (0,a)$.

(1) 求證: $\sed{x_n}$ 收斂并求其極限;

(2) 試問 $\sed{nx_n}$ 是否收斂? 若收斂, 求出其極限; 若不收斂, 請說明理由.

4 ($15'$) 設 $a>1$, $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ 可微. 求證: 存在趨于 $+\infty$ 的正數列 $\sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)<f(ax_n),\ n=1,2,\cdots$.

5 ($20'$) 設 $f:[-1,1\to\bbR$ 為偶函數, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函數; 又設 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函數, 即 $$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x)+(1-t)g(y),\quad \forall\ x,y\in [0,1],\quad \forall\ t\in [0,1]. \eex$$ 試證: $$\bex 2\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x \geq \int_{-1}^1 f(x)\rd x\cdot \int_{-1}^1 g(x)\rd x. \eex$$

6 ($25'$) 設 $\bbR^{n\times n}$ 為 $n$ 階實方陣全體, $E_{ij}$ 為 $(i,j)$ 元素為 $1$, 其餘元素為 $0$ 的 $n$ 階方陣, $i,j=1,2,\cdots,n$. 記 $\vGa_r$ 表示秩為 $r$ 的實方陣全體, $r=0,1,2,\cdots,n$; 并讓 $\phi: \bbR^{n\times n}\to \bbR^{n\times n}$ 為可乘映照, 即滿足 $$\bex \phi(AB)=\phi(A)\cdot \phi(B),\quad \forall\ A,B\in \bbR^{n\times n}. \eex$$ 證明:

(1) 對 $\forall\ A,B\in \vGa_r$, 有 $\rank\phi(A)=\rank\phi(B)$.

(2) 若 $\phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩陣 $W$ 使得 $\phi(W)=0$, 則必存在可逆方陣 $R$ 使得 $$\bex \phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},\quad \forall\ i,j=1,2,\cdots,n. \eex$$