定理. 調和級數 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}}$ 是發散的.
證明. 設 $$\bex a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \eex$$ 則 $a_n$ 遞增, 而 $\dps{\vlm{n}a_n=l\in (1,\infty]}$. 若 $l\in (0,\infty)$, 則 $$\bex \vsm{n}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\vsm{n}\frac{1}{n}=\frac{l}{2}, \eex$$ $$\bex \vsm{n}\frac{1}{2n-1}=\vsm{n}\frac{1}{n}-\vsm{n}\frac{1}{2n} =l-\frac{1}{2} =\frac{l}{2}. \eex$$ 于是 $$\bex \frac{l}{2}=\vsm{n}\frac{1}{2k}<\vsm{n}\frac{1}{2n-1}=\frac{l}{2}. \eex$$ 這是一個沖突. 而 $l=\infty$.
2015年7月4号 張祖錦 贛南師範學院數學與計算機科學學院 郵箱: [email protected]