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2.1.1 研究函數 $\dps{f(x)=\vlm{n}\f{x^n-1}{x^n+1}}$ 的連續性.
2.1.2 設 $$\bex f(x)=\seddm{ \f{\ln(1+x)}{x},&x>0\\ 0,&x=0\\ \f{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x},&-1\leq x<0 }. \eex$$ 試研究 $f(x)$ 在 $x=0$ 點的連續性. (東北重型機械學院)
2.1.3 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續, 且 $f(x)>0$, 置 $$\bex R(x)=\sup_{0\leq y\leq x}f(y),\quad G(x)=\vlm{n}\sez{\f{f(x)}{R(x)}}^n,\quad \forall\ 0\leq x\leq 1. \eex$$ 試證: 當且僅當 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上單增時, $G$ 是連續的. (吉林工業大學)
2.1.4 設函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續且恒大于零, 按 $\ve-\del$ 定義證明: $\dps{\f{1}{f(x)}}$ 在 $[a,b]$ 上連續. (長沙鐵道學院)
2.1.5 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非負連續, 且 $f(0)=f(1)=0$, 則任意一個實數 $l\ (0<l<1)$, 必有實數 $x_0\ (0\leq x_0\leq 1)$, 使 $f(x_0)=f(x_0+l)$. (上海交通大學)
2.1.6 函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内連續, $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$, 證明: 在 $(a,b)$ 記憶體在點 $\xi$ 使 $$\bex f(\xi)=\f{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.\qwz{華中理工大學, 長春理工大學} \eex$$
2.1.7 設 $f(x)$ 在 $[a,a+2\al]$ 上連續, 證明: 存在 $x\in [a,a+\al]$, 使得 $$\bex f(x+\al)-f(x)=\f{1}{2}[f(a+2\al)-f(a)].\qwz{北京大學} \eex$$
2.1.8 設 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上連續, 若 $\dps{\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=+\infty}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a$ 處達最小值, 若 $f(a)<a$, 證明: $F(x)=f(f(x))$ 至少在兩點達到最小值. (哈爾濱工業大學)
2.1.9 若函數 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續, $f(0)=f(1)$, 則對任何自然數 $n\geq 2$, 存在 $\xi_n\in [0,1]$, 使得 $$\bex f\sex{\xi_n+\f{1}{n}}=f(\xi_n).\qwz{湖北大學} \eex$$
2.1.10 設 $$\bex f_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 證明: (1) 方程 $f_n(x)=1$ 在 $[0,+\infty)$ 有唯一的實根 $x_n$; (2) 數列 $\sed{x_n}$ 有極限, 并求出 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (北京師範大學, 吉林大學)
2.1.11 讨論函數 $$\bex f(x)=\seddm{ x(1-x),&x\mbox{ 為有理數},\\ x(1+x),&x\mbox{ 為無理數} } \eex$$ 的連續性與可微性. (内蒙古大學)
2.1.12 用 $\ve-\del$ 語言證明:如果 $y=f(\mu)$ 在點 $\mu_0$ 連續, $\mu=\varphi(x)$ 在點 $x_0$ 連續, 且 $\mu_0=\varphi(x_0)$, 則 $f[\varphi(x)]$ 在點 $x_0$ 連續. (北京科技大學)
2.1.13 設 $\dps{f(x)=\seddm{ 1,&x\geq 0\\ -1,&x<0 }}$, $g(x)=\sin x$, 讨論 $f[g(x)]$ 的連續性. (南京大學)
2.1.14 證明: 若函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上處處連續且為一一映射, 則 $f(x)$ 必為嚴格單調. (華東師範大學)
2.1.15 如果 $y=f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上連續, 且 $\dps{\vlmp{x}f(x)=A}$ ($A$ 為有限數), 則 $y=f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界. (複旦大學)
2.1.16 設函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上連續, 且 $$\bex \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to b^-}f(x)=-\infty, \eex$$ 試證: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有最大值. (西北大學)
2.1.17 若函數 $f(x)$ 在 $D$ 上有界, 令 $$\beex \bea M_f(x_0,\del)&=\sup\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ m_f(x_0,\del)&=\inf\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ \eea \eeex$$ 證明: (1) 當 $\del\to 0^+$ 時 $M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)$ 的極限存在; (2) 函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處連續的充要條件是: $$\bex \lim_{\del\to 0^+} [M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)]=0.\qwz{西北大學} \eex$$
2.1.18 設函數 $y=f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上有界, 試證函數 $$\bex m(x)=\inf_{a\leq t<x}f(t),\quad M(x)=\sup_{a\leq t<x}f(t) \eex$$ 在 $[a,b]$ 上左連續, 并舉例說明它們可以不右連續.
2.1.19 已知 $$\bex f(x)=\seddm{ x,&x\leq x<1\\ k+1,&k\leq x<k+1 }\quad (k=1,2,3,\cdots). \eex$$ 求函數 $\dps{g(y)=\sup_{f(x)\leq y}x}$ 在 $y\geq 0$ 時的具體表達式, 并指出 $g(y)$ 在各點處的左右連續性. (北京航空航天大學)
2.1.20 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上定義, 并且有界, $a,b>1$ 為二常數, $\dps{0\leq x\leq \f{1}{a}}$ 時, 有 $f(ax)=bf(x)$, 試證 $f$ 在 $x=0$ 處右連續.
2.1.21 設 $y=f(x)$ 為 $X\to Y$ 的連續函數, $F$ 為 $Y$ 軸上的閉集, 試證 $f^{-1}(F)$ 為 $X$ 軸上的閉集.
2.1.22 函數 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f$ 單調, $x_0\in [a,b]$ 使得 $g(x_n)=f(x_{n=1})\ (n=1,2,\cdots)$, 證明: $\exists\ x_0\in [a,b]$, 使得 $f(x_0)=g(x_0)$.
2.1.23 設 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 内連續, 有界. 試證: $\forall\ T,\ \exists\ x_n\to+\infty$ 使得 $$\bex \vlm{n}[f(x_n+T)-f(x_n)]=0. \eex$$
2.1.24 $f$ 在 $[0,n]$ 上連續 ($n$ 為自然數), $f(0)=f(n)$. 試證: 至少存在 $n$ 組不同的解 $(x,y)$ 使得 $f(x)=f(y)$, 且 $y-x>0$ 為整數.
2.1.25 用确界存在原理 (非空有上 (下) 界數集必有上 (下) 界) 證明: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(a)\cdot f(b)<0$, 則存在一點 $c\in (a,b)$, 使 $f(c)=0$. (西北大學)
2.1.26 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(a)\cdot f(b)<0$, 應用閉區間套原理證明: 至少存在一點 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f(\xi)=0$. (北京科技大學)
2.1.27 用有限覆寫定理證明連續函數的零點定理: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(a)\cdot f(b)<0$, 則存在 $\xi\in [a,b]$, 使得 $f(\xi)=0$. (四川大學)
2.1.28 用閉區間套定理證明連續函數有界性定理, 即若 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續, 則存在 $M>0$, 對一切 $x\in [a,b]$, $|f(x)|\leq M$. (華中師範大學)
2.2.1 設 $f$ 是區間 $I$ 上的實函數, 試證如下三條件有邏輯關系: 1) $\ra$ 2) $\ra$ 3). 1) $f$ 在 $I$ 上可導且導函數有界, 即: $\exists\ M>0$ 使得 $|f'(x)|\leq M\ (\forall\ x\in I)$. 2) $f$ 在 $I$ 上滿足 Lipschitz 條件, 即: $\exists\ L>0$ 使得 $|f(x')-f(x'')|\leq L|x'-x''|\ (\forall\ x',x''\in I)$. 3) $f$ 一緻連續.
2.2.2 設 $f(x)$ 在區間 $I$ 上有定義. 為了檢驗 $f$ 在 $I$ 上是否一直連續, 今設計如下的實驗: 取一根内空直徑為 $\ve$ 的圓形直管 $(\ve>0)$, 截取長度為 $\del$ 的一段 ($\del>0$), 将直管中軸與 $x$ 軸平行放好. 然後讓 $y=f(x)$ 的曲線平移從管内穿過. 若不論 $\ve>0$ 怎麼笑, 隻要事先将直管長度 $\del>0$ 取定足夠短, 曲線就能平移穿過此管, 整個穿越過程, $\del$ 無需改變, 那麼 $f$ 就在 $I$ 上一直連續, 否則就是非一緻連續. 問這種了解正确麼? (注: 一緻性主要展現在整個穿越過程, $\del$ 無需改變上!)
2.2.3 函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一緻連續, 又在 $[b,c]$ 上一緻連續, $a<b<c$. 用定義證明: $f(x)$ 在 $[a,c]$ 上一緻連續. (北京大學)
2.2.4 設 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内滿足 Lipschitz 條件. 證明 $f(x^\al)$\ ($0<\al<1$ 為常數) 在 $[0,+\infty)$ 上一緻連續. (武漢大學)
2.2.5 證明: $y=\sin \sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一緻連續. (武漢大學)
2.2.6 用不等式叙述 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 不一緻連續. (内蒙古大學)
2.2.7 證明: $\dps{g(x)=\sin\f{1}{x}}$ 在 $(0,1)$ 上不一緻連續. (中國科學院)
2.2.8 證明: 函數 $\dps{f(x)=\f{|\sin x|}{x}}$ 在每個區間 $J_1=\sed{x;-1<x<0}$, $J_2=\sed{x;0<x<1}$ 内一緻連續. 但在 $J_1\cup J_2=\sed{x;\ 0<|x|<1}$ 非一緻連續. (北京航空航天大學)
2.2.9 證明: 周期函數隻要連續必定一緻連續.
2.2.10 證明: 在區間 $I$ 上一緻連續的二函數的和與差仍在 $I$ 上一緻連續.
2.2.11 證明: 若 $(-\infty,+\infty)$ 上的連續函數 $y=f(x)$ 有極限 $$\bex \vlmp{x}f(x)=A,\quad \vlmn{x}f(x)=B. \eex$$ 則 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一緻連續.
2.2.12 設單調有界函數 $f$ 在區間 $I$ ($I=(a,b)$ 或 $I=[a,+\infty)$) 上連續, 求證: $f$ 在 $I$ 上一緻連續. (北京師範大學)
2.2.13 在有限開區間 $I$ 上一緻連續的二函數之積仍由一緻連續. 問商的情況怎樣? 無窮區間上關于積的結論是否還成立? 證明之.
2.2.14 求證: $\dps{f(x)=\f{x^{314}}{\e^x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一緻連續. (哈爾濱工業大學)
2.2.15 設實函數 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上連續, 在 $(0,+\infty)$ 内處處可導, 且 $\dps{\vlmp{x}|f'(x)|=A}$ (有限或 $+\infty$). 證明: 當且僅當 $A$ 為有限數時, $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上一緻連續. (清華大學)
2.2.16 函數 $f(x)$ 在開區間 $(a,b)$ 上有有界的導函數, 且 $\dps{\lim_{x\to a^+}f'(x)}$ 與 $\dps{\lim_{x\to b^-}f'(x)}$ 均存在且有限. 試證: (1) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一緻連續; (2) $\dps{\lim_{x\to a^+}f(x)}$, $\dps{\lim_{x\to b^-}f(x)}$ 均存在.
2.2.17 若 $f(x),g(x)$ 在區間 $I$ 上有有界導函數, 它們的乘積是否一緻連續? 為什麼?
2.2.18 讨論下列函數在所給區間上的一緻連續性. (1) $y=\sqrt{x}\ln x$, 在 $[1,+\infty)$ 上; (北京大學) (2) $y=x\ln x$, 在 $(0,+\infty)$ 上; (武漢大學) (3) $\dps{y=\sqrt[3]{\f{x^2}{x+1}}}$, $x\geq 0$; (中國人民大學) (4) $y=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}$, 在 $\bbR$ 上; (5) $y=\sqrt{x^3-x^2-x+1}$, 在 $\bbR$ 上; (6) $\dps{y=\sqrt{\f{x^4+1}{x^2+1}}}$, 在 $\bbR$ 上; (7) $\dps{y=\sex{8+\f{1}{2}\cos^2x}\sin 3x}$, 在 $\bbR$ 上; (8) $y=\ln \sex{x+\sqrt{x^2+1}}$, 在 $\bbR$ 上; (9) $\dps{y=x+\arctan \sez{x\sex{1+\f{1}{x}}^x}}$, $x>0$; (10) $\dps{x=\f{3at}{1-t^2},\ y=\f{3at^2}{1+t^2}}$, $(-\infty<t<-1)$ 所決定的函數 $y=y(x)$.
2.2.19 設 $f(x)$ 在 $[c,+\infty)$ 上連續, 且 $x\to +\infty$ 時, $f(x)$ 有漸近線 $y=ax+b$, 試證: $f(x)$ 在 $[c,+\infty)$ 上一緻連續.
2.2.20 設 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上連續, 且 $\dps{\vlmp{x}[f(x)-cx-d]=0\ (c,d}$ 為常數), 求證 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 一緻連續. (北京師範大學)
2.2.21 證明 $\dps{f(x)=\seddm{ |x|\sex{2x+\sin\f{1}{x}},&\mbox{當 }x\neq0\mbox{ 時},\\ 0,&\mbox{當 }x=0\mbox{ 時} }}$ 在 $\bbR$ 上一緻連續.
2.2.22 設函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續. 求證: 存在一函數 $\psi$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有性質: (1) $\psi$ 在 $(0,+\infty)$ 上單調上升, 且當 $t\geq b-a$ 時, $\psi(t)=$ 常數; (2) 對任意 $x',x''\in [a,b]$ 有 $$\bex |f(x')-f(x'')|\leq \psi(|x'-x''|); \eex$$ (3) $\dps{\lim_{t\to 0^+} \psi(t)=0}$. (北京師範大學)
2.3.1 完成定理 3 的證明.
2.3.2 試對下半連續函數叙述定理 7 的對偶結果, 并作出證明.
2.3.3 設 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上分别是上、下半連續的, 且 $f(x)\leq g(x)$, 證明: (1) $\forall\ \ve>0,\ \exists\ \del>0$, 當 $x',x''\in [a,b]$, $|x'-x''|<\del$ 時, $f(x')-g(x'')<\ve$. (2) 試由此推出 Cantor 定理: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 必一緻連續.
2.3.4 假設 $f(x)$ 是定義在區間 $I$ 上的函數, $f(x)$ 在區間 $I$ 上一緻上半連續定義為: $\forall\ \ve>0,\ \exists\ \del>0$, 當 $x',x''\in I$, $|x'-x''|<\del$ 時, $f(x')-f(x'')<\ve$. 試證: $f(x)$ 在 $I$ 上一緻上半連續 $\lra f(x)$ 在 $I$ 上一緻連續.
2.3.5 若函數 $f(x)$ 在 $D$ 上有界, 令 $$\beex \bea M_f(x_0,\del)&=\sup\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ m_f(x_0,\del)&=\inf\sed{f(x);\ x\in D,\ |x-x_0|<\del},\\ \eea \eeex$$ 證明: (1) 當 $\del\to 0^+$ 時 $M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)$ 的極限存在; (2) 函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處連續的充要條件是: $$\bex \lim_{\del\to 0^+} [M_f(x_0,\del)-m_f(x_0,\del)]=0.\qwz{西北大學} \eex$$
2.3.6 $f(x)$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的函數, 滿足條件: 對每一點 $x_0\in [a,b]$, 任取 $\ve>0$, 有 $\del>0$, 對于一切 $x\in [a,b]\cap (x_0-\del,x_0+\del)$ 有 $f(x)<f(x_0)+\ve$. (1) 證明 $f(x)$ 有最大值; (2) 舉例說明 $f(x)$ 未必有下界. (北京師範大學)
2.4.1 設函數 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上滿足 $$\bex f(2x)=f(x),\quad \vlmp{x}f(x)=A. \eex$$ 證明: $f(x)\equiv A,\ x\in (0,+\infty)$. (天津大學, 湖北大學)
2.4.2 試用推歸法, 重新證明例 2.4.3 與例 2.4.4.
2.4.3 證明: 在 $\bbR$ 上滿足方程 $$\bex f(x+y)=f(x)+f(y)\quad (\forall\ x,y\in\bbR) \eex$$ 的唯一單調函數是 $f(x)=ax$ (其中 $a$ 為常數).
2.4.4 證明: 若 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上滿足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 則如下三條件等價: (1) $f(x)$ 在 $x=0$ 處連續; (2) $f(x)$ 在 $\bbR$ 上連續; (3) $\exists\ \del>0,\ f(x)$ 在 $(-\del,\del)$ 上有界.
2.4.5 證明: 若 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上連續, 對任意 $x,y\in\bbR$, 有 $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$, 則 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上可微. (東北師範大學)
2.4.6 證明: 當 $x>0$ 時滿足方程 $$\bex f(xy)=f(x)f(y)\quad\sex{\forall\ x,y>0} \eex$$ 的唯一不恒等于 $0$ 的連續函數是 $f(x)=x^a$ ($a$ 為常數).
2.4.7 求在 $\bbR$ 上滿足方程 $$\bex f(xy)=f(x)f(y),\quad\sex{\forall\ x,y\in\bbR} \eex$$ 的一切連續函數, 并證明不連續函數 $f(x)=\sgn x$, 在 $\bbR$ 上也處處滿足方程.
2.4.8 設函數 $f(x),g(x)$ 在 $\bbR$ 上連續有界, 滿足方程組 $$\bee\label{2.4.8:eq1} \left.\ba{ll}f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),\\ g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\ea\right.\ (\forall\ x,y\in\bbR) \eee$$ 及 $f(0)=1$, $g(0)=0$. 證明: $f(x)=\cos ax$, $g(x)=\pm \sin ax$ (其中 $a$ 為常數).
2.4.9 設 $f(x)$ 為恒不等于零, 在 $x=0$ 處可導的函數, 在 $\bbR$ 上滿足方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ ($\forall\ x,y\in\bbR$). 試證 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上處處可導, 并求 $f(x)$.
2.4.10 證明: 滿足方程 $\dps{f(x+y)=\f{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}}$ ($\forall\ x,y\in\bbR$) 的唯一可導函數是 $f(x)=\tan ax$ (其中 $a$ 為常數).
2.4.11 設 $f(x)$ 在任何有界區間上可積, 且在 $\bbR$ 上處處滿足方程 $$\bex f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\sex{\forall\ x,y\in \bbR}. \eex$$ 試證: $f(x)=ax$ (其中 $a$ 為常數).
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