今天來介紹一個小項目：在TensorFlow中生成分形圖案。分形本身隻是一個數學概念，與機器學習并無太大關系，但是通過分形的生成，我們可以了解怎麼在TensorFlow中進行數學計算，以及如何進行基本的流程控制，是學習TensorFlow的一個非常好的練手項目。
在開始之前，需要說明的是，TensorFlow官方也提供了一個生成分形圖案的教程(位址：www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的圖像實在是太醜了，而且隻能生成一種圖案，我對官方的代碼做了一些改進，并且加入了多種類型的分形，此外，不僅可以生成圖像，還可以制作gif動畫，代碼已經放到了Github上：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程式隻有50行，歡迎大家參考。
Mandelbrot集合是分形中最經典的一個例子。考慮疊代公式
（z和c都是複數）。當
為0時，得到的值可以組成一個數列，依次為
。當該數列發散到無窮時，對應的點就屬于Mandelbrot集合。
如
時，顯然數列永遠是0，并不發散，是以0不屬于Mandelbrot集合。
又如
時，對應的數列為
，數字越來越龐大，是以3i就屬于Mandelbrot集合。
在二維平面上，将所有不屬于Mandelbrot集合的點标記為黑色，将所有屬于Mandelbrot集合的點按照其發散速度賦予不同的顔色，就可以得到Mandelbrot的經典圖像：
上面這張圖完全是使用TensorFlow進行計算的，類似的圖大家應該在網上也見過好多了，在TensorFlow中，我們定義下面的計算步驟：
xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64)) zs = tf.Variable(xs) ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session(): tf.global_variables_initializer().run() zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs) not_diverged = tf.abs(zs_) < R step = tf.group( zs.assign(zs_), ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32)) for i in range(ITER_NUM): step.run() final_step = ns.eval() final_z = zs_.eval()
zs就對應我們之前疊代公式的z，而xs就對應疊代公式中的c。為了友善起見，隻要計算時數值的絕對值大于一個事先指定的值R，就認為其發散。每次計算使用tf.where隻對還未發散的值進行計算。結合ns和zs_就可以計算顔色，得到經典的Mandelbrot圖像。
Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但這次我們固定c，轉而計算發散的z的值。即c是固定的常數（可以任取），數列變成
。如果該數列發散，對應的z就屬于Julia集合。對此，我們隻要在原來的程式中修改兩行内容，就可以生成Julia集合：
xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype)) zs = tf.Variable(Z)
我們在fill_value=c處指定了Julia集合中的c值，隻要使用不同的c值，就可以生成完全不同的Julia集合！
預設：
：
将c值變為
，并調整顔色（調整方法參考Github頁面的說明）：
選用
，圖案又變得完全不同：
在Julia集合中，每次都對c的值進行微小的改變，并将依次生成圖檔制作為gif，就可以生成如下所示的動畫，對應的代碼為julia_gif.py：
這裡由于上傳gif有大小限制的關系，隻展示了一個小尺寸的動畫圖像。程式中提供了一個width參數，可以修改它以生成更大尺寸，品質更高的動畫圖像。
（注意：下面的圖檔可能對密集恐懼症患者不太友好。。。是以慎重翻頁。。）
在前面生成的Mandelbrot集合中，我們可以将圖像放大，選取某些區域進行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案，對應的程式為mandelbrot_area.py。
在Mandelbrot集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的9個位置。
其中編号為2的地方被稱為“Elephant Valley”，因為此處的圖案與大象很像，直接運作mandelbrot_area.py就可以得到該區域的圖像：
編号為3的地方被稱為“Triple Spiral Valley”（三重螺旋），在mandelbrot_area.py修改一下坐标位置為(ratio調整的是顔色)：
start_x = -0.090 # x range end_x = -0.086 start_y = 0.654 # y range end_y = 0.657 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6
就可以得到該處的圖案：
最後編号為1的地方被稱為“Seahorse Valley”（海馬山谷），對應的坐标為：
start_x = -0.750 # x range end_x = -0.747 start_y = 0.099 # y range end_y = 0.102 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3
圖像如下，确實和海馬有一點神似：
項目提供了兩個jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb和Julia.ipynb可以對Mandelbrot集合、Julia集合做更友善的探索。其中，Mandelbrot集的更多坐标位置可以參考Quick Guide to the Mandelbrot Set（http://www.nahee.com/Derbyshire/manguide.html），Julia集中更多有趣的c值可以參考Julia set - Wikipedia（https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#Quadratic_polynomials）。網上類似的資源還有很多。
本文作者：Non