数字设计中的小数处理——在加法与乘法运算中

先提两个问题：

【1】 数字设计中小数的处理

【2】 加法器、乘法器中输出数据的位宽问题

1、有符号数和无符号数的定义，最高位表示符号位，其他位为数据位。无符号数则没有符号位；

2、有符号数和无符号数转化为10进制表示的时候唯一的区别就是最高位的权重不同，这里的负数的表示与3中的表示不相同，这里的每一个位都具有权值，只不过最高位（即符号位）也是参与到权值贡献中，且其表示的为负值；

举例：如4bit二进制若表示有符号数，则表示范围为：

-8 ~7

，即

1000 ~0111

，若表示为无符号数，则表示范围为：

0~15

，即

0000 ~ 1111

；

3、计算机中负数的表示方法：采用补码。即负数表示时，除去符号位之外，将数据位先进行取反码操作（按位取反），再作补码操作（反码基础上加1）；

NOTE：2、3两种表示有符号数的方式不同。

4、数的位扩展——符号位扩展

基于2中的数据表示方法，为了确保数据大小不变，对数据进行位扩展时，应该对符号位进行扩展；

2019.10.10

实际上，方式2中的方式就是以补码的方式操作的，这时，若要计算出该补码对应的十进制数，

有两种方式：

一，权值法，最高位权值为负；

二、返回原码进行判断（原码至反码的逆操作，同样是先按位取反，然后再加一）。序号 2中采用符号位带负权值的方法，只是有助于人为去计算该code表达的十进制数值是多少。

5、定义：

　1、mQn是一个有符号数，最高位为符号位；

　2、mQn数据的总位宽为m；

　3、mQn数据的小数位宽为n；

则：

M位宽整数表示范围：位宽为m的无符号整数的数据范围为

0~2^(m)-1

，

位宽为m的有符号整数的数据范围为

-2^（m-1）~2^（m-1）-1。

有符号小数表示范围：mQn格式数据的数据范围为

-2^（m-n-1）~ 2^（m-n-1）-1/2^n

。

6、两个有符号数的和

两个有符号数相加，为了保证和不溢出，首先应该把两个数据进行扩展使小数点对齐，然后把扩展后的数据继续进行一位的符号位扩展，这样相加的结果才能保证不溢出。

　　举例：现在要把5Q2的数据5’b100.01和4Q3的数据4’b1.011相加。

Step1、由于5Q2的数据小数位只有2位，而4Q3的数据小数点有3位，所以先把5Q2的数据5’b100.01扩位为6Q3的数据6’b100.010，使它和4Q3数据的小数点对齐

Step2、小数点对齐以后，然后把4Q3的数据4’b1.011进行符号位扩展成6Q3的数据6’b111.011

Step3、两个6Q3的数据相加，为了保证和不溢出，和应该用7Q3的数据来存储。所以需要先把两个6Q3的数据进行符号位扩展成7Q3的数据，然后相加，这样才能保证计算结果是完全正确的。

7、两个有符号数的积

　　两个有符号数相乘，为了保证积不溢出，积的总数据位宽为两个有符号数的总位宽之和，积的小数数据位宽为两个有符号数的小数位宽之和。简单来说，两个4Q2数据相乘，要想保证积不溢出，积应该用8Q4格式来存。这是因为4Q2格式数据的范围为：

-2~（2-1/2^2）

，那么两个4Q2数据相乘积的范围为：

（-4+1/2）~4

，而8Q4格式的数据范围为：

-8~（8-1/2^4）

，一定能准确的存放两个4Q2格式数据的积。

　　结论: mQn和aQb数据相乘，积应该用（m+a）Q（n+b）格式的数据进行存储。