本文轉自公衆号 imath， 作者 阮一峰。
一直覺得虛數(imaginary number)很難懂。
中學老師說，虛數就是-1的平方根。
可是，什麼數的平方等于-1呢？電腦直接顯示出錯！
直到今天，我也沒有搞懂。誰能解釋，虛數到底是什麼？它有什麼用？
對于虛數，很多童鞋都有上面的疑問，有人推薦了一篇非常棒的文章《虛數的圖解》。我讀後恍然大悟，醍醐灌頂，原來虛數這麼簡單，一點也不奇怪和難懂！下面，我就用自己的語言，講述我所了解的虛數。
一什麼是虛數
首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點： 1和-1。
這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度， 1就會變成-1。
這相當于兩次逆時針旋轉90度。
是以，我們可以得到下面的關系式：
( 1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)
如果把 1消去，這個式子就變為：
(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)
将'逆時針旋轉90度'記為 i ：
i^2 = (-1)
這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。
是以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。
二複數的定義
既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀态。
将實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。
隻要确定橫坐标和縱坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某個實數的旋轉量(45度)。
數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐标：用 号把橫坐标和縱坐标連接配接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 i 。這種表示方法就叫做複數(complex number)，其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。
為什麼要把二維坐标表示成這樣呢，下一節告訴你原因。
三虛數的作用：加法
虛數的引入，大大友善了涉及到旋轉的計算。
比如，實體學需要計算'力的合成'。假定一個力是 3 i ，另一個力是 1 3i ，請問它們的合成力是多少？
根據'平行四邊形法則'，你馬上得到，合成力就是 ( 3 i ) ( 1 3i ) = ( 4 4i )。
這就是虛數加法的實體意義。
四虛數的作用：乘法
如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更友善。
比如，一條船的航向是 3 4i 。
如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？
45度的航向就是 1 i 。計算新航向，隻要把這兩個航向 3 4i 與 1 i 相乘就可以了(原因在下一節解釋)：
( 3 4i ) * ( 1 i ) = ( -1 7i )
是以，該船的新航向是 -1 7i 。
如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，是以新航向等于：
( 3 4i ) * i = ( -4 3i )
這就是虛數乘法的實體意義：改變旋轉角度。
五虛數乘法的數學證明
為什麼一個複數改變旋轉角度，隻要做乘法就可以了？
下面就是它的數學證明，實際上很簡單。
任何複數 a bi，都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。
假定現有兩個複數 a bi 和 c di，可以将它們改寫如下：a bi = r1 * ( cosα isinα )c di = r2 * ( cosβ isinβ )
這兩個複數相乘，( a bi )( c di ) 就相當于
r1 * r2 * ( cosα isinα ) * ( cosβ isinβ )
展開後面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ i( cosα * sinβ sinα * cosβ )
根據三角函數公式，上面的式子就等于
cos(α β) isin(α β)
是以，
( a bi )( c di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α β) isin(α β) )
這就證明了，兩個複數相乘，就等于旋轉半徑相乘、旋轉角度相加。