正定矩陣與半正定矩陣定義與判别

1.正定矩陣和半正定矩陣

若所有特征值均大于零，則稱為正定。

定義:A是n階方陣，如果對任何非零向量x，都有>0,其中表示x的轉置，就稱A為正定矩陣。

性質:

1. 正定矩陣的行列式恒為正；
2. 實對稱矩陣AA正定當且僅當AA與機關矩陣合同；
3. 兩個正定矩陣的和是正定矩陣；
4. 正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。

根據正定矩陣的定義及性質，判别對稱矩陣A的正定性有兩種方法：

求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數，則A是正定的；若A的特征值均為負數，則A為負定的。

計算A的各階順序主子式。若A的各階順序主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階順序主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則A為負定的。

2.半正定矩陣

若所有特征值均不小于零，則稱為半正定。

定義：設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列向量x有≥0，就稱A為半正定矩陣。 

對于半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負并不能推出矩陣是半正定的。 

性質:

1. 半正定矩陣的行列式是非負的；
2. 兩個半正定矩陣的和是半正定的；
3. 非負實數與半正定矩陣的數乘矩陣是半正定的。